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福建省南平市建瓯二中2014-2015学年高一上学期第二次月考数学试卷


2014-2015 学年福建省南平市建瓯二中高一(上)第二次月考数 学试卷
一.选择题 1.函数 y=ln(x+2)的定义域是( ) A. (﹣2,+∞) B. [﹣2,+∞) C. (2,+∞) D. (0,+∞) 2.如图所示,为一个平面图形的直观图,则它的实际形状为( )

A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形 3.已知方程 x

﹣x﹣1=0 仅有一个正零点,则此零点所在的区间是( A. (3,4) B. (2,3) C. (1,2) D. (0,1)
3



4. 如图放置的几何体 (由完全相同的立方体拼成) , 其正视图与俯视图完全一样的是 (



A.

B.
x

C.

D.

5.函数 y=( ) ,x∈[﹣1,2)的值域是(



A. [2,4) B. ( ,2] C. [﹣ , ) D. ( , ]

6.下列命题正确的是( ) A. 经过三点确定一个平面 B. 经过一条直线和一个点确定一个平面 C. 四边形确定一个平面 D. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 7.已知 a0=2 ,b=log32,c=log20.1,则( ) A. a<b<c B. c<a<b C. c<b<a D. b<c<a 8.已知两条直线 m,n,两个平面α,β,下面四个命题错误的是( A. m⊥α,α⊥β? m∥β B. m⊥α,m⊥n? n∥α或 n? α C. m⊥α,n∥α? m⊥n D. α⊥β,m⊥β,m? α? m∥α. )
0.5

9.函数 f(x)=lg|x|的图象关于( ) A. x 轴对称 B. y 轴对称 C. 原点对称 D. y=x 对称 10.边长是 2 的正方体的外接球的表面积为( A. 12π B. 4 π C. 6π D. 4π )

11.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,平面 ABC1D1 与平面 ABCD 所成二面角的大小为(



A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

0

0

0

0

12.函数 f(x)=logax 在区间[1,2]上的最大值与最小值之差为 1,则 a=( A. 2 B. C. 2 或 D. 4



二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.若 8
x﹣1

=4 ,则 x=

x


2

14.四人赛跑,假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是 f1(x)=x ,f2(x)=4x,f3(x) x =log2x,f4(x)=2 如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系 是 .

15.函数 f(x)=

在区间(﹣∞,1)内递增,则 a 的取值范围是



16.如图是一个正方体纸盒的展开图,在原正方体纸盒中有下列结论: ①BM 与 ED 平行; ②CN 与 BE 是异面直线; ③CN 与 BM 成 60°角; ④DM 与 BN 垂直. 其中,正确命题的序号是 .

三、解答题(共 74 分,要求写出主要的证明、解答过程)

17.如图,是一个几何体的三视图,正视图和侧视图都是由一个边长为 2 的等边三角形和一 个长为 2 宽为 1 的矩形组成. (1)求此几何体的表面积; (2)求此几何体的体积.

18.计算: (1) (2)log381+2lg5+lg4.

﹣(﹣5.9) +

0



19.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2. (1)求异面直线 BC1 与 B1D1 所成的角; (2)求三棱锥 A1﹣AB1D1 的体积.

20.已知函数 f(x)=x +2ax+2,x∈[﹣5,5], (1)当 a=1 时,求 f(x)的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调函数. 21.如图,在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是 DD1 的中点. (1)求证:BD1∥平面 ACE; (2)求证:平面 ACE⊥平面 B1BDD1.

2

22.已知函数 f(x)=2 ﹣2 . (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)证明:函数 f(x)为(﹣∞,+∞)上的增函数.

x

﹣x

2014-2015 学年福建省南平市建瓯二中高一 (上) 第二次 月考数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题 1.函数 y=ln(x+2)的定义域是( ) A. (﹣2,+∞) B. [﹣2,+∞) C. (2,+∞) D. (0,+∞) 考点: 对数函数的定义域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由对数的真数大于 0,可得 x+2>0,解之即可. 解答: 解:由对数的真数大于 0,可得 x+2>0, 解得 x>﹣2,故函数的定义域为(﹣2,+∞) , 故选:A. 点评: 本题考查函数的定义域,涉及对数函数,属基础题. 2.如图所示,为一个平面图形的直观图,则它的实际形状为( )

A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形 考点: 平面图形的直观图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由直观图可知,AB,CD 两条边与横轴平行且相等,边 AD 与纵轴平行,得到 AB 与 AD 两条相邻的边之间是垂直关系,得到平面图形是一个矩形. 解答: 解:根据直观图可知,AB,CD 两条边与横轴平行且相等, 故四边形 ABCD 为平行四边形, 边 AD 与纵轴平行, ∴AB⊥AD, ∴平面图形 ABCD 是一个矩形, 故选:B. 点评: 本题考查平面图形的直观图,本题是一个基础题. 3.已知方程 x ﹣x﹣1=0 仅有一个正零点,则此零点所在的区间是( A. (3,4) B. (2,3) C. (1,2) D. (0,1) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用.
3



分析: 根据根的存在性定理进行判断. 解答: 解:设 f(x)=x ﹣x﹣1,因为 f(1)=﹣1<0,f(2)=8﹣2﹣1=5>0,所以根据 根的存在性定理可知,函数 f(x)的零点所在的区间为(1,2) . 故 选 C. 点评: 本题主要考查函数零点的判断和应用,利用根的存在性定理是解决本题的关键.比 较基础. 4. 如图放置的几何体 (由完全相同的立方体拼成) , 其正视图与俯视图完全一样的是 ( )
3

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 常规题型;空间位置关系与距离. 分析: 由直观图到三视图注意视角,从而做三视图即可. 解答: 解:A 不同,正视图由三个正方形拼成,俯视图由两个正方形拼成; B 不同,正视图由三个正方形拼成,俯视图由两个正方形拼成; C 不同,正视图由两个正方形拼成,俯视图由三个正方形拼成; D 相同,都是由两个正方形拼成的矩形. 故选 D. 点评: 本题考查了三视图的作法,属于基础题.
x

5. (5 分) (2014 秋? 建瓯市校级月考)函数 y=( ) ,x∈[﹣1,2)的值域是( A. [2,4) B. ( ,2] C. [﹣ , ) D. ( , ]



考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数的单调性即可求出值域 解答: 解:∵函数 y=( ) 为减函数, 当 x=﹣1 时,y=2,当 x=2 时,y= , 故函数的值域为( ,2], 故选:B 点评: 本题考查了指数函数的图象和性质,属于基础题 6.下列命题正确的是( ) A. 经过三点确定一个平面 B. 经过一条直线和一个点确定一个平面 C. 四边形确定一个平面 D. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
x

考点: 平面的基本性质及推论. 分析: 根据公理 2 以及推论判断 A、B、D,再根据空间四边形判断 C. 解答: 解:A、根据公理 2 知,必须是不共线的三点确定一个平面,故 A 不对; B、根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知,故 B 不对; C、比如空间四边形则不是平面图形,故 C 不对; D、两两相交且不共点的三条直线,则三个交点不共线,故它们确定一个平面,由公理 1 知 三条直线都在此平面内,故 D 正确. 故选 D. 点评: 本题主要考查了确定平面的依据,注意利用公理 2 的以及推论的作用和条件,可以 利用符合题意的几何体来判断,考查了空间想象能力. 7.已知 a0=2 ,b=log32,c=log20.1,则( ) A. a<b<c B. c<a<b C. c<b<a D. b<c<a 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数和对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵a=2 >2 =1,0<b=log32<log33=1,c=log20.1<log21=0. ∴c<b<a. 故选:C. 点评: 本题考查了指数函数和对数函数的单调性,属于基础题. 8.已知两条直线 m,n,两个平面α,β,下面四个命题错误的是( A. m⊥α,α⊥β? m∥β B. m⊥α,m⊥n? n∥α或 n? α C. m⊥α,n∥α? m⊥n D. α⊥β,m⊥β,m? α? m∥α. )
0.5 0 0.5

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:m⊥α,α⊥β? m∥β或 m? β,故 A 错误; m⊥α,m⊥n? n∥α或 n? α,由直线与平面平行的判定定理得 B 正确; m⊥α,n∥α? m⊥n,由直线与平行垂直的性质得 C 正确; α⊥β,m⊥β,m? α? m∥α,由直线与平面平行的判定定理得 D 正确. 故选:A. 点评: 本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养. 9.函数 f(x)=lg|x|的图象关于( ) A. x 轴对称 B. y 轴对称 C. 原点对称 D. y=x 对称 考点: 专题: 分析: 解答: 对数函数的图像与性质;函数的图象. 函数的性质及应用. 先判断函数为偶函数,继而得到图象关于 y 轴对称 解:∵函数 f(x)=lg|x|的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞)

又∵f(﹣x)=lg|﹣x|=lg|x|=f(x) , ∴函数 f(x)为偶函数, 即图象关于 y 轴对称, 故选:B 点评: 本题考查了绝对值函数的图象和性质,以及函数的奇偶性,属于基础题 10.边长是 2 的正方体的外接球的表面积为( A. 12π B. 4 π C. 6π D. 4π 考点: 专题: 分析: 解答: )

球的体积和表面积. 空间位置关系与距离. 根据正方体与其外接球之间的关系,想办法求出外接球的半径即可. 解:易知,正方体的体对角线是其外接球的直径,故 ,故 R= . .

所以 S=

故选 A 点评: 本题考查了正方体的外接球问题,一般的会考虑正方体的棱长、体对角线等与其外 接球、内切球的半径间的关系解决问题. 11.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,平面 ABC1D1 与平面 ABCD 所成二面角的大小为( )

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 考点: 二面角的平面角及求法. 专题: 空间角.

0

0

0

0

分析: 正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,D1A⊥AB,DA⊥AB,从而∠D1AD 是平面 ABC1D1 与平面 ABCD 所成二面角的平面角,由此能求出平面 ABC1D1 与平面 ABCD 所成二面角的大小. 解答: 解:正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, ∵AB⊥平面 ADD1A1,D1A? 平面 ADD1A1,DA? 平面 ADD1A1, ∴D1A⊥AB,DA⊥AB, ∴∠D1AD 是平面 ABC1D1 与平面 ABCD 所成二面角的平面角, ∵AD=DD1,AD⊥DD1, ∴∠D1AD=45°, ∴平面 ABC1D1 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 45°. 故选:B.

点评: 本题考查二面角的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力 的培养. 12.函数 f(x)=logax 在区间[1,2]上的最大值与最小值之差为 1,则 a=( A. 2 B. C. 2 或 D. 4 )

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数的单调性以及分类讨论即可得到结论. 解答: 解:当 0<a<1 时,f(x)=logax 在[1,2]上单调递减 故函数的最大值为 f(1) ,最小值为 f(2) 则 f(1)﹣f(2)=loga1﹣loga2=1,解得 a= , 当 a>1 时,f(x)=logax 在[1,2]上单调递增 故函数的最大值为 f(2) ,最小值为 f(1) 则 f(2)﹣f(1)=loga2﹣loga1=loga2=1,解得 a=2 故选:C 点评: 本题主要考查对数函数单调性的应用,注意要对 a 进行分类讨论.在处理指数函数 和对数函数问题时,若对数未知,一般情况下要对底数进行分类讨论,分为 0<a<1,a>1 两种情况,然后在每种情况对问题进行解答,然后再将结论综合,得到最终的结果. 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.若 8
x﹣1

=4 ,则 x= 3 .

x

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接由有理数指数幂的运算性质化简求值. 解答: 解:若 8 =4 , 3(x﹣1) 2x 即2 =2 , 则 3(x﹣1)=2x, 解得 x=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查了有理数指数幂的化简求值,是基础题. 14.四人赛跑,假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是 f1(x)=x ,f2(x)=4x,f3(x) x =log2x,f4(x)=2 如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是 f4(x) x =2 .
2 x﹣1 x

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题意,本题实际考查各类函数的增长模型,通过对四类函数分析,指数函数增 长最快,选出选项. 解答: 解:根据题意,最终跑在最前面的人一为函数值最大的函数, 通过分析各种类型函数的增长 f1(x)=x ,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2 中,f4
2 x

(x)=2 增长最快,如图 故答案为:f4(x)=2 . 点评: 本题考查根据实际问题选择函数类型,通过对二次函数,一次函数,对数函数,指 数函数的分析选出选项,属于基础题.
x

x

15.函数 f(x)=

在区间(﹣∞,1)内递增,则 a 的取值范围是 [1,+∞) .

考点: 指数型复合函数的性质及应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得可得函数 y=﹣x +2ax 在区间(﹣∞,1)内递增,再利用二次函数的性 质求得 a 的范围. 解答: 解:由函数 f(x)= 在区间(﹣∞,1)内递增,可得函数 y=﹣x +2ax 在
2 2

区间(﹣∞,1)内递增, 故有 a≥1, 故答案为:[1,+∞) . 点评: 本题主要考查复合函数的单调性,指数函数、二次函数的性质,体现了转化的数学 思想,属于基础题. 16.如图是一个正方体纸盒的展开图,在原正方体纸盒中有下列结论: ①BM 与 ED 平行; ②CN 与 BE 是异面直线; ③CN 与 BM 成 60°角; ④DM 与 BN 垂直. 其中,正确命题的序号是 ③④ .

考点: 异面直线及其所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: 先利用正方体纸盒的展开图,画出它的直观图,特别注意特殊点的位置,再在正方 体中证明线线位置关系以及求异面直线所成的角即可 解答: 解:如图为正方体纸盒的直观图: 由图可知:BM 与 ED 异面且垂直,①错误; CN 与 BE 平行,②错误; 异面直线 CN 与 BM 所成的角即∠EBM,由于△EBM 为等边三角形,故∠EBM=60°,③正确; 因为 DM⊥NC,DM⊥BC,NC∩BC=C,所以 DM⊥平面 NCB,所以 DM⊥BN,④正确 故答案为③④

点评: 本题考查了空间几何体的展开图与直观图间的关系, 空间的线线位置关系及其证明, 异面直线所成的角及其求法,将平面图准确的转化为直观图是解决本题的关键 三、解答题(共 74 分,要求写出主要的证明、解答过程) 17.如图,是一个几何体的三视图,正视图和侧视图都是由一个边长为 2 的等边三角形和一 个长为 2 宽为 1 的矩形组成. (1)求此几何体的表面积; (2)求此几何体的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;由三视图求面积、体积.

专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由几何体的三视图知:该几何体是一个侧棱长为 2,底面直径为 2 的圆锥和高为 1 直径为 2 的圆柱的组合体,由此能求出此几何体的表面积和体积. 解答: 解: (1)由几何体的三视图知: 该几何体是一个侧棱长为 2,底面直径为 2 的圆锥和高为 1 直径为 2 的圆柱的组合体, ∴此几何体的表面积 S=2π×1+2π=4π. (2)此几何体的体积: V=π×1+ =( +1)π.

点评: 本题考查几何体的表面积和体积的求法,是中档题,解题时要注意空间思维能力的 培养.

18.计算: (1) (2)log381+2lg5+lg4.

﹣(﹣5.9) +

0



考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用指数的性质和运算法则求解. (2)利用对数的性质和运算法则求解. 解答: 解: (1) = =1. ﹣(﹣5.9) +
0

(2)log381+2lg5+lg4 =4+lg(25×4) =4+2 =6. 点评: 本题考查对数式和指数式化简求值,是基础题,解题时要认真审题,注意运算法则 的合理运用. 19.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2. (1)求异面直线 BC1 与 B1D1 所成的角; (2)求三棱锥 A1﹣AB1D1 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;异面直线及其所成的角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)连结 BD,DC1,由 BD∥B1D1,得∠DBC1 是异面直线 BC1 与 B1D1 所成的角,由此能 求出异面直线 BC1 与 B1D1 所成的角. (2)由 = ,利用等积法能求出三棱锥 A1﹣AB1D1 的体积.

解答: 解: (1)连结 BD,DC1, ∵BD∥B1D1,∴∠DBC1 是异面直线 BC1 与 B1D1 所成的角, ∵BD=BC1=DC1, ∴∠DBC1=60°, ∴异面直线 BC1 与 B1D1 所成的角为 60°. (2)∵AA1⊥平面 A1B1D1,且 AA1=2, = ∴ = = = = . =2,

点评: 本题考查异面直线所成角的大小的求法,考查三棱锥的体积的求法,解题时要认真 审题,注意空间思维能力的培养. 20.已知函数 f(x)=x +2ax+2,x∈[﹣5,5], (1)当 a=1 时,求 f(x)的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调函数.
2

考点: 函数的最值及其几何意义;函数单调性的性质. 专题: 常规题型;计算题. 分析: (1)先求出二次函数的对称轴,结合开口方向可知再对称轴处取最小值,在离对称 轴较远的端点处取最大值; (2)要使 y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调函数,只需当区间[﹣5,5]在对称轴的一侧时, 即满足条件. 解答: 解: (1)f(x)=x +2ax+2=(x+a) +2﹣a , 2 其对称轴为 x=﹣a,当 a=1 时,f(x)=x +2x+2, 所以当 x=﹣1 时,f(x)min=f(﹣1)=1﹣2+2=1; 当 x=5 时,即当 a=1 时,f(x)的最大值是 37,最小值是 1. (6 分) (2)当区间[﹣5,5]在对称轴的一侧时, 函数 y=f(x)是单调函数.所以﹣a≤﹣5 或﹣a≥5, 即 a≥5 或 a≤﹣5,即实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣5]∪[5,+∞)时, 函数在区间[﹣5,5]上为单调函数. (12 分) 点评: 本题主要考查了利用二次函数的性质求二次函数的最值,以及单调性的运用等有关 基础知识,同时考查分析问题的能力. 21.如图,在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是 DD1 的中点. (1)求证:BD1∥平面 ACE; (2)求证:平面 ACE⊥平面 B1BDD1.
2 2 2

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题. 分析: (1)设 AC 和 BD 交于点 O,由三角形的中位线的性质可得 EO∥BD1,从而证明直线 BD1∥平面 ACE. (2)证明 AC⊥BD,DD1⊥AC,可证 AC⊥面 BDD1B1,进而证得平面 ACE⊥平面 BDD1B1 . 解答: 证明: (1)设 AC 和 BD 交于点 O,连 EO, 因为 E,O 分别是 DD1,BD 的中点, 所以 EO∥BD1, 因为 EO? 平面 PAC,BD? 平面 PAC, 所以直线 BD1∥平面 ACE. (2)由题意可得:长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD, 所以底面 ABCD 是正方形, 所以 AC⊥BD. 又因为 DD1⊥面 ABCD, 所以 DD1⊥AC. ∵BD? 平面 BDD1B1,D1D? 平面 BDD1B1,BD∩D1D=D,

∴AC⊥面 BDD1B1. ∵AC? 平面 ACE, ∴平面 ACE⊥平面 BDD1B1 . 点评: 本题考查证明线面平行、面面垂直的方法,求直线和平面所称的角的大小,找出直 线和平面所成的角是解题的难点. 22.已知函数 f(x)=2 ﹣2 . (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)证明:函数 f(x)为(﹣∞,+∞)上的增函数. 考点: 指数函数综合题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)首先明确函数的定义域为 R,然后利用奇偶函数的定义判断. (2)根据增函数的定义进行证明. 解答: 解: (1)函数 f(x)的定义域是 R, 因为 f(﹣x)=2 ﹣2 =﹣(2 ﹣2 )=﹣f(x) , x ﹣x 所以函数 f(x)=2 ﹣2 是奇函数; (2)设 x1<x2, 则 f(x1)=2 ﹣2 ,f(x2)=2 ﹣2 ﹣(2 , ﹣2 ﹣2 , )
﹣x x x ﹣x x ﹣x

∴f(x1)﹣f(x2)=2 = ∵x1<x2, ∴ ,1+

>0,

∴f(x1)<f(x2) , ∴函数 f(x)为(﹣∞,+∞)上的增函数. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性和单调性,直接利用定义解决即可.


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