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三角函数教师版


三角函数
1. ① 与 ? (0°≤ ? <360°)终边相同的角的集合(角 ? 与角 ? 的终边重合) : ? | ? ? k ? 360? ? ? , k ? Z ② 终边在 x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? , k ? Z

?

?

?

? ? ? ?
4 cosx cosx 1



y
2 sinx 1 cosx cosx

3 sinx

③ 终边在 y 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 90? , k ? Z ④ 终边在坐标轴上的角的集合: ? | ? ? k ? 90? , k ? Z

?

x

?

?

⑤ 终边在 y=x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z

?

sinx 2

sinx 3

4

⑥ 终边在 y ? ?x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180 ? 45 , k ? Z
? ?

?

SIN\COS三角函数值大小关系图 1、 2、 3、 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域

⑦ 若角 ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? ? ⑧ 若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? 180? ? ? ⑨ 若角 ? 与角 ? 的终边在一条直线上,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 180? k ? ? 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2 ? 180°= ? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 弧度与角度互换公式: 1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ.
?

1°= ? ≈0.01745(rad)
180
y a的 终边
P( x,y) r

3、弧长公式: l

?| ? | ?r .

扇形面积公式: s扇形 ?

4、三角函数:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于原点的)一点 P ( x,y) P 与原点的距离为 r ,则
cot? ? x; y

1 1 lr ? |? | ? r 2 2 2

tan ? ?

sin ? ?

y; r

cos ? ?

x r

y; x

o

x

sec ? ?

r r ;. csc? ? . x y
y P T

5、三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦)
y y

+ + o x - 正弦、余割

- + o - + x
余弦、正割

y

- + o x + 正切、余切

O

M

Ax

6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.

7. 三角函数的定义域: 三角函数 f ( x) ? sinx
f ( x) ? cosx f ( x) ? tanx

?x | x ? R? ?x | x ? R?
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?
cos ?
cos ? ? co? t sin ?

定义域

8、同角三角函数的基本关系式: sin ? ? tan ?
tan ? ? cot ? ? 1 csc ? ? sin ? ? 1
2 2
2 2

s ec ??co s ? ?1

sin ? ? cos ? ? 1 sec ? ? tan ? ? 1 csc 2 ? ? cot2 ? ? 1

9、诱导公式:
把 k? ? ?的三角函数化为?的三角函数,概括为: 2

“奇变偶不变,符号看象限” 三角函数的公式: (一)基本关系
公式组一 sinx·cscx=1 cosx·secx=1 tanx·cotx=1
sin x tanx= cos x cos x x= sin x

sin x+cos x=1 1+tan x =sec x 1+cot2x=csc2x
2 2

2

2

公式组二 sin(2k? ? x) ? sin x cos(2k? ? x) ? cos x tan(2k? ? x) ? tan x cot(2k? ? x) ? cot x 公式组六 sin ?( ? x) ? s i n x cos ? (? x) ? ? c o x s tan ? (? x) ? ? t a n x co? t (? x) ? ? c o x t 公式组二

公式组三
sin ?x () ? ? s i n x cos ?( x) ? c o x s tan ?( x) ? ? t a n x cot ?( x) ? ? c o x t

公式组四 sin( ? ? x) ? ? sin x cos( ? ? x) ? ? cos x tan(? ? x) ? tan x cot(? ? x) ? cot x

公式组五 sin 2? ( ? x) ? ? s i n x cos 2? ( ? x) ? c o x s tan 2? ( ? x) ? ? t a n x co2 t? ( ? x) ? ? c o x t

(二)角与角之间的互换 公式组一 cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ?
cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ?

sin 2? ? 2 s i n ? c o? s

co2 s? ? c o 2 s? ? s i 2 n? ? 2 c o 2 s? ? 1 ? 1 ? 2 s i 2 n?

tan 2? ?

2t a ? n 1? t a 2 n?
1? c o ? s 2 1 ? cos? 2

s i n ?? 2 cos

?

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

?
2

??

tan(? ? ? ) ?

tan

?
2

??

1 ? cos? sin? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin?

公式组三
sin? ? 2 tan 1 ? tan

?
2
2

?
2

cos? ?

1 ? tan 2 1 ? tan
2

? ?
2 2

tan? ?

2 tan

?
2

1 ? tan2
sin 15? ? cos75? ?

?
2

1 ?sin?? ? ? ? ? sin?? ? ? ?? 2 1 cos? sin ? ? ?sin?? ? ? ? ? sin?? ? ? ?? 2 1 cos? cos ? ? ?cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ?? 2 1 sin? sin ? ? ? ?cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ?? 2 ??? ? ?? sin? ? sin ? ? 2 sin cos 2 2 ??? ? ?? sin? ? sin ? ? 2 cos sin 2 2 ??? ? ?? cos? ? cos ? ? 2 cos cos 2 2 ??? ??? cos? ? cos ? ? ?2 sin sin 2 2 sin? cos ? ?

公式组四

公式组五

1 cos( ? ? ? ) ? sin ? 2 1 sin( ? ? ? ) ? cos ? 2 1 tan( ? ? ? ) ? cot ? 2 1 cos( ? ? ? ) ? ? sin ? 2 1 tan( ? ? ? ) ? ? cot ? 2 1 sin( ? ? ? ) ? cos ? 2

6? 2, sin 75? ? cos15? ? 4

6 ? 2 , tan15? ? cot 75? ? 2 ? 3 , tan75? ? cot15? ? 2 ? 3 . 4

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? A sin??x ? ? ?

定义域 值域 周期性 奇偶性

R
[?1,?1]

R
[?1,?1]

(A、 ? >0) R

R
?

?? A, A?
2?

2?

2?

奇函数

偶函数
[?2k ? 1?? , 2k? ]

奇函数
? ? ? ? ? k? , ? k? ? 2 2 ? ?

? ? ? 0 , 当 非奇非偶 当 ? ? 0, 奇函数
? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ? ? ? 2 ( A), ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 2 (? A)? ? ? ? ??

[?

?
2

? 2k? ,

; ??

?

?
2

? 2k? ]

上为增函 数 ; 单调性
[

上为增函 数 [2k? , ?2k ? 1?? ] 上为减函 数 (k?Z )

上 为 增 函 数 (k?Z )

?

2 3? ? 2k? ] 2

? 2k? ,

上为增函数; ? ? ? 2k? ? ? ?
2

上为减函 数 (k ?Z )

? ? ( A), ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 2k? ? 2 ? ? ? ? (? A)? ? ? ? ?

上 为 减 函 数 (k?Z )

类题:
1.已知 tanx=2,求 sinx,cosx 的值. 解:因为 tan x ?

sin x ? 2 ,又 sin2x+cos2x=1, cos x

?sin x ? 2 cos x 联立得 ? 2 , 2 ?sin x ? cos x ? 1
? 2 5 ? 2 5 ?sin x ? ?sin x ? ? ? 5 ? 5 解这个方程组得 ? ,? . 5 ? 5 ? cos x ? cos x ? ? ? 5 ? 5 ? ?
2.求

tan(?120? ) cos(210? ) sin(?480? ) tan(?690? ) sin(?150? ) cos(330? )

的值.

解:原式

tan(?120? ? 180? ) cos(180? ? 30? ) sin(?360? ? 120? ) ? tan(?720? ? 30o ) sin(?150? ) cos(360? ? 30? )
? tan 60? (? cos 30? )(? sin120? ) ? ?3 3. tan 30? (? sin150? ) cos 30?

3.若

sin x ? cos x ? 2, ,求 sinxcosx 的值. sin x ? cos x
sin x ? cos x ? 2, sin x ? cos x

解:法一:因为

所以 sinx-cosx=2(sinx+cosx), 得到 sinx=-3cosx,又 sin2x+cos2x=1,联立方程组,解得
? 3 10 ? 3 10 sin x ? ? ? ?sin x ? ? 10 10 ? , , ? ? 10 ? 10 ? cos x ? ? cos x ? ? 10 ? 10 ? ?

3 ? 10 sin x ? cos x ? 2, 法二:因为 sin x ? cos x
所以 sin x cos x ? ? 所以 sinx-cosx=2(sinx+cosx), 所以(sinx-cosx)2=4(sinx+cosx)2, 所以 1-2sinxcosx=4+8sinxcosx, 所以有 sin x cos x ? ?

3 ? 10

4.求证:tan2x· sin2x=tan2x-sin2x. 证明:法一:右边=tan2x-sin2x=tan2x-(tan2x· cos2x)=tan2x(1-cos2x)=tan2x· sin2x,问题得证. 法二:左边=tan2x· sin2x=tan2x(1-cos2x)=tan2x-tan2x· cos2x=tan2x-sin2x,问题得证.

5.求函数 y ? 2 sin(

x π ? ) 在区间[0,2??]上的值域. 2 6
x π x π 7π ? π, ? ? ? , 由正弦函数的图象, 2 6 2 6 6

解:因为 0≤x≤2π,所以 0 ?

x π 1 得到 sin( ? ) ?[? ,1], 2 6 2 所以 y∈[-1,2]. 6.求下列函数的值域. (1)y=sin2x-cosx+2; (2)y=2sinxcosx-(sinx+cosx). 2 2 解:(1)y=sin x-cosx+2=1-cos x-cosx+2=-(cos2x+cosx)+3,

令 t=cosx,则 t ? [?1,1], y ? ?(t 利用二次函数的图象得到 y ? [1,

2

1 13 1 13 ? t ) ? 3 ? ?(t ? ) 2 ? ? ?(t ? ) 2 ? , 2 4 2 4

13 ]. 4 π 2 , sin( x ? ) ,则 4

(2)y=2sinxcosx-(sinx+cosx)=(sinx+cosx)2-1-(sinx+cosx),令 t=sinx+cosx ?

5 t ? [? 2 , 2 ] 则, y ? t 2 ? t ? 1, 利用二次函数的图象得到 y ? [? ,1 ? 2 ]. 4
7.若函数 y=Asin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象的一个最高点为 (2, 2 ) ,它到其相邻的最低点之间的图 象与 x 轴交于(6,0),求这个函数的一个解析式. 解:由最高点为 (2, 2 ) ,得到 A ? 2 ,最高点和最低点间隔是半个周期,从而与 x 轴交点的间隔是 个周期,这样求得

1 4

T π ? 4 ,T=16,所以 ? ? ? 8 4 π π 2 sin( x ? ). 8 4

π π 又由 2 ? 2 sin( ? 2 ? ? ) ,得到可以取 ? ? .? y ? 8 4 4 4 8.已知函数 f(x)=cos x-2sinxcosx-sin x.
(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; 数y?

(Ⅱ)若 x ? [0, ], 求 f(x)的最大值、最小值.

π 2

1 ? sin x 的值域. 3 ? cos x

解:(Ⅰ)因为 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x
π π ? (cos2 x ? sin2 x) ? sin 2x ? cos 2x ? sin 2x ? 2 sin( ? 2x) ? ? 2 sin(2x ? ) 4 4

所以最小正周期为 π.
π π π 3π π 3π (Ⅱ)若 x ?[0, ] ,则 (2 x ? ) ?[? , ] ,所以当 x=0 时,f(x)取最大值为 ? 2 sin(? ) ? 1; 当 x ? 时, 2 4 4 4 4 8

f(x)取最小值为 ? 2. 1. 已知 tan? ?

2 ,求(1)

cos ? ? sin ? 2 2 ; (2) sin ? ? sin ? . cos? ? 2 cos ? 的值. cos ? ? sin ?

cos? ? sin ? 解: (1) ? cos? ? sin ?

sin ? cos? ? 1 ? tan? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ; sin ? 1 ? tan? 1 ? 2 1? cos? sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ? 2 2 (2) sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos ? ? sin 2 ? ? cos2 ? sin 2 ? sin ? ? ?2 2 2? 2 ?2 4? 2 . ? cos ? 2 cos? ? ? sin ? 2 ?1 3 ?1 cos2 ? 1?
说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行弦、切互化,就会使解题过 程简化。

2. 求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)2 的值域。 解:设 t ? sin x ? cos x ?

π 2 sin( x ? ) ? [? 2, 2] ,则原函数可化为 4

1 3 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? ) 2 ? ,因为 t ?[? 2,2] ,所以 2 4 1 3 当 t ? 2 时, ymax ? 3 ? 2 ,当 t ? ? 时, ymin ? , 2 4 3 3 ? 2] 。 所以,函数的值域为 y ? [ , 4
3.已知函数 f ( x) ? 4sin 2 x ? 2sin 2 x ? 2,x ? R 。 (1)求 f ( x ) 的最小正周期、 f ( x ) 的最大值及此时 x 的集合; (2)证明:函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ?
2

π 对称。 8
2

解: f ( x) ? 4sin x ? 2sin 2 x ? 2 ? 2sin x ? 2(1 ? 2sin x)

π ? 2sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 2 2 sin(2 x ? ) 4
(1)所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? π ,因为 x ? R ,

π π 3π ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) 最大值为 2 2 ; 4 2 8 π (2) 证 明 : 欲 证 明 函 数 f ( x ) 的 图 像 关 于 直 线 x ? ? 对 称 , 只 要 证 明 对 任 意 x ? R , 有 8 π π f (? ? x )? f ? ( ? x 成立, ) 8 8 π π π π 因为 f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin( ? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π π f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2
所以,当 2 x ?

所以 f (?

π π π ? x) ? f (? ? x) 成立,从而函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ? 对称。 8 8 8 1 3 2 cos x+ sinx·cosx+1 (x∈R), 2 2

4. 已知函数 y=

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?

1 1 1 3 3 2 2 cos x+ sinx·cosx+1= (2cos x-1)+ + (2sinx·cosx)+1 2 4 4 4 2 1 5 1 ? ? 5 3 = cos2x+ sin2x+ = (cos2x·sin +sin2x·cos )+ 4 4 2 6 6 4 4 1 ? 5 = sin(2x+ )+ 2 6 4 ? ? ? 所以 y 取最大值时,只需 2x+ = +2kπ ,(k∈Z) ,即 x= +kπ ,(k∈Z) 。 6 2 6
解: (1)y= 所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= (2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换:

? +kπ ,k∈Z} 6

? ? ,得到函数 y=sin(x+ )的图像; 6 6 1 ? (ii) 把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍 (纵坐标不变) , 得到函数 y=sin(2x+ )的图像; 2 6 1 1 ? (iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 倍(横坐标不变) ,得到函数 y= sin(2x+ )的 2 2 6
(i)把函数 y=sinx 的图像向左平移 图像; (iv)把得到的图像向上平移 综上得到 y=

5 1 ? 5 个单位长度,得到函数 y= sin(2x+ )+ 的图像。 4 2 6 4

1 3 2 cos x+ sinxcosx+1 的图像。 2 2 历年高考综合题
2

一,选择题
1.(08 全国一 6) y ? (sin x ? cos x) ?1 是 A.最小正周期为 2 π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 B.最小正周期为 2 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数 ( )

2.(08 全国一 9)为得到函数 y ? cos ? x ?

? ?

π? ? 的图象,只需将函数 y ? sin x 的图像( 3?



π 个长度单位 6 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

π 个长度单位 6 5π D.向右平移 个长度单位 6
B.向右平移 ( )

3.(08 全国二 1)若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 是,则 ? 是 A.第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

4.(08 全国二 10) .函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最大值为 A.1 B.

( D.2 (



2

C. 3

5.(08 安徽卷 8)函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ?

?
3

) 图像的对称轴方程可能是
C. x ?



?
6

B. x ? ?

?
12

?
6

D. x ?

?
12

6.(08 福建卷 7)函数 y=cosx(x∈R)的图象向左平移 析式为 A.-sinx B.sinx C.-cosx

? 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的解 2
( D.cosx ( ) )

7.(08 广东卷 5)已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x, x ? R ,则 f ( x ) 是 A、最小正周期为 ? 的奇函数 C、最小正周期为 ? 的偶函数

? 的奇函数 2 ? D、最小正周期为 的偶函数 2
B、最小正周期为 ( )

8.(08 海南卷 11)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为 A. -3,1 B. -2,2 C. -3,

3 2

D. -2,

9.(08 湖北卷 7)将函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象 F 向右平移 轴是直线 x ? A.

?
1

? 个单位长度得到图象 F′,若 F′的一条对称 3
( ) D. ( )

3 2

, 则 ? 的一个可能取值是
B. ?

5 ? 12

5 ? 12

C.

11 ? 12

10.(08 江西卷 6)函数 f ( x) ?

sin x sin x ? 2sin x 2



A.以 4? 为周期的偶函数 C.以 2? 为周期的偶函数

B.以 2? 为周期的奇函数 D.以 4? 为周期的奇函数

11.若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M ,N 两点,则 MN 的最大值为 ( A.1 ) B. 2 C. 3 D.2 )

12.(08 山东卷 10)已知 cos ? ? ?

? ?

π? 4 7π ? ? 3 ,则 sin ? ? ? ? 的值是( ? ? sin ? ? 6? 5 6 ? ?
C. ?

A. ?

2 3 5

B.

2 3 5

4 5

D.

4 5

13.(08 陕西卷 1) sin 330? 等于 A. ?

( C.



3 2

B. ?

1 2

1 2

D.

3 2
? 个单位长度,再把所得图象 3

14.(08 天津卷 6)把函数 y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点向左平行移动 上所有点的横坐标缩短到原来的 ( ) A. y ? sin ? 2 x ?

1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是 2

? ?

?? ?,x ? R 3?

B. y ? sin ?

? x ?? ? ?,x ? R ?2 6? ?? ? ?,x ? R 3 ?
( )

C. y ? sin ? 2 x ?

? ?

?? ?,x ? R 3?

D. y ? sin ? 2 x ?

? ?

15.(08 天津卷 9)设 a ? sin A. a ? b ? c

5? 2? 2? , b ? cos , c ? tan ,则 7 7 7
C. b ? c ? a D. b ? a ? c

B. a ? c ? b

16.(08 浙江卷 2)函数 y ? (sin x ? cos x)2 ? 1 的最小正周期是 A.





? 2

B. ?

C.

3? 2

D. 2?

17.(08 浙江卷 7)在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos( 交点个数是 A.0 二,填空题 B.1 C.2 (

x 3? 1 ? )( x ? [0, 2? ]) 的图象和直线 y ? 的 2 2 2
) D.4

19.(08 北京卷 9)若角 ? 的终边经过点 P(1 , ? 2) ,则 tan 2? 的值为 20.(08 江苏卷 1) f ? x ? ? cos ? ? x ? 22.(08 浙江卷 12)若 sin(



? ?

??

? ? 的最小正周期为 5 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = 6?



?

3 ? ? ) ? ,则 cos 2? ? _________。 2 5

? 23.(08 上海卷 6)函数 f(x)= 3sin x +sin( +x)的最大值是 2 三,解答题 24. (08 四川卷 17)求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x 的最大值与最小值。
2 4

25. (08 北京卷 15)已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ?

? ?

π? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2?

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3 26. (08 天津卷 17)已知函数 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1( x ? R, ? ? 0 )的最小值正周期是

? 2π ? ? ?

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值,并且求使 f ( x ) 取得最大值的 x 的集合. 27. (08 安徽卷 17)已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

? . 2

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [?

, ] 上的值域 12 2 x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

? ?

28. (08 陕西卷 17)已知函数 f ( x) ? 2sin (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ? 1.D 11.B 19. 2.C 3.C 12.C 13.B 20. 10 4.B

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3?
6.A 7.D 15.C 21. 3 16.D 8.C 9.A 10.A 17.B 22. ? 18.C

5.B

14.D

4 3

7 25

23.2

24. 解: y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos2 x ? 4cos4 x

? 7 ? 2sin 2 x ? 4 cos 2 x ?1 ? cos 2 x ?

? 7 ? 2sin 2 x ? 4cos2 x sin 2 x ? 7 ? 2sin 2 x ? sin 2 2 x
? ?1 ? sin 2 x ? ? 6
2

由于函数 z ? ? u ? 1? ? 6 在 ??11 , ? 中的最大值为
2

zmax ? ? ?1 ? 1? ? 6 ? 10
2

最小值为

zmin ? ?1 ? 1? ? 6 ? 6
2

故当 sin 2 x ? ?1 时 y 取得最大值 10 ,当 sin 2 x ? 1 时 y 取得最小值 6 【点评】 :此题重点考察三角函数基本公式的变形,配方法,符合函数的值域及最值; 【突破】 :利用倍角公式降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关键; 25. 解: (Ⅰ) f ( x) ?

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2 2 2

π? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 6? 2 ?
因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 , 所以

2π ? π ,解得 ? ? 1 . 2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

π? 1 ?? . 6? 2

2π , 3 π π 7π 所以 ? ≤ 2 x ? ≤ , 6 6 6
因为 0 ≤ x ≤ 所以 ?

1 π? ≤ sin ? ? 2 x ? ? ≤1 , 2 6? ? ? ? π? 1 3 ? 3? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? . 6? 2 2 ? 2?

因此 0 ≤ sin ? 2 x ? 26. 解:

f ?x ? ? 2 ?

1 ? cos 2?x ? sin 2?x ? 1 2 ? sin 2?x ? cos 2?x ? 2

? ?? ? ? 2 ? sin 2?x cos ? cos 2?x sin ? ? 2 4 4? ? ?? ? ? 2 sin ? 2?x ? ? ? 2 4? ?
由题设,函数 f ?x ? 的最小正周期是 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ?x ? ?

? 2? ? ? ,所以 ? ? 2 . ,可得 2? 2 2

?? ? 2 sin? 4 x ? ? ? 2 . 4? ?
?
16 ? k? ?? ?k ? Z ? 时,sin ? ? 4 x ? ? 取得最大值 1,所以函数 f ?x ? 的最大值 2 4? ?

当 4x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ,即 x ?

是2?

? k? ? ? 2 ,此时 x 的集合为 ? x | x ? ? ,k ? Z? 16 2 ? ?

27. 解: (1)

f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2
? sin(2 x ? ) 6

?

∴周期T ?

(2)

x ? [?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6
?
?
3 6 ) 在区间 [?

? ?

2? ?? 2

因为 f ( x) ? sin(2 x ? 所以 当x?

, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 12 3 3 2

? ?

? ?

时, f ( x ) 取最大值 1



f (?

?
12

)??

? 3 ? 1 3 ? f ( ) ? ,∴ 当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 12 2 2 2 2
3 , ] 上的值域为 [? ,1] 12 2 2

所以 函数 f ( x ) 在区间 [?

? ?

28. 解: (Ⅰ)

f ( x) ? sin

x x ? x π? ? 3 cos ? 2sin ? ? ? . 2 2 ?2 3?

? f ( x) 的最小正周期 T ?

2π ? 4π . 1 2

当 sin ?

? x π? ? x π? ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最小值 ?2 ;当 sin ? ? ? ? 1 时, f ( x) 取得最大值 2. ?2 3? ?2 3? π? ? x π? ? ? ? .又 g ( x) ? f ? x ? ? . 3? ?2 3? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin ?

x ?1 ? π ? π? ? x π? ? g ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 2 cos . 2 3 ? 3? ?2 2? ?2 ?

x ? x? g (? x) ? 2cos ? ? ? ? 2cos ? g ( x) . 2 ? 2?

? 函数 g ( x) 是偶函数.



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