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2014《步步高》高考数学第一轮复习08 空间点、直线、平面之间的位置关系


§ 8.3

空间点、直线、平面之间的位置关系
1.考查点、线、面的位置关系,考查逻辑推理能力与空间想象能力;2.

2014 高考会这样考

考查公理、定理的应用,证明点共线、线共点、线共面的问题;3.运用公理、定理和结论证 明或判断一些空间图形的位置关系. 复习备考要这样做 1.理解、 熟记平面的性质公理,

灵活运用并判断直线与平面的位置关系;

2.异面直线位置关系的判定是本节难点,可以结合实物、图形思考.

1. 平面的基本性质 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线. 2. 直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
? ?共面直线?平行 ? ? ?相交 ? ?异面直线:不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,把 a′ 与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a,b 所成的角(或夹角). π ②范围:?0,2?. ? ? 3. 直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 4. 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5. 公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6. 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. [难点正本 疑点清源] 1. 公理的作用

公理 1 的作用是判断直线是否在某个平面内;公理 2 及其推论给出了确定一个平面或判 断“直线共面”的方法;公理 3 的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共 点”的理论依据;公理 4 是对初中平行线的传递性在空间中的推广. 2. 正确理解异面直线的定义:异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点.不能错误地 理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.

1. 在下列命题中,所有正确命题的序号是________. ①平面 α 与平面 β 相交,它们只有有限个公共点; ②经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; ③经过两条相交直线,有且只有一个平面; ④如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合; ⑤四边形确定一个平面. 答案 ②③④ 2. 正方体各面所在平面将空间分成________部分. 答案 27 解析 如图,上下底面所在平面把空间分成三部分;左右两个侧面所在 平面将上面的每一部分再分成三个部分; 前后两个侧面再将第二步得到 的 9 部分的一部分分成三部分,共 9×3=27 部分. 3. 空间四边形 ABCD 中,各边长均为 1,若 BD=1,则 AC 的取值范围是 ________. 答案 (0, 3)

解析 如图所示,△ABD 与△BCD 均为边长为 1 的正三角形,当 △ABD 与△CBD 重合时,AC=0,将△ABD 以 BD 为轴转动,到 A, C, 四点再共面时, B, D AC= 3, AC 的取值范围是 0<AC< 3. 故 4. 已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b( A.一定是异面直线 C.不可能是平行直线 答案 C 解析 由已知得直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线, 若 b∥c,则 a∥b,与已知 a、b 为异面直线相矛盾. 5. 已知 A、B 表示不同的点,l 表示直线,α、β 表示不同的平面, 则下列推理错误的是( A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB C.l?α,A∈l?A?α ) B.一定是相交直线 D.不可能是相交直线 )

D.A∈α,A∈l,l?α?l∩α=A 答案 C

题型一 平面基本性质的应用 例1 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O,AC,BD 交于点

M,求证:点 C1,O,M 共线. 思维启迪:证明三点共线常用方法是取其中两点确定一直线,再证明其余点也在该直线 上. 证明 如图所示,∵A1A∥C1C, ∴A1A,C1C 确定平面 A1C. ∵A1C?平面 A1C,O∈A1C, ∴O∈平面 A1C,而 O=平面 BDC1∩线 A1C, ∴O∈平面 BDC1, ∴O 在平面 BDC1 与平面 A1C 的交线上. ∵AC∩BD=M,∴M∈平面 BDC1 且 M∈平面 A1C, ∴平面 BDC1∩平面 A1C=C1M, ∴O∈C1M,即 C1,O,M 三点共线. 探究提高 (1)证明若干点共线也可以公理 3 为依据,找出两个平面的交线,然后证明各

个点都是这两平面的公共点. (2)利用类似方法也可证明线共点问题. 如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点. 证明 (1)连接 EF,CD1,A1B.

∵E、F 分别是 AB、AA1 的中点, ∴EF∥BA1. 又 A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E、C、D1、F 四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE 与 D1F 必相交,设交点为 P, 则由 P∈CE,CE?平面 ABCD,得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1.

又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA, ∴P∈直线 DA.∴CE、D1F、DA 三线共点. 题型二 空间两直线的位置关系 例2 如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点.问: (1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由. 思维启迪:第(1)问,连接 MN,AC,证 MN∥AC,即 AM 与 CN 共面;第(2)问可采用反 证法. 解 (1)不是异面直线.理由如下:

连接 MN、A1C1、AC. ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点, ∴MN∥A1C1. 又∵A1A 綊 C1C, ∴A1ACC1 为平行四边形, ∴A1C1∥AC,∴MN∥AC, ∴A、M、N、C 在同一平面内,故 AM 和 CN 不是异面直线. (2)是异面直线.证明如下: ∵ABCD—A1B1C1D1 是正方体, ∴B、C、C1、D1 不共面. 假设 D1B 与 CC1 不是异面直线, 则存在平面 α,使 D1B?平面 α,CC1?平面 α, ∴D1、B、C、C1∈α,与 ABCD—A1B1C1D1 是正方体矛盾. ∴假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异面直线. 探究提高 (1)证明直线异面通常用反证法;(2)证明直线相交,通常用平面的基本性质,

平面图形的性质等. 已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是边 AB、AD 的中点,F、G 分别是 边 BC、CD 的中点.求证: (1)BC 与 AD 是异面直线; (2)EG 与 FH 相交. 证明 (1)假设 BC 与 AD 共面,不妨设它们所共平面为 α,则 B、C、A、D∈α.

∴四边形 ABCD 为平面图形, 这与四边形 ABCD 为空间四边形相矛盾.

∴BC 与 AD 是异面直线. (2)如图,连接 AC,BD, 则 EF∥AC,HG∥AC, 因此 EF∥HG;同理 EH∥FG, 则 EFGH 为平行四边形. 又 EG、FH 是?EFGH 的对角线, ∴EG 与 FH 相交. 题型三 异面直线所成的角 例3 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小; (2)若 E、F 分别为 AB、AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成角的大小. 思维启迪:(1)平移 A1D 到 B1C,找出 AC 与 A1D 所成的角,再计算.(2)可证 A1C1 与 EF 垂直. 解 (1)如图所示,连接 B1C,由 ABCD—A1B1C1D1 是正方体,

易知 A1D∥B1C,从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成 的角. ∵AB1=AC=B1C, ∴∠B1CA=60° . 即 A1D 与 AC 所成的角为 60° . (2)如图所示,连接 AC、BD,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, AC⊥BD,AC∥A1C1, ∵E、F 分别为 AB、AD 的中点, ∴EF∥BD, ∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1. 即 A1C1 与 EF 所成的角为 90° . 探究提高 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移的方法一般有三种类型: 利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平 移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行. 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若∠BAC=90° ,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于 ( )

A.30°

B.45°

C.60° 答案 C

D.90°

解析 如图,可补成一个正方体, ∴AC1∥BD1. ∴BA1 与 AC1 所成角的大小为∠A1BD1. 又易知△A1BD1 为正三角形, ∴∠A1BD1=60° . 即 BA1 与 AC1 成 60° 的角.

点、直线、平面位置关系考虑不全面致误

典例:(5 分)l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面

(

)

易错分析 由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑,这与在平面上考虑点、 线的位置关系相比复杂了很多,特别是当直线和平面的个数较多时,各种位置关系错综 复杂、相互交织,如果考虑不全面就会导致一些错误的判断. 解析 当 l1⊥l2,l2⊥l3 时,l1 与 l3 也可能相交或异面,故 A 不正确;当 l1∥l2∥l3 时,l1, l2,l3 未必共面,如三棱柱的三条侧棱,故 C 不正确;l1,l2,l3 共点时,l1,l2,l3 未必 共面,如正方体中从同一顶点出发的三条棱,故 D 不正确. 答案 B 温馨提醒 (1)平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立,如“垂直于同一条直

线的两条直线互相平行”在空间中不成立,所以在用一些平面几何中的定理和结论时, 必须说明涉及的元素都在某个平面内. (2)解决点、线、面位置关系问题的基本思路:一是逐个判断,利用空间线面关系证明正 确的结论,寻找反例否定错误的结论;二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教 室)作出判断,但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致.

构造衬托平面研究直线相交问题

典例:(5 分)在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AA1,CC1 的中点,则在空间中与 三条直线 A1D1,EF,CD 都相交的直线有________条. 审题视角 找三条异面直线都相交的直线,可以转化成在一个平面内,作与三条直线都 相交的直线.因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面.进而研究公共交 线问题. 解析 方法一 在 EF 上任意取一点 M,直线 A1D1 与 M 确定一个平 面,这个平面与 CD 有且仅有 1 个交点 N,当 M 取不同的位置时就 确定不同的平面,从而与 CD 有不同的交点 N,而直线 MN 与这 3 条 异面直线都有交点.如图所示. 方法二 在 A1D1 上任取一点 P,过点 P 与直线 EF 作一个平面 α,因 CD 与平面 α 不平 行,所以它们相交,设它们交于点 Q,连接 PQ,则 PQ 与 EF 必然相交,即 PQ 为所求 直线.由点 P 的任意性,知有无数条直线与三条直线 A1D1,EF,CD 都相交. 答案 无数 温馨提醒 (1)本题难度不大,但比较灵活.对平面的基本性质、空间两条直线的位置关

系的考查,难度一般都不会太大. (2)误区警示:本题解法较多,但关键在于构造平面,但不少学生不会构造平面,因此失 分较多.这说明学生还是缺少空间想象能力,缺少对空间直线位置关系的理解.

方法与技巧 1. 主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面,再证其余直线或 点也在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公 共点,根据公理 3 可知这些点在交线上,因此共线. 2. 判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理: 平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点 B 的直线是异面 直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. 3. 求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面

问题来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关, 往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解. 失误与防范 1.全面考虑点、线、面位置关系的情形,可以借助常见几何模型. 2.异面直线所成的角范围是(0° ,90° ].

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ( A.充分非必要条件 C.充分必要条件 答案 A 解析 若两条直线无公共点,则两条直线可能异面,也可能平行.若两条直线是异面直 线,则两条直线必无公共点. 2. 下列命题正确的个数为 ①经过三点确定一个平面 ②梯形可以确定一个平面 ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. A.0 答案 C 解析 经过不共线的三点可以确定一个平面,∴①不正确; 两条平行线可以确定一个平面,∴②正确; 两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面,∴③正确; 命题④中没有说清三个点是否共线,∴④不正确. 3. 设 P 表示一个点,a、b 表示两条直线,α、β 表示两个平面,给出下列四个命题,其中 正确的命题是 ①P∈a,P∈α?a?α ②a∩b=P,b?β?a?β ③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α ④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b ( ) B.1 C.2 D.3 ( ) B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 )

A.①② 答案 D

B.②③

C.①④

D.③④

解析 当 a∩α=P 时,P∈a,P∈α,但 a?α,∴①错;a∩β=P 时, ②错; 如图,∵a∥b,P∈b,∴P?a, ∴由直线 a 与点 P 确定唯一平面 α, 又 a∥b,由 a 与 b 确定唯一平面 β,但 β 经过直线 a 与点 P, ∴β 与 α 重合,∴b?α,故③正确; 两个平面的公共点必在其交线上,故④正确. 4. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,过顶点 A1 与正方体其他顶点的连线与 直线 BC1 成 60° 角的条数为 A.1 C.3 答案 B 解析 有 2 条:A1B 和 A1C1. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 平面 α、β 相交,在 α、β 内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定________个 平面. 答案 1 或 4 解析 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行,则确定一个平面;否 则确定四个平面. 6. 下列命题中不正确的是________.(填序号) . ①没有公共点的两条直线是异面直线; ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面; ③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行; ④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面. 答案 ①② 解析 没有公共点的两直线平行或异面,故①错;命题②错,此时两直线有可能相交; 命题③正确,因为若直线 a 和 b 异面,c∥a,则 c 与 b 不可能平行,用反证法证明如下: 若 c∥b,又 c∥a,则 a∥b,这与 a,b 异面矛盾,故 cD∥\b;命题④也正确,若 c 与两 异面直线 a,b 都相交,由公理 2 可知,a,c 可确定一个平面,b,c 也可确定一个平面, 这样,a,b,c 共确定两个平面. 7. (2011· 大纲全国)已知正方体 ABCD-A1 B1 C1 D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为______. B.2 D.4 ( )

答案

2 3

解析 取 A1B1 的中点 F,连接 EF,AF. ∵在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, EF∥B1C1,B1C1∥BC, ∴EF∥BC,∴∠AEF 即为异面直线 AE 与 BC 所成的角. 设正方体的棱长为 a, 则 AF= 1 5 a2+? a?2= a,EF=a. 2 2

∵EF⊥平面 ABB1A1,∴EF⊥AF, 3 ∴AE= AF2+EF2= a. 2 EF a 2 ∴cos ∠AEF= = = . AE 3 3 a 2 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分) 如图所示,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,∠BAD 1 1 =∠FAB=90° ,BC 綊 AD,BE 綊 FA,G、H 分别为 FA、FD 的 2 2 中点. (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? (1)证明 由已知 FG=GA,FH=HD, 1 1 可得 GH 綊 AD.又 BC 綊 AD,∴GH 綊 BC, 2 2 ∴四边形 BCHG 为平行四边形. (2)解 1 方法一 由 BE 綊 AF,G 为 FA 的中点知, 2

BE 綊 FG,∴四边形 BEFG 为平行四边形,∴EF∥BG. 由(1)知 BG 綊 CH,∴EF∥CH,∴EF 与 CH 共面. 又 D∈FH,∴C、D、F、E 四点共面. 方法二 如图所示,延长 FE,DC 分别与 AB 交于点 M,M′, 1 ∵BE 綊 AF,∴B 为 MA 的中点. 2 1 ∵BC 綊 AD,∴B 为 M′A 的中点, 2

∴M 与 M′重合,即 FE 与 DC 交于点 M(M′),∴C、D、F、E 四点共面. 9. (12 分)如图,在四面体 ABCD 中作截面 PQR,若 PQ、CB 的延长 线交于 M,RQ、DB 的延长线交于 N,RP、DC 的延长线交于 K, 求证:M、N、K 三点共线. 证明 ∵M∈PQ,直线 PQ?面 PQR,M∈BC,直线 BC?面 BCD, ∴M 是平面 PQR 与平面 BCD 的一个公共点, 即 M 在面 PQR 与面 BCD 的交线 l 上. 同理可证 N、K 也在 l 上.∴M、N、K 三点共线. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 如图,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且 C?l,直线 AB∩l=M,过 A,B, C 三点的平面记作 γ,则 γ 与 β 的交线必通过 A.点 A B.点 B C.点 C 但不过点 M D.点 C 和点 M 答案 D 解析 ∵AB?γ,M∈AB,∴M∈γ. 又 α∩β=l,M∈l,∴M∈β. 根据公理 3 可知,M 在 γ 与 β 的交线上. 同理可知,点 C 也在 γ 与 β 的交线上. 2. 已知空间中有三条线段 AB、BC 和 CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线 AB 与 CD 的位置 关系是 A.AB∥CD B.AB 与 CD 异面 C.AB 与 CD 相交 D.AB∥CD 或 AB 与 CD 异面或 AB 与 CD 相交 答案 D 解析 若三条线段共面,如果 AB、BC、CD 构成等腰三角形,则直线 AB 与 CD 相交, 否则直线 AB 与 CD 平行;若不共面,则直线 AB 与 CD 是异面直线,故选 D. 3. 以下四个命题中 ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则点 A、B、C、D、E 共面; ( ) ( )

③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是 A.0 答案 B 解析 ①假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不 共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点 A、 B、C,但是若 A、B、C 共线,则结论不正确;③不正确;④不正确,因为此时所得的 四边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 在图中,G、H、M、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号) B.1 C.2 D.3 ( )

答案 ②④ 解析 图①中,直线 GH∥MN; 图②中,G、H、N 三点共面,但 M?面 GHN, 因此直线 GH 与 MN 异面; 图③中,连接 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面; 图④中,G、M、N 共面,但 H?面 GMN, 因此 GH 与 MN 异面. 所以图②、④中 GH 与 MN 异面. 5. 如图是正四面体的平面展开图,G、H、M、N 分别为 DE、BE、EF、 EC 的中点,在这个正四面体中, ①GH 与 EF 平行; ②BD 与 MN 为异面直线; ③GH 与 MN 成 60° 角; ④DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 答案 ②③④ 解析 还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线,BD 与 MN 为异面直线,GH 与 MN 成 60° 角,DE⊥MN.

6. (2012· 四川)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 CD、 CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是________. 答案 90° 解析 如图,取 CN 的中点 K,连接 MK,则 MK 为△CDN 的中位线, 所以 MK∥DN. 所以∠A1MK 为异面直线 A1M 与 DN 所成的角. 连接 A1C1,AM.设正方体棱长为 4, 则 A1K= ?4 2?2+32= 41, 1 1 MK= DN= 42+22= 5, 2 2 A1M= 42+42+22=6, ∴A1M2+MK2=A1K2,∴∠A1MK=90° . 三、解答题 7. (13 分)如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为正方形 ABCD 的中 心,H 为直线 B1D 与平面 ACD1 的交点.求证:D1、H、O 三点共线. 证明 连接 BD,B1D1, 则 BD∩AC=O, ∵BB1 綊 DD1,∴四边形 BB1D1D 为平行四边形,又 H∈B1D, B1D?平面 BB1D1D, 则 H∈平面 BB1D1D, ∵平面 ACD1∩平面 BB1D1D=OD1,∴H∈OD1. 即 D1、H、O 三点共线.


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