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青海省平安县第一高级中学2015-2016学年高中数学 2.1.2 指数函数及其性质导学案 新人教A版必修1


2.1.2 指数函数及其性质
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________ 课前预习 · 预习案 【温馨寄语】 你聪颖,你善良,你活泼。有时你也幻想,有时你也默然,在默然中沉思,在幻想中寻 觅。小小的你会长大,小小的你会成熟,愿你更坚强!愿你更自信! 【学习目标】 1.理解指数函数的概念和意义. 2.能借助计算器

或计算机画出具体的指数函数的图象. 3.探究并理解指数函数的单调性与特殊点,初步掌握指数函数的性质. 【学习重点】 1.指数函数的概念和性质 2.指数函数性质的应用 【学习难点】 1.用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质 2.指数函数性质的应用 【自主学习】 1.指数函数的图象与性质

1

2.指数函数的定义 (1)解析 式: . (2)自变 量: . 【预习评价】 1.下列各函数中,是指数函数的是

A.

B.

C.

D.

2.函数

的定义域是

2

A.

B.

C.

D.

3.已知

,且

,则 .

4.若指数函数 为

的图象经过点(2,4),则函数的解析式 . 知识拓展 · 探究案

【合作探究】 1.指数函数的解析式 根据指数函数的解析式,完成下列填空,并明确解析式具有的三个结构特征:

(1)特征 1:底数 为大于 0 且不等于 1 的 含有自变量 .

,不

(2)特征 2:自变量 的位置在 是 .

,且 的系数

(3)特征 3:

的系数是

.

2.利用指数函数的单调性比较大小问题

观察指数函数

(

,且

)图象的走势和特征,回答下列问题:

3

(l)请根据图象填空:(填“>”“=”“<”中的任一个)

①当

时,若

,则

____

.

②当

时,若

,则

____

.

(2)结合上图思考,当 与 满足什么条件时,

成立?

3.指数函数的图象与性质

在同一坐标系内画出函数 趋势. 4.指数函数的图象与性质



的图象,并说出函数图象从左到右的变化

在函数



的图象的基础上, 再画出函数



的图象,

观察所画出的两个函数图象的变化趋势及这四个函数图象的特征,回答下列问题:

(1)函数



的图象从左到右的变化趋势是怎样的?

(2)函数



的图象间有什么关系?



呢?

(3)观察所画出的四个函数的图象,请说出指数函数图象的大致走势有几种?主要取决 于什么?

(4)对于指数函数

(

,且

),当底数 的取值越来越大时,图象在第

一象限内的位置关系有什么特点?

5.在函数



的图象的基础上,观察所画的四个指数函数图象的特点并

结合下面的提示,完成下面的填空. (1)这四个指数函数图象均过点 为 , ,定义域、值域分别 .

4

(2)当 或“减”).

时,



函数, 当





函数(填“增”

6.指数函数的解析式

观察指数函数的解析式及底数 的取值范围,思考下列问题:

(1)请你根据所尝过的知识思考指数函数解析式中的底数 能否等于 0 或小于 0?

(2)你知道解析式中 的取值不可以为 1 的原因吗?

7.简单的指数不等式

结合指数函数的单调性,思考若

,则



同解吗?

【教师点拨】 1.指数函数值的变化规律

(1)当

时,若

,则

;若

,则

.

(2)当

时,若

,则

;若

,则

.

2.对指数函数图象与性质的三点说明 (1)定点:所有指数函数的图象均过定点(0,1).

(2)对称性:底数互为倒数的指数函数图象关于 轴对称.

(3)图象随底数的变化规律:

无论指数函数的底数 如何变化,指数函数

的图象与直线

相交于点(1,

),由图象可知:在 轴右侧,图象从下到上相应的底数由小变大.可概括记为,在第 一象限内,底数自下而上依次增大. 3.对指数函数解析式的两点说明

5

(1)定义中所说的形如 不是指数函数.

(



)的形式一般来说是不可改变的, 否则就

(2)解析式中底数 的取值范围为



,其他的范围都是不可以的.

4.解简单指数不等式的关键及注意事项 (1)关键:解指数不等式的关键是将指数不等武转化为一元一次不等式. (2)注意事项:当底数含字母时,要注意对底数分为大于 1 和大于 0 且小于 1 两种情况 讨论. 5.利用指数函数的单调性比较两指数式大小的两点说明 (1)当两个数的底数相同或能够化成底数相同时,可以构造指数函数,利用指数函数的 单调性进行判断.

(2)当底数不确定时需分类讨论,如 两种情况比较大小.

比较



的大小,需分



【交流展示】 1.下列函数中是指数函数的是 .

(1)

.

(2)

.

(3)

.

(4)

(



).

2.已知函数

是指数函数,求 的取值范围.

3.已知

(

, 为常数)的图象经过点(2,1),则

的值域为

A.[9,81]

B.[3,9]

C.[1,9]

D.

4.函数 A.(0,+∞)

的定义域是 B.[0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞)
6

5.设



,

,则 , , 的大小关系是

A.

B.

C.

D.

6.比较





)的大小,

7.已知函数 域是

是定义在 .

上的奇函数,则

的值

8.设函数

(



)是定义域为 的奇函数.

(1)求 的值.

(2)若 值. 【学习小结】

,且

在[1,+∞)上的最小值为-2,求



1.判断一个函数是否是指数函数的方法

(1)看形式:判断一个函数是否是指数函数,关键看解析式是否符合 )这一结构形式.

(



(2)明特征:指数函数的解析式具有三个特征,只要有一个特征不具备,则不是指数函 数. 2.已知某函数是指数函数求参数值的策略

(1)列: 根据底数大于 0 且不等于 1, 的系数等于 1 且指数位置自变量 的系数也为 1, 列出方程(组)或不等式(组). (2)解:解所列的方程(组)或不等式(组),求出参数的值. 3.比较幂值大小的三种类型及处理方法
7

4.形如

型的指数不等式的解题方法

(1)若 与 l 的大小关系确定时,可直接利用指数函数的单调性进行求解.

(2)若 与 1 的大小关系不确定时,需对底数 分



两种情况求解,



等价于

5.非同底的简单指数不等式的解法

(l)形如 单调性求解.

的不等式,注意将 化为以 为底的指数幂的形式,再借助



(2)形如

的不等式,可借助图象求解,也可转化为

来解.

提醒:指数不等式的解集一定要写成集合或区间的形式,不能写成不等式的形式. 6.判定函数奇偶性要注意的问题 (l)坚持“定义域优先”的原则:如果定义域不关于原点对称,可立刻判定此函数既不 是奇函数也不是偶函数.

(2)正确利用变形技巧:耐心分析 判定.



的关系,必要时可利用

8

(3)巧用图象的特征:在解答有图象信息的选择、填空题时,可根据奇函数的图象关于 原点对称,偶函数的图象关于 轴对称,进行快速判定.

【当堂检测】

1.图中曲线 , , ,

分别是指数函数







的图象,

则 , , , 与 1 之间的大小关系是

A. C.

B. D.

2.函数

的图象必经过点

A.

B.

C.

D.

3.若函数

是指数函数,则 a 的取值范围是

A.

B.

C.

D.

4.关于下列说法:

(1)若函数

的定义域是

,则它的值域是



(2)若函数

的定义域是

,则它的值域是


9

(3)若函数

的值域的

,则它的定义域一定是

.

其中不正确的说法的序号是_____________.

5.函数

的值域是

A.

B.

C.

D.R

10

2.1.2 指数函数及其性质

详细答案 课前预习 · 预习案 【自主学习】 1.R (0,+∞) (0,1) 增函数 减函数
x

2.(1)y=a (a>0,且 a≠1) (2)x 【预习评价】 1.D 2.A 3.1 4.f(x)=2
x

知识拓展 · 探究案 【合作探究】 1.(1)常数 (2)指数上 1 2.(1)①> (2)< (2)当 a>1,x>0 或 0<a<1,x<0 时,ax>1. 3.(1)列表 (3)1

x y=2 y=3x
描点画图
x

-2 0.25 0.11

-1.5 0.35 0.19

-1 0.5 0.33

-0.5 0.71 0.58

0 1 1

0.5 1.41 1.732

1 2 3

1.5 2.83 5.20

2 4 9

(2)图象的变化趋势:这两个函数的图象从左到右均是不断上升的. 4.图象如图所示:

(1)这两个函数的图象从左到右是下降的.

(2)函数 y=2x 和 轴对称.

的图象关于 y 轴对称.同样函数 y=3x 和

的图象也关于 y

(3)指数函数图象的大致走势有两种,一种是从左到右图象是下降的,而另一种恰好相反. 图象的走势主要取决于底数 a 与 1 的大小关系. (4)底数 a 的取值越大时,函数的图象在第一象限越靠近于 y 轴;反之底数 a 的取值越小, 函数的图象在第一象限越靠近于 x 轴. 5.(1)(0,1) R (0,+∞) (2)增 减

6.(1)不能.因为当 a<0 时,ax 不一定有意义,如(-2)x;当 a=0 时,0x 不一定有意义, 0 -2 如 0 ,0 ,故 a 的取值范围不能小于或等于 0.

(2)原因是当 a=1 时,y=1x=1 是常数函数,没有研究的价值. 7.因为 a>1,所以 y=ax 在 R 上是增函数.又 af(x)>ag(x), 所以 f(x)>g(x), 因此 a
f(x)

>a

g(x)

与 f(x)>g(x)同解.

【交流展示】 1.(1)(2)(4) 2.由题意知 y=(a+1)2x=[(a+1)2]x 是指数函数, 则(a+1)2>0 且(a+1)2≠1.所以 a≠-2 且 a≠0 且 a≠-1. 3.C 4.B 5.D 6.(1)当 1-2b>1,即 b<0 时,y=(1-2b)x 递增. 所以(1-2b) <(1-2b) . (2)当 0<1-2b<1,即 时,y=(1-2b) 递减,
x
3.4 3.5

所以(1-2b) >(1-2b) .综上所述,当 b<0 时,(1-2b) <(1-2b) ;当 (1-2b) >(1-2b) . 7.
3.4 3.5

3.4

3.5

3.4

3.5

时,

8.(1)由题意知,对任意 x∈R,f(-x)=-f(x), 艮 a-x-(k-1)ax=-ax(k-1)a-x, 即(k-1)(a +a )-(a +a )=0,(k-2)(a +a )=0, 因为 x 为任意实数,所以 k=2. (2)由(1)知 f(x)=a -a ,因为
x
-x

x

-x

x

-x

x

-x



所以

,解得 a=2.

故 f(x)=2x-2-x,g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x), 令 t=2 -2 ,则 2 +2 由 x∈[1,+∞),得
x
-x 2x -2x

=t +2, ,

2

所以 g(x)=h(t)=t -2mt+2=(t-m) +2-m ,

2

2

2

.

当 去). 当

时,h(t)在

上是增函数,则



,解得

(舍

时,则 f(m)=-2,2-m =-2,解得 m=2 或 m=-2(舍去).

2

综上,m 的值是 2. 【当堂检测】 1.D 2.C 【解析】当 x-2=0,即 x=2 时, ,

∴函数

(a>0,且 a≠1)的图象必经过点(2,2).

3.B 【解析】由题意得 2a-3>0,且 2a-3≠1,所以 ,且 a≠2.

4.(1)(2)(3) 【解析】解答本题一方面要注意利用函数的单调性由定义域求值域,由值域求定义域;另一 方面要注意结合函数的图象,弄清楚函数值与自变量的关系. (1)不正确.由 x≤0 得 ,值域是{y|0<y≤1}.

(2)不正确.由 x≥2 得

,值域是

.

(3)不正确.由 一定是{x|x≤2}. 5.A

得 x≤2,所以若函数

的值域是{y|0<y≤4},则它的定义域

【解析】本题考查指数函数的性质与最值.因为 即 的值域是 .选 A.

,所以

,所以

.


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