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黑龙江省哈尔滨六十九中2015-2016学年八年级数学12月月考试题(含解析) 新人教版


黑龙江省哈尔滨六十九中 2015-2016 学年八年级数学 12 月月考试题
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1.下列平面图形中,不是轴对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

2.下列计算正确的是( ) 2 3 6 3 3 3

2 6 A.a ?a =a B.y ÷y =y C.3m+3n=6mn D. (x ) =x 3.和点 P(﹣3,2)关于 x 轴对称的点是( ) A. (3,2) B. (﹣3,2) C. (3,﹣2) D. (﹣3,﹣2) 4.等腰三角形一边长等于 4,一边长等于 9,则它的周长等于( ) A.17 B.22 C.17 或 22 D.13 5.如图,有 A、B、C 三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物 超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在( )

A.在 AC,BC 两边高线的交点处 B.在 AC,BC 两边中线的交点处 C.在 AC,BC 两边垂直平分线的交点处 D.在∠A,∠B 两内角平分线的交点处 6.若(x+k) (x﹣5)的积中不含有 x 的一次项,则 k 的值是( A.0 B.5 C.﹣5 D.﹣5 或 5 7.下列计算中正确的是( ) 3 3 2 6 6 10 2 20 A. (﹣3x y ) =3x y B.a ?a =a
2 5 3 2 16 2 4 3 6 12



C. (﹣m ) ?(﹣m ) =m D. (﹣ x y ) =﹣ x y 8.等腰三角形的一个外角为 80°,则它的底角为( ) A.100° B.80° C.40° D.100°或 40° 9.下列命题中:1)两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形;2)等腰三角形的对称轴 是底边上的中线;3)等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线;4)一条线段可以看着 是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.正确的说法有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10.如图,△ABC 为等边三角形,D、E 分别是 AC、BC 上的点,且 AD=CE,AE 与 BD 相交于点 P,BF⊥AE 于点 F.若 BP=4,则 PF 的长( )

1

A.2

B.3

C.1

D.8

二、填空题(每题 3 分,共 30 分) 2 11.因式分解:a ﹣4= . 12.一辆汽车的车牌号在水中的倒影是:
2 3 2

,那么它的实际车牌号是 .



13.计算:x ?(x +x )= . 2 2 14.若代数式 2a +3a+1 的值是 6,则代数式 6a +9a+3 的值为 15.计算: x y z ÷(﹣ x z )= . 16. 如图在中, AB=AC, ∠A=40°, AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D, 则∠DBC=
3 2 9 3 5

度.

17. (﹣ ) ×(2 ) = . 18 . 已 知 等 腰 三 角 形 一 腰 上 的 高 与 另 一 腰 的 夹 角 为 30° , 则 这 个 等 腰 三 角 形 顶 角 为 °. 19.如图所示,在△ABC 中,AB=AC=CD,AD=DB,求∠BAC 的度数是 .

2004

2003

20.如图,在等边△ABC 中,点 D 是 BC 中点,点 E 在 BA 的延长线上,ED=EC,AC 和 ED 交于 点 F,若 AE= ,则 CF= .

2

三、解答题: (其中 21-22 各题 7 分,23-24 各题 8 分,25-27 各题 10 分,共 60 分) 21.先化简,再求值: (3a+7) (3a﹣7)﹣2a ,其中 a=﹣ . 22.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点 A、B、C 坐标分别为: (﹣3,2) 、 (﹣4,﹣ 3) 、C(﹣1,﹣1) . (1)画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1; (A、B、C 的对应点分别为 A1、B1、C1) ; (2)直接写出△A1B1C1 各顶点 A1、B1、C1 的坐标.
2

23.已知:x、y 满足: (x+y) =5, (x﹣y) =41. 2 2 (1)求 x +y 的值; 3 3 (2)求 x y+xy 的值. 24.如图,已知 AD=AE,∠BDE=∠CED,∠ABD=∠ACE. (1)求证:AB=AC; (2)若∠DAE=2∠ABC=140°,求∠BAD 的度数.

2

2

25.如图,我校一块边长为 2x 米的正方形空地是八年级 1﹣4 班的卫生区,学校把它分成大 小不同的四块,采用抽签的方式安排卫生区,下图是四个班级所抽到的卫生区情况,其中 1 班的卫生区是一块边长为(x﹣2y)米的正方形,其中 0<2y<x. (1)分别用 x、y 的式子表示八年 3 班和八年 4 班的卫生区的面积; (2)求 2 班的卫生区的面积比 1 班的卫生区的面积多多少平方米?

3

26.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,D 为 AC 边上一点,连接 BD,AF⊥BD 于点 F, 点 E 在 BF 上,连接 AE,∠EAF=45°;

(1)如图 1,EM∥AB,分别交 AF、AD 于点 Q、M,求证:FD=FQ; (2)如图 2,连接 CE,AK⊥CE 于点 K,交 DE 于点 H,∠DEC=30°,HF= ,求 EC 的长. 27.如图 1,在平面直角坐标系中,直线 BC 与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点,直线 AD 与 x 轴,y 轴分别交于 A、D 两点,其中 A(﹣3,0) 、B(4,0) ,C(0,4)并且 AD⊥BC 于点 E (1)求点 D 的坐标; (2)点 P 从点 A 出发沿 x 轴正方向匀速运动,运动速度为每秒 2 个单位的长度,过点 P 作 PM⊥x 轴分别交直线 AD、BC 于点 M、N,设点 P 的运动时间为 t(秒) ,MN=m(m>0) ,请用 含 t 的式子表示 m,并说明理由(并直接写出 t 的取值范围) ; (3)在(2)的条件下,EK⊥x 轴于点 K,连接 MK,作 KQ⊥MK 交直线 BC 于点 Q,当 S△KQB= 时,求此时的 P 值及点 M 的坐标.

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2015-2016 学年黑龙江省哈尔滨六十九中八年级(上)月考数学试卷(12 月份) 参考答案与试题解析 一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1.下列平面图形中,不是轴对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的定义作答. 如果把一个图形沿着一条直线翻折过来, 直线两旁的部分能够完全重合, 这样的图形叫做轴 对称图形,这条直线叫做对称轴. 【解答】解:根据轴对称图形的概念,可知只有 A 沿任意一条直线折叠直线两旁的部分都不 能重合. 故选:A. 2.下列计算正确的是( ) 2 3 6 3 3 3 2 6 A.a ?a =a B.y ÷y =y C.3m+3n=6mn D. (x ) =x 【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. 【分析】根据同底数幂的运算法则、幂的乘方、合并同类项的法则进行计算即可. 2 3 5 【解答】解:A、应为 a ?a =a ,故 A 错误; 3 3 B、应为 y ÷y =1,故 B 错误; C、3m 与 3n 不是同类项,不能合并,故 C 错误; 3 2 3×2 6 D、 (x ) =x =x ,故 D 正确. 故选 D. 3.和点 P(﹣3,2)关于 x 轴对称的点是( ) A. (3,2) B. (﹣3,2) C. (3,﹣2) D. (﹣3,﹣2) 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标. 【分析】根据关于 x 轴对称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相反数可得答案. 【解答】解:点 P(﹣3,2)关于 x 轴对称的点是(﹣3,﹣2) , 故选:D. 4.等腰三角形一边长等于 4,一边长等于 9,则它的周长等于( ) A.17 B.22 C.17 或 22 D.13 【考点】等腰三角形的性质. 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为 4 和 9,而没有明确腰、底分别是多少,所以要 进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形. 【解答】解:∵4+4=8<9,0<4<9+9=18, ∴腰的不应为 4,而应为 9, ∴等腰三角形的周长=4+9+9=22, 故选 B.

5

5.如图,有 A、B、C 三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物 超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在( )

A.在 AC,BC 两边高线的交点处 B.在 AC,BC 两边中线的交点处 C.在 AC,BC 两边垂直平分线的交点处 D.在∠A,∠B 两内角平分线的交点处 【考点】线段垂直平分线的性质. 【分析】要求到三小区的距离相等,首先思考到 A 小区、B 小区距离相等,根据线段垂直平 分线定理的逆定理知满足条件的点在线段 AB 的垂直平分线上,同理到 B 小区、C 小区的距 离相等的点在线段 BC 的垂直平分线上,于是到三个小区的距离相等的点应是其交点,答案 可得. 【解答】解:根据线段的垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的 距离相等. 则超市应建在 AC,BC 两边垂直平分线的交点处. 故选 C. 6.若(x+k) (x﹣5)的积中不含有 x 的一次项,则 k 的值是( ) A.0 B.5 C.﹣5 D.﹣5 或 5 【考点】多项式乘多项式. 【分析】 根据多项式乘多项式的运算法则, 展开后令 x 的一次项的系数为 0, 列式求解即可. 【解答】解: (x+k) (x﹣5) 2 =x ﹣5x+kx﹣5k 2 =x +(k﹣5)x﹣5k, ∵不含有 x 的一次项, ∴k﹣5=0, 解得 k=5. 故选 B. 7.下列计算中正确的是( ) 3 3 2 6 6 10 2 20 A. (﹣3x y ) =3x y B.a ?a =a C. (﹣m ) ?(﹣m ) =m D. (﹣ x y ) =﹣ x y 【考点】幂的乘方与积的乘方;同底数幂的乘法. 【分析】 结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法运算, 然后选择正确选 项. 3 3 2 6 6 【解答】解:A、 (﹣3x y ) =9x y ,原式计算错误,故本选项错误; 10 2 12 B、a ?a =a ,原式计算错误,故本选项错误; 2 5 3 2 16 C、 (﹣m ) ?(﹣m ) =﹣m ,原式计算错误,故本选项错误;
2 5 3 2 16 2 4 3 6 12

6

D、 (﹣ x y ) =﹣ x y ,原式计算正确,故本选项正确. 故选 D. 8.等腰三角形的一个外角为 80°,则它的底角为( ) A.100° B.80° C.40° D.100°或 40° 【考点】等腰三角形的性质. 【分析】根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解. 【解答】解:∵等腰三角形的一个外角为 80° ∴相邻角为 180°﹣80°=100° ∵三角形的底角不能为钝角 ∴100°角为顶角 ∴底角为:÷2=40°. 故选 C. 9.下列命题中:1)两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形;2)等腰三角形的对称轴 是底边上的中线;3)等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线;4)一条线段可以看着 是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.正确的说法有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】轴对称的性质. 【分析】根据题轴对称的性质,对题中条件进行一一分析,排除错误答案. 【解答】解: (1)两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形,由于位置关系不确定,不能 正确判定,错误; (2)等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线,而非中线,故错误; (3)等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线,应该改为高所在的直线,故错误; (4)一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形,符合轴对称性质,正 确. 故选 A. 10.如图,△ABC 为等边三角形,D、E 分别是 AC、BC 上的点,且 AD=CE,AE 与 BD 相交于点 P,BF⊥AE 于点 F.若 BP=4,则 PF 的长( )

2 4

3

6 12

A.2 B.3 C.1 D.8 【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;含 30 度角的直角三角形. 【分析】证△ABD≌△CAE,推出∠ABD=∠CAE,求出∠BPF=∠APD=60°,得出∠PBF=30°, 根据含 30 度角的直角三角形性质求出即可. 【解答】解:∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=AC.

7

∴∠BAC=∠C. 在△ABD 和△CAE 中,

, ∴△ABD≌△CAE(SAS) . ∴∠ABD=∠CAE. ∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°. ∴∠BPF=∠APD=60°. ∵∠BFP=90°,∠BPF=60°, ∴∠PBF=30°. ∴PF= 故选;A. .

二、填空题(每题 3 分,共 30 分) 2 11.因式分解:a ﹣4= (a+2) (a﹣2) . 【考点】因式分解-运用公式法. 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可. 2 【解答】解:a ﹣4=(a+2) (a﹣2) . 故答案为: (a+2) (a﹣2) .

12.一辆汽车的车牌号在水中的倒影是:

,那么它的实际车牌号是 9689 .

【考点】镜面对称. 【分析】关于倒影,相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称. 【解答】解:实际车牌号是 9689. 故答案为:9689. 13.计算:x ?(x +x )= x +x . 【考点】单项式乘多项式. 【分析】根据单项式与多项式相乘,先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加计算 即可. 2 3 2 2 5 4 【解答】解:原式=x ?x +x ?x =x +x , 5 4 故答案为:x +x . 14.若代数式 2a +3a+1 的值是 6,则代数式 6a +9a+3 的值为 18 . 【考点】代数式求值. 2 【分析】根据已知代数式的值确定出 2a +3a 的值,原式变形后代入计算即可求出值. 2 2 【解答】解:∵2a +3a+1=6,即 2a +3a=5, 2 ∴原式=3(2a +3a)+3=15+3=18, 故答案为:18
2 2 2 3 2 5 4

8

15.计算: x y z ÷(﹣ x z )= ﹣6y z . 【考点】整式的除法. 【分析】原式利用单项式除以单项式法则计算即可得到结果. 2 4 【解答】解:原式=﹣6y z . 2 4 故答案为:﹣6y z . 16.如图在中,AB=AC,∠A=40°,AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D,则∠DBC= 30 度.

3 2 9

3 5

2 4

【考点】线段垂直平分线的性质. 【分析】 由 AB=AC, ∠A=40°, 即可推出∠C=∠ABC=70°, 由垂直平分线的性质可推出 AD=BD, 即可推出∠A=∠ABD=40°,根据图形即可求出结果. 【解答】解:∵AB=AC,∠A=40°, ∴∠C=∠ABC=70°, ∵AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D, ∴AD=BD, ∴∠A=∠ABD=40°, ∴∠DBC=30°. 故答案为 30°.

17. (﹣ ) ×(2 ) = . 【考点】幂的乘方与积的乘方. 【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解. 【解答】解: (﹣ =(﹣ = . × )
2003

2004

2003



2004

×(2 ) )

2003

×(﹣

18.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°,则这个等腰三角形顶角为 60 或 120 °. 【考点】等腰三角形的性质. 【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系,三角形内部,三角形的外部,三角 形的边上. 根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了, 因而应分两种情况进行

9

讨论. 【解答】解:当高在三角形内部时(如图 1) ,顶角是 60°; 当高在三角形外部时(如图 2) ,顶角是 120°. 故答案为:60 或 120.

19.如图所示,在△ABC 中,AB=AC=CD,AD=DB,求∠BAC 的度数是 108° .

【考点】等腰三角形的性质. 【分析】利用等边对等角,可得到∠DAC、∠BAD 和∠B 的关系,利用三角形内角和定理可得 到关于∠B 的方程,求得∠B 后进一步可求得∠BAC. 【解答】解:∵AB=AC,DA=DB, ∴∠C=∠DAB=∠B, ∵AC=CD, ∴∠DAC=∠ADC= , 在△ABC 中,∠B+∠C+∠BAD+∠DAC=180°, ∴∠B+∠B+∠B+ =180°, ∴∠B=36°, ∴∠BAC=180°﹣2∠B=180°﹣72°=108°, 故答案为:108°. 20.如图,在等边△ABC 中,点 D 是 BC 中点,点 E 在 BA 的延长线上,ED=EC,AC 和 ED 交于 点 F,若 AE= ,则 CF= .

【考点】三角形中位线定理;等边三角形的判定与性质;含 30 度角的直角三角形. 【分析】作 EG∥AC 交 BC 的延长线于 G,根据平行线的性质和等边三角形的性质得到△EBG 是等边三角形,求出 CG 的长,证明△BED≌△GEC,求出 BD,根据三角形中位线定理计算即 可.

10

【解答】解:作 EG∥AC 交 BC 的延长线于 G, ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ACB=60°, ∴∠G=60°,又∠B=60°, ∴△EBG 是等边三角形, ∴EB=EG=BG, ∴CG=AE= , ∵ED=EC, ∴∠EDC=∠ECD,又∠B=∠G, ∴∠BED=∠GEC, 在△BED 和△GEC 中,

, ∴△BED≌△GEC, ∴BD=CG= ,

∴EG=BG= , ∵EG∥AC,DC=CG, ∴CF= EG= 故答案为: . .

三、解答题: (其中 21-22 各题 7 分,23-24 各题 8 分,25-27 各题 10 分,共 60 分) 21.先化简,再求值: (3a+7) (3a﹣7)﹣2a ,其中 a=﹣ . 【考点】整式的混合运算—化简求值. 【分析】原式利用平方差公式化简,去括号合并得到最简结果,把 a 的值代入计算即可求出 值. 2 2 2 【解答】解:原式=9a ﹣49﹣2a =7a ﹣49, 当 a= 时,原式=﹣48 .
2

11

22.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点 A、B、C 坐标分别为: (﹣3,2) 、 (﹣4,﹣ 3) 、C(﹣1,﹣1) . (1)画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1; (A、B、C 的对应点分别为 A1、B1、C1) ; (2)直接写出△A1B1C1 各顶点 A1、B1、C1 的坐标.

【考点】作图-轴对称变换. 【分析】 (1)作出各点关于 y 轴的对称点,再顺次连接即可; (2)根据各点在坐标系中的位置写出其坐标即可. 【解答】解: (1)如图所示; (2)由图可知,A1(3,2) 、B1(4,﹣3) 、C1(1,﹣1) .

23.已知:x、y 满足: (x+y) =5, (x﹣y) =41. 2 2 (1)求 x +y 的值; 3 3 (2)求 x y+xy 的值. 【考点】完全平方公式;因式分解-提公因式法. 【分析】 (1)根据完全平方公式,即可解答; (2)先提公因式,再根据完全平方公式,即可解答. 2 2 【解答】解: (1)∵(x+y) =5, (x﹣y) =41 2 2 2 2 ∴x +y +2xy=5,x +y ﹣2xy=41 2 2 ∴2x +2y =46 2 2 ∴x +y =23. 2 2 2 2 (2)∵x +y +2xy=5,x +y ﹣2xy=41 ∴4xy=﹣36 ∴xy=﹣9

2

2

12

∴x y+xy =xy(x +y )=﹣207. 24.如图,已知 AD=AE,∠BDE=∠CED,∠ABD=∠ACE. (1)求证:AB=AC; (2)若∠DAE=2∠ABC=140°,求∠BAD 的度数.

3

3

2

2

【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】 (1)由等腰三角形的性质可知∠ADE=∠AED,从而可得到∠ADB=∠AEC,依据 AAS 可证明△ADB≌△AEC; (2)由题意可知:∠ABC=70°,由等腰三角形的性质可知∠ABC=∠ACB=70°,由三角形内 角和定理可知∠BAC=40°,由△ADB≌△AEC 可知∠DAB=∠EAC,故此∠BAD= =90°. 【解答】 (1)证明:∵AD=AE, ∴∠ADE=∠AED. ∵∠BDE=∠CED, ∴∠BDE﹣∠ADE=∠CED﹣∠AED. ∴∠ADB=∠AEC. 在△ADB 和△AEC 中,

∴△ADB≌△AEC. ∴AB=AC. (2)解:∵2∠ABC=140°, ∴∠ABC=70°. ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=70°. ∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=40°. ∵△ADB≌△AEC, ∴∠DAB=∠EAC. ∵∠DAE=140°, ∴∠BAD= =90°. 25.如图,我校一块边长为 2x 米的正方形空地是八年级 1﹣4 班的卫生区,学校把它分成大 小不同的四块,采用抽签的方式安排卫生区,下图是四个班级所抽到的卫生区情况,其中 1 班的卫生区是一块边长为(x﹣2y)米的正方形,其中 0<2y<x. (1)分别用 x、y 的式子表示八年 3 班和八年 4 班的卫生区的面积; (2)求 2 班的卫生区的面积比 1 班的卫生区的面积多多少平方米?

13

【考点】平方差公式的几何背景. 【分析】 (1)结合图形、根据平方差公式计算即可; (2)根据图形分别表示出 2 班的卫生区的面积和 1 班的卫生区,根据平方差公式和完全平 方公式化简、求差即可. 2 2 【解答】解: (1)八年 3 班的卫生区的面积=(x﹣2y)[2x﹣(x﹣2y)]=x ﹣4y ; 2 2 八年 4 班的卫生区的面积=(x﹣2y)[2x﹣(x﹣2y)]=x ﹣4y ; 2 2 (2)[2x﹣(x﹣2y)] ﹣(x﹣2y) =8xy. 答:2 班的卫生区的面积比 1 班的卫生区的面积多 8xy 平方米. 26.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,D 为 AC 边上一点,连接 BD,AF⊥BD 于点 F, 点 E 在 BF 上,连接 AE,∠EAF=45°;

(1)如图 1,EM∥AB,分别交 AF、AD 于点 Q、M,求证:FD=FQ; (2)如图 2,连接 CE,AK⊥CE 于点 K,交 DE 于点 H,∠DEC=30°,HF= ,求 EC 的长. 【考点】全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形. 【分析】 (1)证得△ADF≌EQF,即可证得结论; (2)延长 AF 交 CE 于 P,证得△ABH≌△APC 得出 AH=CP,证得△AHF≌△EPF 得出 AH=EP, 得出 EC=2AH,解 30°的直角三角形 AFH 求得 AH,即可求得 EC 的长. 【解答】 (1)证明:如图 1,∵∠EAF=45°,AF⊥BD, ∴AF=EF, ∵EM∥AB,∠BAC=90°, ∴∠AME=90°, ∴∠AQM+∠FAD=90°, ∵∠ADF+∠FAD=90°, ∴∠AQM=∠ADF, ∴∠EQF=∠ADF, 在△ADF 和 EQF 中,

14

, ∴△ADF≌EQF(AAS) , ∴FD=FQ; (2)解:如图 2,延长 AF 交 CE 于 P, ∵∠ABH+∠ADB=90°,∠PAC+∠ADB=90°, ∴∠ABH=∠PAC, ∵AK⊥CE,AF⊥BD,∠EHK=∠AHF, ∴∠HEK=∠FAH, ∵∠FAH+∠AHF=90°,∠HEK+∠EPF=90°, ∴∠AHF=∠EPF, ∴∠AHB=∠APC, 在△ABH 与△APC 中,

, ∴△ABH≌△APC(ASA) , ∴AH=CP, 在△AHF 与△EPF 中,

, ∴△AHF≌△EPF(AAS) , ∴AH=EP,∠CED=∠HAF, ∴EC=2AH, ∵∠DEC=30°, ∴∠HAF=30°, ∴AH=2FH=2× =3, ∴EC=2AH=6.

15

27.如图 1,在平面直角坐标系中,直线 BC 与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点,直线 AD 与 x 轴,y 轴分别交于 A、D 两点,其中 A(﹣3,0) 、B(4,0) ,C(0,4)并且 AD⊥BC 于点 E (1)求点 D 的坐标; (2)点 P 从点 A 出发沿 x 轴正方向匀速运动,运动速度为每秒 2 个单位的长度,过点 P 作 PM⊥x 轴分别交直线 AD、BC 于点 M、N,设点 P 的运动时间为 t(秒) ,MN=m(m>0) ,请用 含 t 的式子表示 m,并说明理由(并直接写出 t 的取值范围) ; (3)在(2)的条件下,EK⊥x 轴于点 K,连接 MK,作 KQ⊥MK 交直线 BC 于点 Q,当 S△KQB= 时,求此时的 P 值及点 M 的坐标.

【考点】一次函数综合题. 【分析】 (1)设直线 BC 解析式为 y=kx+b,把 B 与 C 坐标代入求出 k 与 b 的值,确定出直线 BC 解析式,由直线 AE 与直线 BC 垂直,以及 A 的坐标确定出直线 AE 解析式,即可求出 D 的 坐标; (2)联立直线 AE 与直线 BC 解析式,求出 E 坐标,确定出 AK 的长,分三种情况考虑:当 0 <t≤ 时;当 <t≤ 时;当 <t≤ 时,分别用 t 表示出 m 即可; (3)如图 2 和图 3 所示,根据三角形 BKQ 的面积及 KB 的长,求出 Q 的纵坐标,进而求出横 坐标,确定出 Q 坐标,分别设出 P 坐标,表示出 M 坐标,由 MK 与 KQ 垂直求出 M 坐标,进而 求出 P 的坐标以及此时 t 的值即可. 【解答】解: (1)设直线 BC 解析式为 y=kx+b,

把 B(4,0) ,C(0,4)代入得:



解得:



16

故直线 BC 解析式为 y=﹣x+4, 由直线 AE⊥直线 BC,得到直线 AE 解析式为 y=x+a, 把 A(﹣3,0)代入得:0=﹣3+a,即 a=3, 故直线 AE 解析式为 y=x+3, 令 x=0,得到 y=3,即 D(0,3) ; (2)过 C 作 CK⊥x 轴,如图 2 所示,

联立得:



解得:

,即 E( , ) ,

∴AK=OA+OK=3 , 分三种情况考虑: 当 0<t≤ 时,由题意得:P(2t﹣3,0) 把 x=2t﹣3 代入直线 AE 解析式得:PM=y=2t,把 x=2t﹣3 代入直线 BC 解析式得:PN=y=7﹣ 2t, 此时 m=MN=PN﹣PM=7﹣2t﹣2t=7﹣4t; 当 <t≤ 时,由题意得:OP=AP﹣AO=2t﹣3, 把 x=2t﹣3 代入直线 AE 解析式得:PM=y=2t,把 x=2t﹣3 代入直线 BC 解析式得:PN=7﹣2t, 此时 m=MN=PN﹣PM=7﹣2t﹣2t=7﹣4t; 当 <t≤ 时,由题意得:OP=AP﹣AO=2t﹣3, 把 x=2t﹣3 代入直线 AE 解析式得:PM=y=2t,把 x=2t﹣3 代入直线 BC 解析式得:PN=7﹣2t, 此时 m=MN=PM﹣PN=2t﹣7+2t=4t﹣7; (3)由(2)得:OK= ,KB=OB﹣OK=4﹣ = , ∵S△KQB= ?KB?|yQ 纵坐标|= ? ?|yQ 纵坐标|= ∴|yQ 纵坐标|= , 当 yQ 纵坐标= 时,如图 2 所示,把 y= 代入直线 BC 解析式得:x= ,即此时 Q( , ) ; 设此时 P(p,0) ,把 x=p 代入直线 AE 解析式得:PM=y=p+3,即 M(p,p+3) , ∵MK⊥KQ,K( ,0) , ,

∴kMK?kKQ=﹣1,即

?

=﹣1,

17

解得:p=﹣2,此时 P(﹣2,0) ,M(﹣2,1) ,t=0.5; 当 yQ 纵坐标=﹣ 时,如图 3 所示,把 y=﹣ 代入直线 BC 解析式得:x= ,即此时 Q( ,﹣

) ; 设此时 P(m,0) ,把 x=m 代入直线 AE 解析式得:PM=y=m+3,即 M(m,m+3) , ∵MK⊥KQ,K( ,0) ,

∴kMK?kKQ=﹣1,即

?

=﹣1,

解得:m=3. 此时 P(3,0) ,M(3,6) ,t=3.

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