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2016届浙江省名校协作体高三(下)3月联考数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年浙江省名校协作体高三(下)3 月联考数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U=R,集合 A={x|x2﹣5x﹣6>0},B={x|x2﹣8x<0},则(?UA)∩B=( ) A. (0,3] B.[﹣1,8] C. (0,6] D.[

2,3] 2.“x>1”是“x2>1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知 α,β 是相异两平面,m,n 是相异两直线,则下列命题中不正确的是( ) A.若 m∥n,m⊥α,则 m⊥α B.若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β C.若 m⊥α,m? β,则 α⊥β D.若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n 4.对任意 x,y∈R,恒有 等于( A. B. ) C. D. ,则

5.在等比数列{an}中,设 Tn=a1a2…an,n∈N*,则( ) A.若 T2n+1>0,则 a1>0 B.若 T2n+1<0,则 a1<0 C.若 T3n+1<0,则 a1>0 D.若 T4n+1<0,则 a1<0 6.若向量 、 满足| |=|2 + |=2,则 在 方向上投影的最大值是( A. B.﹣ C. D.﹣ 7.已知第一象限内的点 M 既在双曲线 C1: ﹣



=1(a>0,b>0)上,又在抛物线 C2:

y2=2px 上,设 C1 的左,右焦点分别为 F1、F2,若 C2 的焦点为 F2,且△MF1F2 是以 MF1 为 底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为( ) A. B. C.1+ D.2+ 8.在 n 元数集 S={a1,a2,…an}中,设 X(S)= ,若 S 的非空子集 A 满足

X(A)=X(S) ,则称 A 是集合 S 的一个“平均子集”,并记数集 S 的 k 元“平均子集”的个数 为 fs(k) ,已知集合 S={1,2,3,4,5,6,7,8,9},T={﹣4,﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2, 3,4},则下列说法错误的是( ) A.fs(4)=fs(5) B.fs(4)=fT(5) C.fs(1)+fs(4)=fT(5)+fT(8) D.fs(2)+fs(3)=fT(4) 二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分.

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9. 已知函数 则 x= 10.若函数 .

= , 则f (﹣log23)

; 若



的图象过点(0,1) ,且向右平移 ,ω 的最小值 cm3,

个单位(保持纵坐标不变)后与平移前的函数图象重合,则 φ= 为 . 11.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于 cm2. 表面积等于

12.设实数 x,y 满足

,则 2x+y 的最小值为

,若 4x2+y2≥a 恒

成立,则实数 a 的最大值为 13.若存在正实数 y,使得 =

. ,则实数 x 的最大值为 .

14.设直线 l: (m﹣1)x+(2m+1)y+3m=0(m∈R)与圆(x﹣1)2+y2=r2(r>0)交于 A, B 两点,C 为圆心,当实数 m 变化时,△ABC 面积的最大值为 4,则 mr2= . * 15.设数列{an}满足 a1=0,an+1=lg(n+1+an) ,n∈N ,若 a2016∈(lgk,lg(k+1) ) ,则整数 k= . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对边的边长分别为 a,b,c,已知 atanA﹣ccosB=bcosC. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设 AD 是 BC 边上的高,若 ,求 的值.

17.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,∠ADC=∠BCD=90°,BC=2, ,PD=4,∠PDA=60°,且平面 PAD⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:AD⊥PB;

第 2 页(共 19 页)

(Ⅱ)在线段 PA 上是否存在一点 M,使二面角 M﹣BC﹣D 的大小为 值;若不存在,请说明理由.

,若存在,求



18.已知 a∈R,函数 f(x)=x|x﹣a|﹣2x+a2. (Ⅰ)若 a>2,解关于 x 的方程 f(x)=a2﹣2a; (Ⅱ)若 a∈[﹣2,4],求函数 f(x)在闭区间[﹣3,3]上的最小值. 19.已知椭圆 C1: + =1,抛物线 C2:y2=4x,过抛物线 C2 上一点 P(异于原点 O)

作切线 l 交椭圆 C1 于 A,B 两点. (Ⅰ)求切线 l 在 x 轴上的截距的取值范围; (Ⅱ)求△AOB 面积的最大值.

20.已知各项为正的数列{an}满足 (Ⅰ)证明:0<an<an+1<1(n∈N*) ; (Ⅱ)求证:



,n∈N*.

(n∈N*) .

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2015-2016 学年浙江省名校协作体高三(下)3 月联考数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U=R,集合 A={x|x2﹣5x﹣6>0},B={x|x2﹣8x<0},则(?UA)∩B=( ) A. (0,3] B.[﹣1,8] C. (0,6] D.[2,3] 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】化简集合 A、B,求出?UA 和(?UA)∩B 即可. 【解答】解:全集 U=R,集合 A={x|x2﹣5x﹣6>0}={x|x<﹣1x>6}, ∴?UA={x|﹣1≤x≤6}=[﹣1,6]; 又 B={x|x2﹣8x<0}={x|0<x<8}=(0,8) , ∴(?UA)∩B=(0,6]. 故选:C. 2.“x>1”是“x2>1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】直接利用充要条件的判断方法判断即可. 【解答】解:因为“x>1”? “x2>1”,而“x2>1”推不出“x>1”,所以“x>1”是“x2>1”充分不 必要条件. 故选 A. 3.已知 α,β 是相异两平面,m,n 是相异两直线,则下列命题中不正确的是( A.若 m∥n,m⊥α,则 m⊥α B.若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β C.若 m⊥α,m? β,则 α⊥β D.若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n )

【考点】命题的真假判断与应用;空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】由 α,β 是相异两平面,m,n 是相异两直线,知:若 m∥n,m⊥α,则 m⊥α;若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β;若 m⊥α,m? β,则 α⊥β;若 m∥α,α∩β=n,则 m 与 n 相交、平 行或异面. 【解答】解:由 α,β 是相异两平面,m,n 是相异两直线,知: 若 m∥n,m⊥α,则 m⊥α,故 A 正确; 若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β,故 B 正确; 若 m⊥α,m? β,则 α⊥β,故 C 正确; 若 m∥α,α∩β=n,则 m 与 n 相交、平行或异面,故 D 不正确. 故选 D.

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4.对任意 x,y∈R,恒有 等于( A. B. ) C. D.

,则

【考点】三角函数中的恒等变换应用.

【分析】根据式子

,解方程组得 x、y 的值,再代入已知等式即可求值.

【解答】解:由方程组

,解得,



∴ 故选:B.

= (sin

+cos

)=



5.在等比数列{an}中,设 Tn=a1a2…an,n∈N*,则( ) A.若 T2n+1>0,则 a1>0 B.若 T2n+1<0,则 a1<0 C.若 T3n+1<0,则 a1>0 D.若 T4n+1<0,则 a1<0 【考点】等比数列的通项公式. 【分析】举例说明 A、B、C 选项错误,再根据乘积的符号法则说明 D 选项正确. 【解答】解:等比数列{an}中,Tn=a1a2…an,n∈N*, 对于 A,令 a1=﹣1,a2=1,a3=﹣1,有 T3=1>0,但 a1>0 不成立,命题错误; 对于 B,令 a1=1,a2=﹣1,a3=1,有 T3=﹣1<0,但 a1<0 不成立,命题错误; 对于 C,令 a1=a2=…a7=﹣1,有 T7=﹣1<0,但 a1>0 不成立,命题错误; 对于 D,T4n+1 是 a1,a3,…,a4n+1 共 2n+1 项与 a2,a4,…,a4n 共 2n 项的乘积, 若 T4n+1<0,则 a1,a3,…,a4n+1 的乘积<0,即 a1<0,命题正确. 故选:D. 6.若向量 、 满足| |=|2 + |=2,则 在 方向上投影的最大值是( A. B.﹣ C. D.﹣ 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】对条件式子两边平方,用| |表示出 用基本不等式得出投影的最大值. 【解答】解:∵|2 |=2,| |=2, 2 4 16=4 ∴| | + + , 设 的夹角为 θ, )

的夹角 θ 的余弦值,代入投影公式,利

则| |2+8| |cosθ+12=0.

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∴cosθ=﹣



∴ 在 方向上投影为| |cosθ=﹣

=﹣(

+

) .



+

≥2 .

=



∴| |cosθ≤﹣ 故选:B.

7.已知第一象限内的点 M 既在双曲线 C1:



=1(a>0,b>0)上,又在抛物线 C2:

y2=2px 上,设 C1 的左,右焦点分别为 F1、F2,若 C2 的焦点为 F2,且△MF1F2 是以 MF1 为 底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为( ) A. B. C.1+ D.2+ 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据条件得到抛物线和双曲线的焦点相同,根据双曲线和抛物线的定义得到△ MF1F2 为等腰直角三角形,利用定义建立方程进行求解即可. 【解答】解:∵设 C1 的左,右焦点分别为 F1、F2,若 C2 的焦点为 F2, ∴抛物线的准线方程为 x=﹣c, 若△MF1F2 是以 MF1 为底边的等腰三角形, 由于点 M 也在抛物线上, ∴过 M 作 MA 垂直准线 x=﹣c 则 MA=MF2=F1F2, 则四边形 AMF2F1 为正方形, 则△MF1F2 为等腰直角三角形, 则 MF2=F1F2=2c,MF1= MF2=2 ∵MF1﹣MF2=2a, ∴2 c﹣2c=2a, 则( ﹣1)c=a, 则离心率 e= = 故选:C =1+ ,

c,

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8.在 n 元数集 S={a1,a2,…an}中,设 X(S)=

,若 S 的非空子集 A 满足

X(A)=X(S) ,则称 A 是集合 S 的一个“平均子集”,并记数集 S 的 k 元“平均子集”的个数 为 fs(k) ,已知集合 S={1,2,3,4,5,6,7,8,9},T={﹣4,﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2, 3,4},则下列说法错误的是( ) A.fs(4)=fs(5) B.fs(4)=fT(5) C.fs(1)+fs(4)=fT(5)+fT(8) D.fs(2)+fs(3)=fT(4) 【考点】子集与真子集. 【分析】根据新定义求出 k 元平均子集的个数,逐一判断. 【解答】解:X(S)=5,将 S 中的元素分成 5 组(1,9) , (2,8) , (3,7) , (4,6) , (5) . 则 fS(1)= =1,fS(2)= =4,fS(3)= ? =4,fS(4)= =6,fS(5)= ?

=6, 同理:X(T)=0,将 T 中的元素分成 5 组(1,﹣1) , (2,﹣2) , (3,﹣3) , (4,﹣4) , (0) . 则 fT(1)= =6,fT(8)= =1,fT(2)= =1, =4,fT(3)= ? =4,fT(4)= =6,fT(5)= ?

∴fS(4)=fS(5)=6,fS(4)=fT(5)=6,fS(1)+fS(4)=fT(5)+fT(8)=7. 故选:D. 二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9.已知函数 x= 1 . 【考点】函数的值. ,则 f(﹣log23)= ;若 ,则

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【分析】由分段函数定义得 f(﹣log23)=

,由此能求出结果.由



得当 x≥0 时,f(x)=﹣x2,f(f(x) )=f(﹣x2)= (f(x) )=f(2x)=﹣(2x)2,由此能求出结果. 【解答】解:∵函数 ,

= ;当 x<0 时,f(x)=2x,f

∴f(﹣log23)= ∵ ,

=

= .

∴当 x≥0 时,f(x)=﹣x2,f(f(x) )=f(﹣x2)=

= ,解得 x=±1,∴x=1;

当 x<0 时,f(x)=2x,f(f(x) )=f(2x)=﹣(2x)2=﹣22x= ,无解. 综上,x=1. 故答案为: .

10.若函数

的图象过点(0,1) ,且向右平移 ω 的最小值为 , 12 .

个单位 (保持纵坐标不变) 后与平移前的函数图象重合, 则 φ=

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】根据图象过点(0,1) ,求得 φ 的值,再由条件利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 变换规律,求得 ω 的最小正值. 【解答】解:∵函数 2sinφ=1,即 sinφ= , ∴φ= ,函数即 y=2sin(ωx+ ) . ) + ) ]=2sin 的图象过点(0,1) ,∴

把函数的图象向右平移 (ωx﹣ +

个单位 (保持纵坐标不变) 后, 可得 y=2sin[ω (x﹣

) 的图象, =2kπ,k∈Z,∴ω 的最小正值为 12,

根据所得图象与平移前的函数图象重合,则 故答案为: ,12.

第 8 页(共 19 页)

11.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于 面积等于 28+4 cm2.

cm3,表

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】 由已知三视图得到几何体是正方体切去两个角后的几何体, 由三视图数据求体积和 表面积. 【解答】 解: 由几何体的三视图得到几何体是底面是边长为 2, 高为 4 的正方体切去两个角, 如图 该几何体的体积等于 表面积等于 =(28+4 )cm2. ; (28+4 ) . × = cm3,

故答案为:

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12.设实数 x,y 满足

,则 2x+y 的最小值为

,若 4x2+y2≥a 恒成立,

则实数 a 的最大值为 【考点】简单线性规划.



【分析】由题意作平面区域,从而利用线性规划求 2x+y 的最小值,易知 4x2+y2 的最小值在 直线 x=1﹣y 上取得,从而解得. 【解答】解:由题意作平面区域如下,





解得,

x=﹣ ,y= ; 故 2x+y 的最小值为 2×(﹣ )+ = ; 易知 4x2+y2 的最小值在直线 x=1﹣y 上取得, 4x2+y2=4(1﹣y)2+y2 =5y2﹣8y+4=5(y﹣ )2+ , 故 4x2+y2≥ , 故实数 a 的最大值为 , 故答案为: , .

13.若存在正实数 y,使得

=

,则实数 x 的最大值为



【考点】有理数指数幂的化简求值. 【分析】得到关于 y 的方程,4xy2+(5x2﹣1)y+x=0,根据△≥0,求出 x 的最大值即可. 【解答】解:∵ = ,
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∴4xy2+(5x2﹣1)y+x=0, ∴y1?y2= >0, ∴y1+y2=﹣ ≥0,



,或



∴0<x≤

或 x≤﹣

①,

△=(5x2﹣1)2﹣16x2≥0, ∴5x2﹣1≥4x 或 5x2﹣1≤﹣4x, 解得:﹣1≤x≤ ②, 综上 x 的最大值是 , 故答案为: . 14.设直线 l: (m﹣1)x+(2m+1)y+3m=0(m∈R)与圆(x﹣1)2+y2=r2(r>0)交于 A, B 两点,C 为圆心,当实数 m 变化时,△ABC 面积的最大值为 4,则 mr2= ﹣4 或﹣14 . 【考点】直线和圆的方程的应用;直线与圆的位置关系. 【分析】求出圆心 C 到直线 l 的距离,利用勾股定理求出弦长,计算△ABC 的面积,从而 求出直线的斜率与方程. 【解答】解:直线 l: (m﹣1)x+(2m+1)y+3m=0(m∈R) , 直线 l 的方程可化为: (﹣x+y)+m(x+2y+3)=0, 可得 ,

直线恒过: (﹣1,﹣1) . 圆(x﹣1)2+y2=r2(r>0)的圆心(1,0) ,半径为:r. 圆心 C 到直线 l 的距离为:d= = ≤ r2, ;

所以三角形 ABC 的面积为 S△ ABC= 解得 r=2 ,此时 d= =2.

=4,

所以

=2,

解得 m=

或 m=﹣

所以,mr2=﹣4 或﹣14.
第 11 页(共 19 页)

故答案为:﹣4 或﹣14. 15.设数列{an}满足 a1=0,an+1=lg(n+1+an) ,n∈N*,若 a2016∈(lgk,lg(k+1) ) ,则整数 k= 2019 . 【考点】数列递推式. 【分析】考查放缩法的运用.首先应明确由 a2015 的范围,求得 a2016 的范围,可以确定 a2015 ∈(3,4) ,进而可得 a2016 的范围,即可求得 k 的值. 【解答】解:∵an+1=lg(n+1+an) ,n∈N*, 取 n=2014,∴a2015=lg>lg2015>3, ∴a2016=lg>lg=lg2019, 又数列{an}满足 a1=0,an+1=lg(n+1+an) ,n∈N*, ∴a2=lg2<4,a3=lg(3+a2)<4,…,a2014=lg<4, ∴a2015<lg<4, ∴a2016<lg=lg2020, 综上,a2016∈(lg2019,lg2020) , ∵a2016∈(lgk,lg(k+1) ) , ∴k=2019, 故答案为:2019. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对边的边长分别为 a,b,c,已知 atanA﹣ccosB=bcosC. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设 AD 是 BC 边上的高,若 ,求 的值.

【考点】正弦定理;三角函数中的恒等变换应用;余弦定理. 【分析】 (Ⅰ)根据正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子,由 A 的范围和特殊角的 三角函数值求出 A; (Ⅱ)由三角形的面积公式和余弦定理列出方程,化简后把 作为一个整体求解即可. 【解答】解: (Ⅰ)∵atanA﹣ccosB=bcosC, ∴由正弦定理得,sinAtanA﹣sinCccosB=sinBcosC, sinAtanA=sinCccosB+sinBcosC=sin(B+C) , ∵B+C=π﹣A,∴sin(B+C)=sinA,则 sinAtanA=sinA, 又 sinA≠0,则 tanA=1, 由 0<A<π 得,A= ;

(Ⅱ)又 sinA≠0,则 tanA=1, 由 0<A<π 得,A= ; , ,则 ,

(Ⅱ)∵AD 是 BC 边上的高,且 ∴△ABC 的面积 S= 由余弦定理得,a2=b2+c2﹣2bccosA,

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化简得 两边同除 c2 可得, 解得 .

, ,

17.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,∠ADC=∠BCD=90°,BC=2, ,PD=4,∠PDA=60°,且平面 PAD⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:AD⊥PB; (Ⅱ)在线段 PA 上是否存在一点 M,使二面角 M﹣BC﹣D 的大小为 值;若不存在,请说明理由. ,若存在,求 的

【考点】与二面角有关的立体几何综合题;空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】 (I)过 B 作 BO∥CD,交 AD 于 O,连接 OP,则 AD⊥OB,由勾股定理得出 AD ⊥OP,故而 AD⊥平面 OPB,于是 AD⊥PB; 0, n) (II) 以 O 为原点建立坐标系, 设M (m, , 求出平面 BCM 的平面 ABCD 的法向量 令|cos< >|=cos 解出 n,从而得出 的值. ,

【解答】证明: (I)过 B 作 BO∥CD,交 AD 于 O,连接 OP. ∵AD∥BC,∠ADC=∠BCD=90°,CD∥OB, ∴四边形 OBCD 是矩形, ∴OB⊥AD.OD=BC=2, ∵PD=4,∠PDA=60°,∴OP= =2 .

∴OP2+OD2=PD2,∴OP⊥OD. 又 OP? 平面 OPB,OB? 平面 OPB,OP∩OB=O, ∴AD⊥平面 OPB,∵PB? 平面 OPB, ∴AD⊥PB. (II)∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,OA⊥AD, ∴OP⊥平面 ABCD. 以 O 为原点,以 OA,OB,OP 为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示: 则 B(0, ,0) ,C(﹣2, ,0) ,

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假设存在点 M(m,0,n)使得二面角 M﹣BC﹣D 的大小为 则 =(﹣m, ,﹣n) , =(﹣2,0,0) . .



设平面 BCM 的法向量为 =(x,y,z) ,则



,令 y=1 得 =(0,1,

) .

∵OP⊥平面 ABCD, ∴ =(0,0,1)为平面 ABCD 的一个法向量.

∴cos<

>=

=

=

.解得 n=1.



=

=



18.已知 a∈R,函数 f(x)=x|x﹣a|﹣2x+a2. (Ⅰ)若 a>2,解关于 x 的方程 f(x)=a2﹣2a; (Ⅱ)若 a∈[﹣2,4],求函数 f(x)在闭区间[﹣3,3]上的最小值. 【考点】分段函数的应用;函数的最值及其几何意义. 【分析】 (Ⅰ)若 a>2,根据绝对值的性质直接解关于 x 的方程 f(x)=a2﹣2a 即可; (Ⅱ)若 a∈[﹣2,4],根据 a 的取值范围将函数 f(x)表示成分段函数形式,结合一元二 次函数单调性和最值之间的关系进行求解即可. 【解答】解: (Ⅰ)由 f(x)=a2﹣2a 得 x|x﹣a|﹣2x+a2=a2﹣2a,即 x|x﹣a|=2(x﹣a) , 则 x=a 是方程的根, ①当 x>a 时,x=2,∵a>2,∴此时方程无解, ②当 x<a 时,x=﹣2 为方程的解,综上 x=a 或 x=﹣2. (Ⅱ)f(x)=x|x﹣a|﹣2x+a2= ,

①若﹣2≤a≤2 时,

≤a,

+1≥a,
第 14 页(共 19 页)

则 f(x)min=min{f(﹣3) ,f( +1)}=min{a2﹣3a﹣3, (3a2﹣4a﹣

4)}=



②若 2<a≤4 时,

≤a,

+1<a,

则 f(x)min=min{f(﹣3) ,f(a)}=min{a2﹣3a﹣3,a2﹣2a}=a2﹣3a﹣3.

综上 f(x)min=



19.已知椭圆 C1:

+

=1,抛物线 C2:y2=4x,过抛物线 C2 上一点 P(异于原点 O)

作切线 l 交椭圆 C1 于 A,B 两点. (Ⅰ)求切线 l 在 x 轴上的截距的取值范围; (Ⅱ)求△AOB 面积的最大值.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (I)设 P(t2,2t) (t≠0) ,设切线的方程为:y﹣2t=k(x﹣t2) ,与抛物线方程联立 可得:ky2﹣4y﹣4kt2+8t=0,由△=0,解得 k= .可得切线 l 的方程为:x=ty﹣t2,令 y=0, 可得切线在 x 轴上的截距.切线方程与椭圆方程联立化为: (3t2+4)y2﹣6t3y+3t4﹣12=0,令 △>0,解得 t 的范围即可得出. (II) 由 (I) 可得: |AB|= = ,

原点 O 到切线的距离 d=

, 可得 S= |AB|d=

, 令 3t2+4=u,

通过换元利用函数的单调性即可得出.
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【解答】解: (I)设 P(t2,2t) (t≠0) ,设切线的方程为:y﹣2t=k(x﹣t2) ,与抛物线方程 2 2 联立可得:ky ﹣4y﹣4kt +8t=0, 由△=16﹣16k(﹣kt2+2t)=0,解得 k= . ∴切线 l 的方程为:x=ty﹣t2, 令 y=0,可得切线在 x 轴上的截距为﹣t2, ,化为: (3t2+4)y2﹣6t3y+3t4﹣12=0,

联立

令△=36t6﹣12(3t2+4) (t4﹣4)>0,解得 0<t2<4, ∴﹣4<﹣t2<0. ∴切线 l 在 x 轴上的截距的取值范围是(﹣4,0) . (II)由(I)可得:y1+y2= ,y1y2= .

|AB|=

|y1﹣y2|=

=



原点 O 到切线的距离 d=



∴S= |AB|d= 令 3t2+4=u,∵0<t2<4,∴4<u<16.



则 S=2

=

=

, 令 ∴S= = 由 故当 . = ,解得 u= ,有 . <2, ,4<u<16.∴y 在(4,16)上单调递增,可得:8<y<17. ,当 y= ∈(8,17)时,Smax=

时,△AOB 面积取得最大值

20.已知各项为正的数列{an}满足


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,n∈N*.

(Ⅰ)证明:0<an<an+1<1(n∈N*) ; (Ⅱ)求证: 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (Ⅰ) 由 , 得 (an+3) , ,得 0<an<1, (n∈N*) ,由 (n∈N*) .

从而

>0,进而 an+1<1,由

此证明 0<an<an+1<1(n∈N*) . (Ⅱ)由 = < ,得 1﹣an=(1﹣a1)× × ×…×

,由此能证明

(n∈N*) .

【解答】证明: (Ⅰ)由 得 即

, (an+3) , ,



>0,



= ∴an+1<1, 又 ∴ ,∴0<an<1, (n∈N*) , = (1﹣an)>0,

>0,

∴an+1>an, 综上,得:0<an<an+1<1(n∈N*) . (Ⅱ)由(Ⅰ)知: = < = (1+ )≤ = ,

则 n≥2 时,1﹣an=(1﹣a1)×

×

×…×



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∴(1﹣a1)+(1﹣a2)+(1﹣a3)+…+(1﹣an)<



即 n﹣(a1+a2+a3+…+an)<

=

[1﹣( )n]





(n∈N*) .

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2016 年 9 月 1 日

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