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【高优指导】2016届高考数学二轮复习 专题能力训练5 函数与方程及函数的应用 文


专题能力训练 5

函数与方程及函数的应用
)

一、选择题 x 1.在下列区间中,函数 f(x)=e +4x-3 的零点所在的区间为( A. B. C. D. x 2.已知 f(x)=则函数 g(x)=f(x)-e 的零点个数为( A.1 B.2 C.3

) D.4

3.(2014 北

京高考,文 8)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用 2 率”.在特定条件下,可食用率 p 与加工时间 t(单位:分钟)满足函数关系 p=at +bt+c(a,b,c 是常 数),右图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( ) A.3.50 分钟 B.3.75 分钟 C.4.00 分钟 D.4.25 分钟 4.若在函数 y=|x|(x∈[-1,1])的图象上有一点 P(t,|t|),该函数的图象与 x 轴、直线 x=-1 及 x=t 围成图形(如图阴影部分)的面积为 S,则 S 与 t 的函数关系图可表示为( )

5.设函数 f(x)的定义域为 R,f(x)=且对任意的 x∈R 都有 f(x+1)=f(x-1),若在区间[-1,5]上函数 g(x)=f(x)-mx-m 恰有 6 个不同零点,则实数 m 的取值范围是( ) A. B. C. D. 2 2 2 6.(2014 河南商丘三模)已知函数 f(x)=x +2alog2(x +2)+a -3 有且只有一个零点,则实数 a 的值为 ( ) A.1 B.-3 C.2 D.1 或-3 二、填空题 x 7.若 0<a<1,则函数 f(x)=a -|logax|的零点个数为 . 2 8.设 a∈R,若 x>0 时,[(a-1)x-1](x -ax-1)≥0 恒成立,则 a= . 9.已知函数 f(x)=若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围 是 . 三、解答题 2 10.已知二次函数 f(x)=x -16x+q+3. (1)若该函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数 q 的取值范围; (2)是否存在常数 t(t≥0),当 x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间 D,且区间 D 的长度为 12-t?

1

11.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c. (1)若 f(-1)=0,试判断函数 f(x)的零点个数; (2)若对 x1,x2∈R,且 x1<x2,f(x1)≠f(x2),证明方程 f(x)=[f(x1)+f(x2)]必有一个实数根属于(x1,x2).

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12.省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性 污染指数 f(x)与时刻 x(时)的关系式为 f(x)=+2a+,x∈[0,24],其中 a 是与气象有关的参数,且 a∈, 若用每天 f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作 M(a). (1)令 t=,x∈[0,24],求 t 的取值范围; (2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性污染指数是 否超标?

答案与解析 专题能力训练 5 函数与方程及函数的应用 1.C 解析:因为 f-2=-1<0,f-1=-1>0,所以函数 f(x)的零点所在的一个区间为. 故选 C. x 2.B 解析:在同一平面直角坐标系中作出函数 y=f(x)与 y=e 的图象,结合图形可知,它们有两 x 个公共点,因此函数 g(x)=f(x)-e 的零点个数是 2.故选 B.

2

3.B 解析:由题中图象可知点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)在函数图象上,因此有 解得 2 故 p=-0.2t +1.5t-2,其对称轴方程为 t==3.75. 所以当 t=3.75 时,p 取得最大值.故选 B. 2 4.B 解析:∵当-1<t<0 时,S=(-t)·|t|=t ; 2 当 t>0 时,S=t·|t|=t , ∴S=故选 B. 5.D 解析:对? x∈R 有 f(x+1)=f(x-1), 令 t=x-1,则 f(t+2)=f(t). 故函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数,作出其图象如图.

函数 g(x)=f(x)-mx-m 在区间[-1,5]上恰有 6 个不同零点,可转化为函数 y=f(x)与 y=m(x+1)的 图象的交点个数为 6. 由可解得 0<m≤. 故选 D. 2 2 2 6.A 解析:函数 f(x)有且只有一个零点可转化为方程 x +2alog2(x +2)+a -3=0 只有一解,即函 2 2 2 数 y=x -3 与 y=-a -2alog2(x +2)的图象有且只有一个交点. 2 2 2 若 a>0,则 y=-a -2alog2(x +2)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,∴-a -2a=-3,解得 a=1 或 a=3(舍去). 2 2 若 a<0,则 y=-a -2alog2(x +2)在(0,+∞)上是增函数,不符合题意. 故选 A. x 7.2 解析:分别画出函数 y=a (0<a<1)与 y=|logax|(0<a<1)的图象,如图所示.

可知两图象有 2 个交点,即当 0<a<1 时,函数 f(x)=a -|logax|的零点个数为 2. 2 2 8. 解析:令 y1=(a-1)x-1,y2=x -ax-1,则函数 y1=(a-1)x-1,y2=x -ax-1 的图象都过定点 P(0,1). 对于函数 y1=(a-1)x-1,令 y=0,得 M,同时只有 a-1>0,即 a>1 时才有可能满足 x∈(0,+∞) 时,y1·y2≥0; 2 对于函数 y2=x -ax-1,显然只有过点 M 时才能满足 x∈(0,+∞)时,y1·y2≥0,代入,得-1=0,可得 2 2 (a-1) +a(a-1)-1=0,即 2a -3a=0,解得 a=或 a=0,舍去 a=0,得答案 a=.

x

9.(0,1) 解析:作出函数 f(x)的图象如图,由图象可知,当 0<k<1 时,函数 f(x)与 y=k 的图象 有两个不同的交点,所以所求实数 k 的取值范围是(0,1).

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10.解:(1)∵函数 f(x)=x -16x+q+3 的对称轴是 x=8, ∴f(x)在区间[-1,1]上是减函数. ∵函数 f(x)在区间[-1,1]上存在零点, 则必有 即 ∴-20≤q≤12. (2)∵0≤t<10,f(x)在区间[0,8]上是减函数,在区间[8,10]上是增函数,且对称轴是 x=8, ①当 0≤t≤6 时,在区间[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小, 2 ∴f(t)-f(8)=12-t,即 t -15t+52=0,解得 t=. ∴t=. ②当 6<t≤8 时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(8)最小, ∴f(10)-f(8)=12-t,解得 t=8. ③当 8<t<10 时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(t)最小, 2 ∴f(10)-f(t)=12-t,即 t -17t+72=0, 解得 t=8 或 t=9.∴t=9. 综上可知,存在常数 t=,t=8,t=9 满足条件. 11.(1)解:∵f(-1)=0, ∴a-b+c=0.∴b=a+c. 2 2 2 ∵Δ =b -4ac=(a+c) -4ac=(a-c) , ∴当 a=c 时,Δ =0,函数 f(x)有一个零点; 当 a≠c 时,Δ >0,函数 f(x)有两个零点. (2)证明:令 g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)], 则 g(x1)=f(x1)-[f(x1)+f(x2)]=, g(x2)=f(x2)-[f(x1)+f(x2)]=, 2 ∴g(x1)·g(x2)=-[f(x1)-f(x2)] <0. ∵f(x1)≠f(x2),∴g(x)=0 在区间(x1,x2)内必有一个实根,即方程 f(x)=[f(x1)+f(x2)]必有一个 实数根属于(x1,x2). 12.解:(1)当 x=0 时,t=0; 当 0<x≤24 时,x+≥2(当 x=1 时取等号),则 t=,即 t 的取值范围是. (2)当 a∈时,记 g(t)=|t-a|+2a+, 则 g(t)= ∵g(t)在区间[0,a]上单调递减,在区间上单调递增,且 g(0)=3a+,g=a+, ∴g(0)-g=2. 故 M(a)= 即 M(a)= 由<a≤. 因此当且仅当 a≤时,M(a)≤2. 故当 0≤a≤时不超标,当<a≤时超标.

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