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2015-2016学年高中数学 2.3.1平面向量基本定理课件 新人教A版必修4


第二章

平面向量

2.3 平面向量的基本及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理

题型1 向量共线问题
例1 设 e1,e2 是同一平面内所有向量的一组基底, a =λ1e1+e2,b=4e1+2e2,并且 a,b 共线, 则下列各式正确的是( A.λ 1=1 C.λ 1=3 B.λ 1=2 D.λ 1=4 )

解析:a,b 共线,则存在实数 k,使得 a=kb 即可 求解.但作为选择题,看到 a =λ1e1+e2 中 e2 的系 数为 1,而 b=4e1+2e2 中 e2 的系数为 2,所以 λ1=2. 答案:B 点评:若两个向量共线,则作为基底的两个向量相应 系数成比例.

?跟踪训练 1. → =a+5b,BC → =-2a+8b,CD → =3a-3b, 设AB 那么下列各组的点中三点一定共线的是(C) A.A、B、C C.A、B、D B.A、C、D D.B、C、D

→ =-2a+8b,CD → =3a-3b 得BD → =a+5b. 解析:由BC

题型2 用基底表示向量
例 2 已知 AD 是△ABC 的 BC 边上的中线, → =a,AC → =b,则AD → =( 若AB 1 A. ( a- b) 2 1 C.- ( a+b) 2 )

1 B.- ( a- b) 2 1 D. ( a+b) 2

→ =AB → +AC → ,AE → =2AD →, 解析:如图所示,AE 由此即可得到答案. 答案:D

点评: (1)用已知向量来表示未知向量,一般要用 到平行四边形、三角形法则和平行向量的性质等运 算技巧. → =a, (2)把“AD 是△ABC 的 BC 边上的中线,若AB 1 → → AC=b,则AD= (a+b)”作为结论记住,有较为 2 广泛的应用.

?跟踪训练 2.如图,设点 P、Q 是线段 AB 的三等分点, → =a,OB → =b,则OP → =____________, 若OA → =______________(用 a、b 表示). OQ 1→ → → → → 解析:OP=AP-AO= AB+OA 3 1? → → ? → 2 → 1 → = ?OB-OA?+OA= OA+ OB 3 3 3 2 1 = a+ b. 3 3

2→ → → → → OQ=AQ-AO= AB+OA 3 2? → → ? → 1 → 2 → = ?OB-OA?+OA= OA+ OB 3 3 3 1 2 = a+ b. 3 3 2 1 1 2 答案: a+ b a+ b 3 3 3 3

例 3 如图,平行四边形 ABCD 中,M、N 分别 → =a,AN → =b,试用 是 DC、BC 的中点,已知AM → 和AD →. a,b 表示AB 分析:可以根据“正难则反”的思想求解,即改为 → 、AD → 来表示向量 a、b,然后将AB → 、AD → 看做 用AB → 、AD →. 未知量,加以方程思想,以求AB

→ =AB → +AD →. 解析:在平行四边形 ABCD 中,AC 在△ADC 中,M 为 DC 的中点, 1? → → ? → AM= ?AD+AC?, 2 1? → → → ? ∴a= ?AD+AB+AD?.① 2 在△ABC 中,N 为 BC 的中点, 1? → → ? → AN= ?AB+AC?, 2 1? → → → ? ∴b= ?AB+AB+AD?.② 2 2 2 → → 2 b - a 由①②解得AB= ( ) ,AD= (2a-b). 3 3

点评:本题若利用向量的加减法法则,结合 M、N →和 为 DC、BC 中点的性质,可直接用 a、b 表示AB → ,但有一定的困难,解题过程繁琐.所以就可以 AD → 、AD →来 根据“正难则反”的思想求解,即改为用AB → 、AD → 看做未知量,加以方 表示向量 a、b,然后将AB → 、AD → ,就容易多了. 程思想,求得AB

?跟踪训练 3.如图所示,已知梯形 ABCD 中,AB∥DC, 且 AB=2CD,E、F 分别是 DC、AB 的中点, → =a,AB → =b,试用 a,b 为基底表示DC → ,BC → ,EF →. 设AD

→ 和AD → 是两个不共线向量,可以看做是一组 分析:AB → 和AD → 表示, 基底,一定可以把平面中的任一向量用AB 关键是找到 λ1 和 λ2 两个系数. 解析:连接 FD,∵AB∥DC,且 AB=2CD,E、F 分 别是 DC、AB 的中点,∴DC 綊 FB,∴四边形 DFBC

1→ 1 → → 为平行四边形,依题意,DC=FB= AB= b, 2 2 1→ 1 → → → → → BC=FD=AD-AF=AD- AB=a- b, 2 2 → =DF → -DE → =-FD → -DE → EF
? 1 ? 1 1 1→ → ? =-BC- DC=- a-2b?- × b 2 ? ? 2 2

1 =-a+ b. 4

题型3 向量共线的其他表达形式
→ 、OB → 不共线,P 点在 AB 上, 例 4 设OA → =λ OA → +μ OB → ,且 λ+μ=1(λ ,μ ∈R). 求证:OP → 与AB → 共线, 证明:∵P 点在 AB 上,所以AP → =tAB → (t∈R). ∴AP → =OA → +AP → =OA → +tAB → =OA → +t? → → ? ∵OP ?OB-OA? → +tOB →, =(1-t)OA 令 λ=1-t,μ=t,则有 → =λOA → +μOB → ,λ+μ=1(λ,μ∈R). OP

点评:(1)解答本题的关键在于紧扣向量共线 → =tAB → (t∈R),然后转化为以 O 为 的条件得AP 始点的向量关系,化简得结论. → ,OB → 做基向量,根据 (2)本题也可以看做是用OA → ,如下跟踪训练题 4. 平面向量基本定理得到OP

?跟踪训练 → 、OB → 不共线,AP → =tAB → (t∈R),用OA →, 4.设OA → 表示OP →. OB

→ =tAB → (t∈R), 解析:∵AP → =OA → +AP → =OA → +tAB → =OA → +t? → → ? ∴OP ?OB-OA? → +tOB →. =(1-t)OA



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