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2013~2014沂源一中高二上学期期末试题文科期末数学答案


高二数学试题(文)答案
一.选择题 1D,2C,3D,4C,5A,6B,7B,8B,9A,10C,11A,12D 二、填空题:13.2; 14. 8 , 6 ;15. -182;16. 三、解答题: 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos4 x ? 2 sin x cos x ? sin 4 x (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及最大值

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间 解: (Ⅰ) f ( x) ? cos4 x ? 2 sin x cos x ? sin 4 x

5 . 2

? (cos2 x ? sin 2 x)(cos2 x ? sin 2 x) ? sin 2x
? cos 2 x ? sin 2 x
) ………………………………………………4 分 4 ? f ( x) 的最小正周期 T ? 2? ? ? ,其最大值为 2 …………………8 分 2 ? ? 3? (Ⅱ)其单调增区间为 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? …………………10 分 2 4 2 3? 7? ? x ? k? ? 即 k? ? 8 8
即 ?k? ?

? ? 2 sin( 2 x ?

?

? ?

3? 7? ? 为所求………………………………………12 分 , k? ? 8 8 ? ?

18.(本小题满分 12 分)已知命题 p :方程 x 2 ? 2m x ? 1 ? 0 有两个不等的实根,命题

q :函数 f ( x) ? 4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无零点。若 p 或 q 为真, p 且 q 为假。求
实数 m 取值范围。 解:由题意 p,q 中有且仅有一为真,一为假,

p 真 ?>0 ? m > 2 ,

……………………………………………………………2 分
1

q 真 ? ? <0 ? 1< m <3, …………………………………………………………4 分
若 p 假 q 真,则 ?

?m ? 2 ? 1< m ≤2; ………………………………………7 分 ?1 ? m ? 3

若 p 真 q 假,则 ?

?m ? 2 ? m≥3;………………………10 分 ?m ? 1或m ? 3
………………………12 分
2

综上所述: m ∈(1,2]∪[3,+∞).

19. (本小题满分 12 分) 设计一幅宣传画, 要求画面面积为 4000cm , 画面的上下各留 8cm 空白,左右各留 5cm 空白,怎样设计画面的高与宽,才能使宣传画所用纸张的面积最小, 最小面积是多少? 解:设画面的高为 x 时,宣传画所用纸张面积为 y .

4000 ……………………………………………………2 分 x 4000 ? 10 ) ……………………………………………4 分 且有 y ? ( x ? 16 ) ? ( x 6 4 0 0 0 ? 4000 ? 10 x ? ?1 6 0 x
此时画面的宽为

? 10( x ?
当且仅当 x ?

6400 6 4 0 0 ) ? 4160? 10 ? 2 x ? ?4 1 6 ?5 0 7 6 0 ………… 8分 x x

6400 即 x ? 80 时等号成立。………………………………10 分 x

所以设计画面的高为 80 cm ,宽为 50 cm 的宣传画所用纸张面积最小,最小面积是 5760cm .………………………………………………………………………12 分 20. (本小题满分 12 分) 已知单调递增的等比数列 {an } 满足:a2 ? a3 ? a4 ? 28 , 且 a3 ? 2
2

1 , 3 ,

是 a2 , a4 的等差中项。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ若 bn ? an log1 an , Sn ? b1 ? b2 ? ?? bn ,令 f (n) ? S n ? n ? 2 n?1 ,求 f ( n) 的最小值
2

解: (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q,

5

2

依题意,有 ( 2 a3 ? 2) ? a2 ? a4 代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28, 得 a3 ? 8,? a2 ? a4 ? 20………………………………2 分

1 ? 3 ? ?q ? 2 ?a1q ? a1q ? 20 ?q ? ?? 解之得 ? ………………………………4 分 或? 2 2 ? ?a1 ? 2 ? ?a3 ? a1q ? 8 ?a1 ? 32
又 ?an ? 单调递增,?q ? 2,?a1 ? 2,?an ? 2 ………………………………………6 分
n

(Ⅱ) bn ? 2 n ? log 1 2 n ? ? n ? 2 n ,……………………………………………………8 分
2

? ?S n ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ?? n ? 2 n

① ②

? ?2S n ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ?? (n ? 1) ? 2n ? n2n?1
? ①-②得 S n ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1
? 2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n?1 ? 2 n ?1 ? n ? 2 n?1 ? 2 1? 2

? S n ? 2n?1 ? n ? 2n?1 ? 2 …………………………………………………………12 分

a ? 2x 21.(本题满分 13 分)已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? x 是奇函数 2 ?1
(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)判断 f ( x) 的单调性,并用单调性定义证明; (III)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t 2 ) ? f (?k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围。 解: (I)∵ f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, ∴ f (0) ? 0, ,∴ f (0) ? 0, a ? 1 ……………………2 分 (Ⅱ) f ( x) ?

1? 2x 2 ? ? 1 , f ( x) 在 R 上是减函数…………………4 分 x 1? 2 1? 2x

证明:设 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x 2 则 ……………6 分

3

∵ x1 ? x 2 ,∴ 2

x2

? 2 x1 , 1 ? 2 x1 ? 0 , 1 ? 2 x2 ? 0 ,

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f ( x) 在 R 上是减函数…………………………………………………9 分 (III)不等式 f (t ? 2t 2 ) ? f (?k ) ? 0 ? f (t ? 2t 2 ) ? f (k ) 又 f ( x) 是 R 上的减函数,∴ t ? 2t 2 ? k
2 2 ∴ k ? t ? 2t ? ?2(t ? ) ?

……………………11 分

1 4

1 对 t ? R 恒成立 ……………………13 分 8

22. (本题满分 13 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点 B 的坐标 为 (0,1) ,离心率等于 2 .直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点. 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 问椭圆 C 的右焦点 F 是否可以为 ?BMN 的垂心?若可以,求出直线 l 的方程; 若不 可以,请说明理由. 解:(Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 则由题意知 b ? 1 . ∴

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2

a 2 ? b2 2 1 2 2 ∴a ? 2. ? ,得 1 ? 2 ? 2 2 2 a a
………………4 分

x2 ? y 2 ? 1. ∴椭圆 C 的方程为 2

(Ⅱ)假设右焦点 F 可以为 ?BMN 的垂心,

F (1, 0) ,∴直线 BF 的斜率为 ? 1 ,
从而直线 l 的斜率为 1.设其方程为 y ? x ? m , …………………………………5分

联立方程组 ? x

?y ? x ? m ? 2 , 2 ? y ? 1 ? ?2
2 2

整理可得:3x ? 4mx ? 2m ? 2 ? 0
4

……………7 分.

? ? 16m2 ? 24(m2 ?1) ? 24 ? 8m2 ? 0 ,∴ m2 ? 3
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ? 于是 NF ? BM ? (1 ? x2 ) x1 ? y2 ( y1 ? 1)

2m 2 ? 2 4 m , x1 x 2 ? .……………8 分 3 3

? x1 ? y 2 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? x1 ? x2 ? m ? x1 x2 ? ( x1 ? m)(x2 ? m)

? ?2x1 x2 ? (1 ? m)(x1 ? x2 ) ? m ? m2
? ?2 2m 2 ? 2 4m ? (1 ? m)(? ) ? m ? m2 3 3

1 4 ? ?m 2 ? m ? ? 0 3 3 4 解之得 m ? 1 或 m ? ? . ………………………………………11 分 3
当 m ? 1 时,点 B 即为直线 l 与椭圆的交点,不合题意;

4 时,经检验知 l 和椭圆相交,符合题意. 3 4 所以,当且仅当直线 l 的方程为 y ? x ? 时, 点 F 是 ?BMN 的垂心.………13 分 3
当m ? ?

5


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