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3.4曲线与方程 第1课时 课件(北师大版选修2-1) (1)


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第三章
圆锥曲线与方程

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第三章
3.4
第1课时

曲线与方程

曲线与方程、圆锥曲线的共同特征

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1 2 重点难点点拨

知能目标解读 6 探索拓研创新

3

知能自主梳理

7

名师辩误作答

4

学习方法指导

8

课堂巩固训练

5

思路方法技巧

9

课后强化作业

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知能目标解读

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1.了解曲线上的点集与方程的解集之间的一一对应关 系.

2.掌握曲线的方程和方程的曲线的概念.
3.掌握求曲线方程的一般步骤. 4.结合已学过的曲线,了解曲线与方程的对应关系,进 一步感受数形结合的基本思想. 5.了解圆锥曲线的统一定义.

6.能解决椭圆和双曲线第二定义的常见问题.

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重点难点点拨

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本节重点:曲线和方程的概念;确定曲线的方程.圆锥曲 线的共同特征. 本节难点:曲线与方程的关系;寻求动点所满足的几何条

件.圆锥曲线统一定义的应用.

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知能自主梳理

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一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作满足
某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建 立了如下的关系: 曲线上点的坐标都是这个方程的解 (1)__________________________________ ; 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 (2)____________________________________ . 方程的曲线 那么,这条曲线叫作______________,这个方程叫作 曲线的方程 ______________ .

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1.圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距 离之比为定值e. 0<e<1 时,圆锥曲线是椭圆;当________ e >1 当__________ 时,圆

=1 锥曲线是双曲线;当e ________ 时,圆锥曲线是抛物线.
2.圆锥曲线的统一定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离的比等 于常数e的点的集合叫作圆锥曲线. 这个定点F叫作圆锥曲线的焦点,这条定直线l叫作圆锥曲

线的准线,常数e叫作圆锥曲线的离心率.

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学习方法指导

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1.坐标法:借助于坐标系,用坐标表示点,把曲线看成

满足某条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x,y)所满
足的方程f(x,y)=0表示曲线,通过研究方程的性质间接地来 研究曲线的性质,这就叫坐标法. 用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫作解析几何, 解析几何研究的主要问题是:

①根据已知条件,求出表示曲线的方程;
②通过曲线的方程,研究曲线的性质.

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2.在建立了直角坐标系之后,平面内的点与它的坐标即

有序实数对之间就建立了一一对应关系,那么对应于符合某种
条件的一切点,它的横坐标与纵坐标之间受到某种条件的约束, 所以探求符合某种条件的点的轨迹问题,就变为探求这些点的 横坐标与纵坐标受怎样的约束条件的问题,两个变数x、y的方 程f(x,y)=0就标志着横坐标x与纵坐标y之间所受的约束,一

般由已知条件列出等式,再将点的坐标代入这个等式,就得到
x、y的方程,于是符合某种条件的点的集合,就变换到x、y的 二元方程的解的集合,当然要求两集合之间有一一对应的关系, 也就是:

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(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上. 这样一来,一个二元方程也就可以看作它的解所对应的点 的全体组成的曲线;二元方程所表示的x、y之间的关系,就是 以(x,y)为坐标的点所符合的条件.这样的方程就叫作曲线的

方程;反过来,这条曲线就叫作方程的曲线.

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在曲线的方程的定义中,曲线上的点与方程的解之间的关
系(1)和(2)缺一不可,而且两者是对曲线上的任意一点以及方 程的任意一个实数解而言的.从集合的角度来看,设A是曲线 C上的所有点组成的点集,B是所有以方程f(x,y)=0的实数解 为坐标的点组成的点集.则由关系(1)可知A?B,由关系(2)可

知B?A;同时具有关系(1)和(2),就有A=B.

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3.根据曲线方程的意义,可以由两条曲线的方程,求出这 两条曲线的交点的坐标. 已知两条曲线 C1 和 C2 的方程分别为 F(x,y)=0,G(x,y)=0 则交点的坐标必须满足上面的两个方程.反之,如果(x0, y0)是上面两个方程的公共解,则以(x0,y0)为坐标的点必定是两 条曲线的交点.因此,求两条曲线 C1 和 C2 的交点坐标,只要 求方程组
? ?F?x,y?=0 ? ? ?G?x,y?=0

的实数解就可以得到.

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4.曲线与方程的基本思想是在坐标系的基础上,用坐标
表示点,用方程表示曲线,通过研究方程的特征来研究曲线的 性质. 那么,这条曲线叫作方程的曲线,这个方程叫作曲线的方 程.

5.过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关
的数,当椭圆的焦点落在y轴上时,焦半径公式为:|PF1|=a+ ey1,|PF2|=a-ey1.

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6.解题时可以把椭圆、双曲线上一点到焦点的距离转化

为到准线的距离,简化计算.
7.如果遇到有动点到两定点距离的问题,应自然联想到 椭圆、双曲线的第一定义,如果遇到有动点到一个定点及定直 线的距离问题,应联想到椭圆、双曲线的第二定义.

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8.选取坐标的常见方法:
(1)若条件中只出现一个定点,常以定点为原点建立直角坐 标系; (2)若已知两定点,常以两定点的中点为原点,两定点所在 的直线为x轴建立直角坐标系; (3)若已知两条互相垂直的直线,则以它们为坐标轴建立直 角坐标系;

(4)若已知一定点和一定直线,常以点到直线的垂线段的中
点为原点,以点到直线的垂线为x轴建立直角坐标系.

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思路方法技巧

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曲线与方程的概念
如果曲线 l 上的点的坐标满足方程 F(x,y)=0, 则以下说法正确的是( ) A.曲线 l 的方程是 F(x,y)=0 B.方程 F(x,y)=0 的曲线是 l C.坐标不满足方程 F(x,y)=0 的点不在曲线 l 上 D.坐标满足方程 F(x,y)=0 的点在曲线 l 上

[答案]C [分析] 从“曲线的方程”和“方程的曲线”两方面判断.

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[解析] 直接法:原说法写成命题形式即“若点M(x,y)是 曲线l上的点,则M点的坐标适合方程F(x,y)=0”,其逆否命

题即“若M点的坐标不适合方程F(x,y)=0,则M点不在曲线l
上”,此即说法C. 特值方法:作如图所示的曲线l,考查l与方程F(x,y)=x2 -1=0的关系,显然A、B、D中的说法全不正确. ∴选C.

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[点评] 本例给出了判定方程和曲线对应关系的两种方法— —等价转换和特值方法.其中特值方法应引起重视,它的使用 依据即“方程的曲线上的点的纯粹性和完备性”,简言之,即 “多一点不行,少一点不可”.

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判断下列结论的正误,并说明理由. (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x=0;

(2)到x轴距离为2的点的直线方程为y=-2;
(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy= 1; (4)△ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D为BC 中点,则中线AD的方程为x=0.

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[解析] (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线方程为x=3.
∴结论不正确. (2)因到x轴距离为2的点的直线方程还有一个y=2,即不 具备完备性. ∴结论错误.

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(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为
|x|·|y|=1,即xy=±1. ∴所给问题不具备完备性.∴结论错误. (4)中线AD是一条线段,而不是直线,应为x=0(-3≤y≤0), ∴所给问题不具备纯粹性.∴结论错误.

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求曲线的方程

已知 Rt△ABC,|AB|=2a(a>0),求直角顶点 C 满足的方程.

[解析] 以AB所在直线为x轴,AB中点为坐标原点,建立
如图所示的直角坐标系,则有A(-a,0),B(a,0),设顶点C(x, y).

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方法一

由△ABC 是直角三角形可知|AB|2=|AC|2+|BC|2,

即(2a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2,化简得 x2+y2=a2.依题意可 知 x≠± a. 故所求直角顶点 C 满足的方程为 x2+y2=a2(x≠± a). 方法二 由△ ABC 是直角三角形可知 AC ⊥ BC ,所以 y y kAC· kBC=-1,则 · =-1(x≠± a),化简得直角顶点 C 满 x+a x-a 足的方程为 x2+y2=a2(x≠± a).

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方法三 a2(x≠± a).

由△ ABC 是直角三角形可知 |OC| = |OB| ,所以

x2+y2=a(x≠± a),化简得直角顶点 C 满足的方程为 x2+y2=

[点评] 坐标系的选取,一般将定点或定直线选在坐标轴 上,原点有时选在定点处较为方便,有时也要考虑“对称”性

(如此例).

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过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2,若l1交x轴于A点,
l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.
[ 解析 ] 解法一:如图所示,设点

A(a,0),B(0,b),M(x,y),因为 M 为线 段 AB 的中点,所以 a=2x,b=2y,即 A(2x,0), B(0,2y). 因为 l1⊥l2, 所以 kAP· kPB 4-0 4-2y =-1.而 kAP= (x≠1),kPB= , 2-2x 2-0

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2 2-y 所以 · 1 =-1(x≠1). 1-x 整理得,x+2y-5=0(x≠1). 因为当 x=1 时,A、B 的坐标分别为(2,0),(0,4),所以线 段 AB 的中点坐标是(1,2),它满足方程 x+2y-5=0. 综上所述,点 M 的轨迹方程是 x+2y-5=0.

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解法二: 设 M ( x, y), 则易知 A、 B 两点的坐标分别是(2x,0), 1 (0,2y) , 连 结 PM. 因 为 l1 ⊥ l2 , 所 以 |PM| = 2 |AB|. 而 |PM| = ?x-2?2+?y-4?2, |AB|= ?2x?2+?2y?2, 所以 2 ?x-2?2+?y-4?2= 4x2+4y2, 化简,得 x+2y-5=0 为所求轨迹方程.

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[点评] 1.直译法求轨迹方程是常用的基本方法,大多数

题目可以依据文字叙述的条件要求,直接“翻译”列出等式整
理可得. 2.解题过程中,要注意使用某种形式时是否受到某些条 件的限制而丢掉个别点,如使用斜率求解时限制条件是斜率存 在,因而可能漏掉斜率不存在的点.必须找一找是否漏掉

了.有时也可能使范围扩大了,多出了不合要求的点,要通过
最后的检验“防失去伪”.

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圆锥曲线的共同特征

曲线上的点 M(x,y)到定点 F(0,3)的距离和它到 定直线 l?y=-3 的距离的比是常数 1,求曲线方程. [解析] 设 d 是点 M 到直线 l 的距离,则 d=|-3-y|.

|MF| 根据题意,曲线上的点 M 满足 d =1. ?x-0?2+?y-3?2 由此得 =1,即有 x2+?y-3?2=|y+3|.将 |-3-y| 上式两边平方,并化简得 x2=12y. 故所求曲线方程为 x2=12y.

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[点评] 由圆锥曲线的共同特征知:当曲线上的点到一定

点的距离与它到一条定直线的距离之比为1,此曲线是抛物
线.这里由曲线方程的求法得到验证.

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x2 y2 曲线上的点 P(x,y)到椭圆25+ 9 =1 的右焦点的距离和它 到直线 x=6 的距离之比为常数 4,求曲线方程.

x2 y2 [解析] 由椭圆25+ 9 =1 知 a2=25, b2=9, 则 c= a2-b2 = 25-9=4,故椭圆的右焦点坐标为 F(4,0). 设 d 是点 P 到直线 x=6 的距离,则 d=|x-6|.

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2 2 ? x - 4 ? + y |PF| 根据题意, 曲线上的点 P 满足 d =4, 由此得 |x-6|

92 2 ?x-15? 2 y =4,化简整理得 y2-15x2+184x=560,即 64 -64=1.可 225 15 92 将其视为中心为(15,0)的双曲线.

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探索拓研创新

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直译法求曲线的方程

如图已知 F(1,0),直线 l: x=-1,P 为平面上的动点,过点 P 作 l → → → → 的垂线,垂足为 Q,且QP· QF=FP· FQ, 求动点 P 的轨迹方程.
[分析] 设动点坐标―→寻求几何条件―→将几何条件坐 标化(解析法)―→求轨迹方程.

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[解析] 设点 P(x,y), → → 则 Q(-1,y),由QP=(x+1,0),QF=(2,-y), → → FP=(x-1,y),FQ=(-2,y), → → → → 由QP· QF=FP· FQ, ∴(x+1,0)· (2,-y)=(x-1,y)· (-2,y), ∴2x+2=-2x+2+y2,即 y2=4x 为动点 P 的轨迹方程.

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[点评] 求曲线方程的基本方法是:建系设点、列等式、 代换、化简、证明“五步法”.在解题时,根据题意,正确列

出方程是关键,还要注意最后一步,如果有不符合题意的特殊
点要加以说明.一般情况下,求出曲线方程后的证明可以省 去.

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如图,圆 O1 和圆 O2 的半径都等于 1,O1O2=4.过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 为切点),使得 PM = 2PN.试建立平面直角坐标系,求动点 P 的轨迹方程.

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[解析] 以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为x轴,
建立如图所示的坐标系,则O1(-2,0),O2(2,0).

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由已知 PM= 2PN,∴PM2=2PN2. 又∵两圆的半径均为 1,
2 所以 PO2 1-1=2(PO2-1).设 P(x,y),

则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1], 即(x-6)2+y2=33. ∴所求动点 P 的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.

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定义法求曲线方程

已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2 =9,动圆 M 同时与圆 C1 与圆 C2 相外切,求动圆圆心 M 的轨 迹方程.
[解析] 如图所示,设动圆M与圆C1 及圆C2分别外切于点A和B,根据两圆外

切的充要条件,得
|MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|.

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∵|MA|=|MB|, ∴|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, ∴|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2. 这表明动点 M 与两定点 C2、C1 的距离的差是常数 2.根据 双曲线的定义, 动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距 离大,与 C1 的距离小). 这里 a=1,c=3,则 b2=8,设点 M 的坐标为(x,y),
2 y 则其轨迹方程为 x2- 8 =1(x<0).

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[点评] (1)本题是用定义法求动点的轨迹方程,当判断出
动点的轨迹是双曲线的一支,且可求出a、b时,直接根据定义 写出其标准方程,而无需用距离公式写出方程,再通过复杂的 运算进行化简. (2)由于动点M到两定点C2、C1的距离的差为常数,而不是 差的绝对值为常数,因此,其轨迹只能是双曲线的一支.这一 点要特别注意!

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已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x- 4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
[解析] 设动圆圆心为(x,y),动圆半径为 r,
? ?|MC1|=r+ 则? ? ?|MC2|=r-

2 , 2

∴|MC1|-|MC2|=2 2<|C1C2|,

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∴动圆圆心 M 是以 C1,C2 为焦点的双曲线右支,设双曲 x2 y 2 线方程为a2-b2=1(x>0), 知 a= 2,c=4,b2=14, x 2 y2 ∴动圆圆心 M 的轨迹方程为 2 -14=1(x>0).

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代入法求曲线的方程

[例 6] 已知△ABC 的两个顶点坐标为 A(-2,0),B(0,- 2),第三个点 C 在曲线 y=3x2-1 上移动,求△ABC 重心的轨 迹方程.(注:设△ABC 顶点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), x1+x2+x3 y1+y2+y3 则△ABC 重心坐标为 G( , ). 3 3

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[解析] 设C(x1,y1),重心G(x,y),由重心坐标公式得3x

=-2+0+x1,3y=0-2+y1,
即x1=3x+2,y1=3y+2, ∵C(x1,y1)在曲线y=3x2-1上, ∴3y+2=3(3x+2)2-1. 化简得y=9x2+12x+3.

故△ABC的重心的轨迹方程为y=9x2+12x+3.(不包括和
直线AB的交点)

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[点评] 当形成轨迹的动点P随另一动点B有规律地运动,

且动点B的轨迹给定或能求得时,可先用动点P的坐标表示点B
的坐标,并代入动点B的轨迹方程中得到动点P的轨迹方程.这 种求轨迹的方法叫相关点法,也叫代入法.

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过双曲线x2-y2=1上一动点Q引直线x+y=2的垂线,垂 足为M,求线段QM的中点的轨迹方程. [分析] 题目中的Q,M均为动点,因而其中点也为动点,

由条件中的中点和垂直关系可得到坐标关系,最后将坐标代入
曲线方程,即得到QM中点的轨迹方程.

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[解析] 设 QM 中点为(x,y),Q(x1,y1),由中点关系得: M 点坐标为(2x-x1,2y-y1). ∵M 点在直线 x+y=2 上, ∴2x-x1+2y-y1=2. 又 QM 垂直于直线 x+y=2, y-y1 ∴ =1 即 y-y1=x-x1. x-x1 ② ①

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3 1 ? ?x1=2x+2y-1, 由①②联立得:? ?y1=1x+3y-1. 2 2 ? 上, 3 1 1 3 2 ∴(2x+2y-1) -(2x+2y-1)2=1.

又 Q(x1,y1)在双曲线

即 QM 中点的轨迹方程为:2x2-2y2-2x+2y=1.

[点评] 涉及到多动点的轨迹问题,要分析主动点与从动 点,一般设主动点为(x,y),其他动点坐标可设为(x1,y1)等, 然后寻求各动点的关系,再选择用适当的方法解决.

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参数法求曲线方程

[例7] 设圆C:(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的任意弦,
求所作弦的中点的轨迹方程.

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[解析] 方法一:直接法. 设 OQ 为过 O 的一条弦,P(x,y)为其中点, 1 则 CP⊥OQ,设 OC 中点为 M(2,0), 1 1 12 2 1 则|MP|=2|OC|=2,得方程(x-2) +y =4,考虑轨迹的范 围知 0<x≤1. 方法二:定义法. ∵∠OPC=90° . 1 ∴动点 P 在以 M(2,0)为圆心 OC 为直径的圆上|OC|=1, 再利用圆的方程得解.

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方法三:代入法. ? x1 ?x= 2 设 Q(x1,y1),则? ?y=y1 2 ? 又∵(x1-1)2+y2 1=1, ∴(2x-1)2+(2y)2=1(0<x≤1).
? ?x1=2x ?? ? ?y2=2y



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方法四:参数法. 设动弦 PQ 的方程为 y=kx 代入圆方程得(x-1)2+k2x2=1, 即(1+k2)x2-2x=0, x1+x2 1 k ∴x= 2 = ,y=kx= 消去 k 即可. 1+k2 1+k2
[点评] 本题中的四种方法都是求轨迹方程的常用方法, 在求轨迹方程时,要注意挖掘题目的条件,恰当选取方法.

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过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的弦OA,

OB,再以OA,OB为邻边作矩形AOBM,求点M的轨迹方程.
[分析] 由 OA⊥OB,可设 OA 方程为 y=kx,则 OB 的方 1 → → 程为 y=-k x, 由此可得 A, B 两点关于 k 的坐标, 再由OM=OA → +OB,得动点 M 的参数轨迹方程,消去参数 k 即可得 M 的轨 迹方程.

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[解析] 设 M(x, y) , A(x1, y1 ) , B( x 2 , y2 ) , OA 斜率为 k(k≠0), 1 则 OB 斜率为- k,OA 所在直线为 y=kx. 2p ? ?x1 = k2 , 代入 y2=2px(p>0)得:? ?y1=2p, k ? 2p 2 p 2p 2p → 即 A( k2 , k ),∴OA=( k2 , k ). 1 → OB 所在直线方程为 y=-k x,代入 y2=2px(p>0)可得:OB =(2pk2,-2pk).

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→ → → 又OM=OA+OB, 1 ? 2 x = 2 p ? - k ? +4p, ? k ∴? ?y=2p?1-k?, k ? 整理得:y2=2p(x-4p)(p>0). 即点 M 的轨迹方程为 y2=2p(x-4p)(p>0).

[点评] 用参数法求轨迹方程时,一要选好参数,将动点 的横、纵坐标表示成参数的形式;二要掌握消参的技巧.

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名师辩误作答

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[例8] 等腰三角形的顶点是A(4,2),底边的一个端点是 B(3,5),求另一端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.

[误解] 设另一端点 C 的坐标为(x, y) , 依题意得|AC|=|AB|, 即 ?x-4?2+?y-2?2= ?4-3?2+?2-5?2,两边平方,得(x-4)2 +(y-2)2=10, 即另一端点 C 的轨迹是以 A(4,2)为圆心, 以 10 为半径的圆.

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[正解] 设另一个端点 C 的坐标为(x,y),依题意得|AC|= |AB|,即 ?x-4?2+?y-2?2= ?4-3?2+?2-5?2,两边平方,得 x+3 y+5 (x-4) +(y-2) =10.令 2 =4, 2 =2,得 x=5,y=-1.
2 2

因为 A, B, C 三点不共线, 所以轨迹不包括点(3,5), (5, -1). 故 另一个端点 C 的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10,且其轨迹不 包括点(3,5),(5,-1),这是以 A(4,2)为圆心,以 10为半径的 圆,且除去点(3,5),(5,-1).

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[点评] 上述求得的轨迹方程忽视了A,B,C不共线这个
隐含条件,因为A,B,C为三角形的顶点,所以A,B,C三点 不共线,即B,C不能重合,且B,C不能为圆A的一直径的两 个端点.

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[例9] 点M与已知点P(2,2)连线的斜率是它与点Q(-2,0) 连线的斜率的2倍,求点M的轨迹方程.
[ 误解 ] y-2 设点 M 的坐标为 (x , y) ,由已知可得 = x-2

y 2× ,①化简整理得,点 M 的轨迹方程为 xy+2x-6y+4= x+2 0.②

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[正解] 设点 M 的坐标为(x,y),当 x=2 时,直线 PM 的 斜率不存在;当 x=-2 时,直线 MQ 的斜率不存在,均不合题 y-2 y 意;当 x≠± 2 时,由已知得 =2× ,化简整理得,点 M x-2 x+2 的轨迹方程为 xy+2x-6y+4=0(x≠± 2).
[点评] 因为直线PM和直线MQ的斜率都存在,所以在① 中,x≠±2,但在②中却有x=±2,此时点P(2,2)和Q(-2,0)在

方程②的曲线上,其原因是从①到②是非等价变形,使x的范
围扩大了.

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课堂巩固训练

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一、选择题
1.(2013·广东省中山一中期中)方程(2x-y+2)=0表示 的曲线是( )

A.一个点与一条直线 B.两条射线和一个圆

C.两个点
D.两个点或一条直线或一个圆 [答案] B

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[解析] 原方程等价于 x2+y2-1=0,
? ?2x-y+2=0 或? 2 2 ? ?x +y -1≥0

,故选 B.

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2.动点在曲线 x2+y2=1 上移动时,它和定点 B(3,0)连线 的中点 P 的轨迹方程是( A.(x+3)2+y2=4 C.(2x-3) +4y =1
[答案] C
2 2

) B.(x-3)2+y2=1 32 2 D.(x+2) +y =1

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[解析] 设 P 点为(x,y),曲线上对应点为(x1,y1), x1+3 y1+0 则有 2 =x, 2 =y. ∴x1=2x-3,y1=2y.
2 ∵(x1,y1)在 x2+y2=1 上,∴x2 + y 1 1=1

∴(2x-3)2+(2y)2=1.

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3.“点M在曲线y=|x|上”是“点M到两坐标轴距离相等”
的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件
[答案] B

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[解析] 到两坐标轴距离相等点的轨迹如图(1),y=|x|的 曲线如图(2).

∴“点M在曲线y=|x|上”?“点M到两坐标轴距离相 等”.故选B.

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二、填空题
4.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相 等,则点P的轨迹方程为________. [答案] y2=8x [解析] 本题考查了抛物线的定义及p的几何意义.

由抛物线的定义知p=4,方程为:y2=8x.

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x2 y2 5.过双曲线 4 - 3 =1 的左焦点 F1 的直线交双曲线的左支 于 M、N 两点,F2 为其右焦点,则|MF2|+|NF2|-|MN|的值为 ________.
[答案] 8 [解析] 利用双曲线的定义求解.

由双曲线的定义,得|MF2|-|MF1|=4,|NF2|-|NF1|=4,
∴|MF2|+|NF2|-(|MF1|+|NF1|)=|MF2|+|NF2|-|MN|=8.

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三、解答题

6.曲线上的点P(x,y)到定点A(0,-2)的距离和到定直
线y=-8的距离之比为1?2,求曲线方程.
[解析] 设 d 是点 P 到直线 y=-8 的距离, 则 d=|y+8|. |PA| 1 由题意知,曲线上的点 P 满足 d =2, x2+?y+2?2 1 由此得 =2,化简整理得 4x2+3y2=48,即所 |y+8| y 2 x2 求曲线方程为16+12=1.

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课后强化作业
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