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2013届高三数学二轮复习 专题四 第2讲 空间中的平行与垂直教案


第2讲
自主学习导引

空间中的平行与垂直

真题感悟 1.(2012·浙江)设 l 是直线,α 、β 是两个不同的平面 A.若 l∥α ,l∥β ,则 α ∥β B.若 l∥α ,l⊥β ,则 α ⊥β C.若 α ⊥β ,l⊥α ,则 l⊥β D.若 α ⊥β ,l∥α ,则 l⊥β 解析 利用线与面、面与面的关系定理判定,用特例法. 设 α ∩β =a,若直线 l∥a,且 l?α ,l?β ,则 l∥α ,l∥β ,因此 α 不一定平行于β , 故 A 错误; 由于 l∥α , 故在 α 内存在直线 l′∥l, 又因为 l⊥β , 所以 l′⊥β , α ⊥β , 故 所以 B 正确;若 α ⊥β ,在 β 内作交线的垂线 l,则 l⊥α ,此时 l 在平面 β 内,因此 C 错 误;已知 α ⊥β ,若 α ∩β =a,l∥a,且 l 不在平面 α ,β 内,则 l∥α 且 l∥β ,因此 D 错误. 答案 B 2.(2012·江苏)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D、E 分别是棱 BC、CC1 上 的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点. 求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

证明 (1)因为 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, 所以 C C1⊥平面 ABC. 又 AD? 平面 ABC,所以 C C1⊥AD. 又因为 AD⊥DE,C C1,DE? 平面 BC C1 B1,

C C1∩DE=E,
所以 AD⊥平面 BC C1 B1.

-1-

又 AD? 平面 ADE, 所以平面 ADE⊥平面 BC C1 B1. (2)因为 A1 B1=A1 C1,F 为 B1 C1 的中点,所以 A1F⊥B1 C1. 因为 C C1⊥平面 A1 B1 C1,且 A1F? 平面 A1 B1 C1, 所以 C C1⊥A1F. 又因为 C C1,B1 C1? 平面 BC C1 B1,C C1∩B1 C1=C1, 所以 A1F⊥平面 BC C1 B1. 由(1)知 AD⊥平面 BC C1 B1,所以 A1F∥AD. 又 AD? 平面 ADE,A1F?平面 ADE,所以 A1F∥平面 ADE 考题分析 空间线面位置关系的判定与证明是高考的必考考点,多以选择题与解答题的形式出现,难度 中等,解答高考题时,推理过程不完整是失分的重要原因,需引起特别注意. 网络构建

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高频考点突破 考点一:线线、线面的平行与垂直 【例 1】如图,在平行四边形 ABCD 中,CD=1,∠BCD=60°,且 BD⊥CD,正方形 ADEF 所在 平面与平面 ABCD 垂直,G、H 分别是 DF、BE 的中点. (1)求证:BD⊥平面 CDE; (2)求证:GH∥平面 CDE; (3)求三棱锥 D-CEF 的体积.

[审题导引] (1)先证 BD⊥ED,BD⊥CD,可证 BD⊥平面 CDE; (2)由 GH∥CD 可证 GH∥平面 CDE; (3)变换顶点,求 VC-DEF. [规范解答] (1)证明 ∵四边形 ADEF 是正方形, ∴ED⊥AD, 又平面 ADEF⊥平面 ABCD, 平面 ADEF∩平面 ABCD=AD. ∴ED⊥平面 ABCD,∴ED⊥BD. 又 BD⊥CD,且 ED∩DC=D, ∴BD⊥平面 CDE. (2)证明 ∵G 是 DF 的中点,又易知 H 是 FC 的中点, ∴在△FCD 中,GH∥CD, 又∵CD? 平面 CDE,GH?平面 CDE, ∴GH∥平面 CDE. (3)设 Rt△BCD 中,BC 边上的高为 h, ∵CD=1,∠BCD=60°,BD⊥CD, 1 1 ∴BC=2,BD= 3,∴ ×2×h= ×1× 3, 2 2

-3-

∴h=

3 3 ,即点 C 到平面 DEF 的距离是 , 2 2

1 1 3 3 ∴VD-CEF=VC-DEF= × ×2×2× = . 3 2 2 3 【规律总结】 线线、线面位置关系证法归纳 (1)证线线平行常用的方法:一是利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;二是利 用平行四边形进行平行转换;三是利用三角形的中位线定理证线线平行;四是利用线面平行、 面面平行的性质定理进行平行转换. (2)证线面平行常用的两种方法:一是利用线面平行的判定定理,把证线面平行转化为证线线 平行;二是利用面面平行的性质,把证线面平行转化为证面面平行. (3)证线面垂直常用的方法: 一是利用线面垂直的判定定理, 把证线面垂直转化为证线线垂直; 二是利用面面垂直的性质定理,把证面面垂直转化为证线面垂直;另外还要注意利用教材中 的一些结论,如:两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面等. 【变式训练】 1.(2012·山东实验中学一诊)如图,在几何体 ABCDEP 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方 形,PA⊥平面 ABCD,PA∥EB,且 PA=2BE=4 2. (1)证明:BD∥平面 PEC; (2)若 G 为 BC 上的动点,求证:AE⊥PG.

证明 (1)连接 AC 交 BD 于点 O,取 PC 的中点 F,连接 OF,EF, 1 ∵EB∥PA,且 EB= PA, 2 1 又 OF∥PA,且 OF= PA, 2 ∴EB∥OF,且 EB=OF, ∴四边形 EBOF 为平行四边形, ∴EF∥BD. 又∵EF? 平面 PEC,BD?平面 PEC,∴BD∥平面 PEC.

-4-

(2)连接 BP,∵ = = ∠EBA=∠BAP=90°,

EB BA AB PA

1

, 2

∴△EBA∽△BAP,∴∠PBA=∠BEA, ∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°, ∴PB⊥AE. ∵PA⊥平面 ABCD,PA? 平面 APEB, ∴平面 ABCD⊥平面 APEB, ∵BC⊥AB,平面 ABCD∩平面 APEB=AB, ∴BC⊥平面 APEB,∴BC⊥AE,∴AE⊥平面 PBC, ∵G 为 BC 上的动点,∴PG? 平面 PBC,∴AE⊥PG. 考点二:面面平行与垂直 【例 2】如图所示,已知在三棱锥 A-BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中 点,且△PMB 为正三角形. (1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC; (3)若 BC=4,AB=20,求三棱锥 D-BCM 的体积.

[审题导引] (1)只要证明 MD∥AP 即可,根据三角形中位线定理可证; (2)证明 AP⊥BC; (3)根据锥体体积公式进行计算. [规范解答] (1)证明 由已知,得 MD 是△ABP 的中位线,所以 MD∥AP. 又 MD?平面 APC,AP? 平面 APC,故 MD∥平面 APC. (2)证明 因为△PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点, 所以 MD⊥PB.所以 AP⊥PB. 又 AP⊥PC,PB∩PC=P,所以 AP⊥平面 PBC. 因为 BC? 平面 PBC,所以 AP⊥BC. 又 BC⊥AC,AC∩AP=A, 所以 BC⊥平面 APC. 因为 BC? 平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 APC. (3)由题意,可知 MD⊥平面 PBC, 所以 MD 是三棱锥 D-BCM 的一条高, 1 1 所以 VM-DBC= ×S△BCD×MD= ×2 21×5 3=10 7. 3 3 【规律总结】 面面平行与垂直的证明技巧
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在立体几何的平行关系问题中, “中点”是经常使用的一个特殊点,无论是试题本身的已知条 件,还是在具体的解题中,通过找“中点” ,连“中点” ,即可出现平行线,而线线平行是平 行关系的根本.在垂直关系的证明中,线线垂直是问题的核心,可以根据已知的平面图形通 过计算的方式证明线线垂直,也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直,其中要特别重视两 个平面垂直的性质定理,这个定理已知的是两个平面垂直,结论是线面垂直. 【变式训练】 2.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

证明 (1)在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD. 又因为 EF?平面 PCD,PD? 平面 PCD, 所以直线 EF∥平面 PCD. (2)如图,连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60°, 所以△ABD 为正三角形. 因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BF? 平面 ABCD, 所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF? 平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PAD.

考点三:平面图形的折叠问题 【例 3】(2012·南京模拟)在△ABC 中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=1,D 为线段 BC 的中 点, 、 为线段 AC 的三等分点(如图 1). E F 将△ABD 沿着 AD 折起到△AB′D 的位置, 连接 B′C(如 图 2).

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图1 图2 (1)若平面 AB′D⊥平面 ADC,求三棱锥 B′-ADC 的体积; (2)记线段 B′C 的中点为 H,平面 B′ED 与平面 HFD 的交线为 l,求证 HF∥l; (3)求证:AD⊥B′E. [审题导引] (1)解题的关键是根据折叠前后的线面位置关系求得 B′到平面 ADC 的距离,可 利用线面垂直求得; (2)线面平行? 线线平行; (3)线面垂直? 线线垂直. [规范解答] (1)在直角△ABC 中,D 为 BC 的中点, 所以 AD=BD=CD. 又∠B=60°,所以△ABD 是等边三角形. 取 AD 中点 O,连接 B′O,所以 B′O⊥AD. 因为平面 AB′D⊥平面 ADC, 平面 AB′D∩平面 ADC=AD, B′O? 平面 AB′D, 所以 B′O⊥平面 ADC. 在△ABC 中,∠BAC=90°, ∠B=60°,AB=1,

D 为 BC 的中点,
所以 AC= 3,B′O= 3 . 2

1 1 3 所以 S△ADC= × ×1× 3= . 2 2 4 1 1 所以三棱锥 B′-ADC 的体积为 V= ×S△ADC×B′O= . 3 8

(2)证明 因为 H 为 B′C 的中点,F 为 CE 的中点, 所以 HF∥B′E. 又 HF?平面 B′ED,B′E? 平面 B′ED, 所以 HF∥平面 B′ED.

-7-

因为 HF? 平面 HFD,平面 B′ED∩平面 HFD=l, 所以 HF∥l. (3)证明 由(1)知,B′O⊥AD. 因为 AE= 3 1 ,AO= ,∠DAC=30°, 3 2
2 2

所以 EO= AE +AO -2AE·AOcos 30°= 所以 AO +EO =AE .所以 AD⊥EO.
2 2 2

3 . 6

又 B′O? 平面 B′EO,EO? 平面 B′EO,B′O∩EO=O, 所以 AD⊥平面 B′EO. 又 B′E? 平面 B′EO,所以 AD⊥B′E. 【规律总结】 解决翻折问题的注意事项 (1)解决与翻折有关的几何问题的关键是搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变,抓住翻折前 后不变的量,充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口. (2)把平面图形翻折后,经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥,从而把问题转化到我们熟悉 的几何体中去解决. 【变式训练】 3. 如图 1, 直角梯形 ABCD 中, ∥BC, ABC=90°, 、 分别为 AD 和 BC 上的点, EF∥AB, AD ∠ E F 且 AD=2AE=2AB=4FC=4.将四边形 EFCD 沿 EF 折起成如图 2 的形状,使 AD=AE.

(1)求证:BC∥平面 DAE; (2)求四棱锥 D-AEFB 的体积. 解析 (1)证明 ∵BF∥AE,CF∥DE,BF∩CF=F, AE∩DE=E, ∴平面 CBF∥平面 DAE. 又 BC? 平面 CBF,∴BC∥平面 DAE. (2)取 AE 的中点 H,连接 DH. ∵EF⊥DE,EF⊥EA,∴EF⊥平面 DAE. 又 DH? 平面 DAE,∴EF⊥DH. ∵AE=DE=AD=2,∴DH⊥AE,DH= 3. ∴DH⊥平面 AEFB. 1 4 3 则四棱锥 D-AEFB 的体积 V= × 3×2×2= . 3 3 名师押题高考 【押题 1】已知直线 a、b 与平面 α 、β ,且 b⊥α ,则下列命题中正确的是
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①若 a∥α ,则 a⊥b;②若 a⊥b,则 a∥α ; ③若 b∥β ,则 α ⊥β ;④若 α ⊥β ,则 b∥β . A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 解析 命题①,若 a∥α ,过直线 a 作一平面 γ ,使得 α ∩γ =c,则由线面平行的性质定理 可得 a∥c,又因为 b⊥α ,c? α ,所以 b⊥c,故有 a⊥b,所以该命题为真;命题②,若 a⊥b, b⊥α ,则直线 α 与平面 α 的位置关系有两种:a? α 或 a∥α ,故该命题为假;

命题③,若 b∥β ,则过直线 b 作一平面δ ,使得δ ∩β =d,则由线面平行的性质定理可得 b∥d,又 b⊥α ,所以 d⊥α ,因为 d? β ,所以由面面垂直的判定定理可得 α ⊥β ,故该命 题为真;命题④,若 α ⊥β ,b⊥α ,则直线 b 与平面 β 的位置关系有两种:b? β 或 b∥β , 故该命题为假.综上,①③为真命题,故选 A. 答案 A [押题依据] 线面的平行与垂直,是立体几何的主体内容,在高考试题中通常会有一道解答 题和一道选择题或填空题,主要考查线面位置关系的判定与性质,一般难度不大. π 【押题 2】如图,在三棱锥 A-BOC 中,AO⊥平面 COB,∠OAB=∠OAC= ,AB=AC=2,BC= 6 2,D、E 分别为 AB、OB 的中点. (1)求证:CO⊥平面 AOB. (2)在线段 CB 上是否存在一点 F,使得平面 DEF∥平面 AOC?若存在,试确定 F 的位置; 若不存在,请说明理由.

解析 (1)证明 因为 AO⊥平面 COB,所以 AO⊥CO,AO⊥BO, 即△AOC 与△AOB 为直角三角形. π 又因为∠OAB=∠OAC= ,AB=AC=2, 6 所以 OB=OC=1. 由 OB +OC =1+1=2=BC , 可知△BOC 为直角三角形. 所以 CO⊥BO,又因为 AO∩BO=O,
-92 2 2

所以 CO⊥平面 AOB. (2)在线段 CB 上存在一点 F,使得平面 DEF∥平面 AOC, 此时 F 为线段 CB 的中点. 如图,连接 DF,EF,因为 D、E 分别为 AB、OB 的中点,所以 DE∥OA. 又 DE?平面 AOC,所以 DE∥平面 AOC. 因为 E、F 分别为 OB、BC 的中点,所以 EF∥OC. 又 EF?平面 AOC,所以 EF∥平面 AOC, 又 EF∩DE=E,EF? 平面 DEF,DE? 平面 DEF, 所以平面 DEF∥平面 AOC.

[押题依据] 线面的平行与垂直是立体几何的必考内容,通常要考一个解答题,本题不仅突 出考查了线面的平行与垂直,而且以立体几何为背景.考查了探索性问题,题目新颖灵活、 重点突出、难度适中,故押此题.

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