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高中数学


1.7.1定积分在几何中的简单应用
定 积 分 的 简 单 应 用

学习目标:
1、能够应用定积分解决曲边图形的面积。 2、探究过程中通过数形结合的思想,加深 对知识的理解,同时体会到数学研究的基 本思路和方法。

学习重难点:
重点:应用定积分解决平面图形的面积, 在解决问题的过程中体会定积分的价值。

难点:如何恰当选择积分变量和确定被积 函数。

当 f(x)?0 时,积分? f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a x?a、x?b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y y?f ( x) O a
b c

一、复习回顾 1、定积分的几何意义: b

b
? ?S f (x)dx? ? ?a f (x)dx ?a c
b

x
f

?a f (x)dx ? ?a f (x)dx? ?c
O a b x

b

c

b

f (x)dx。

y?f ( x)

当f(x)?0时,由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴所围成
的曲边梯形位于 x 轴的下方,

一、复习回顾

2、牛顿—莱布尼茨公式
定理 (微积分基本定理)

如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
或 ? f ( x )dx ? F ( x ) |b a ? F (b ) - F (a )
a b

?

b

a

f ( x )dx ? F ( b ) - F ( a )

(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)

三、问题探究 曲边形面积的求解思路
y

定 积 A 分 的 简 0 a 单 应 曲边形 用

1

bX

A2
a b a b

曲边梯形(三条直边,一条曲边)

面积 A=A1-A2

四、例题实践求曲边形面积
例1.计算由曲线 y ? x 2 与 y 2 ? x 所围图形的面积 定 解:作出草图,所求面积为阴影部分的面积 积 ? ?y ? x 分 x ? 0及 x ?1 解方程组 ? 得交点横坐标为 ? 的 ?y ? x 简 y 单 S=S曲边梯形OABC-S曲边梯形OABD y ? x2 2 应 y ?x 1 B C 1 1 用 D = ? x dx - ? x 2 dx
2 2

-1

O

1A

x

0

0

-1



2 x 3

3 1 2

1 31 - x = 2 -1 =1 3 0 3 3 3 0

四、例题实践求曲边形面积
例2.计算由曲线 定 积 分 的 简 单 应 用
y 4 2 4

y ? 2 x 直线
y

y ? x - 4 以及x轴
y ? x-4

所围图形的面积S
y ? 2x

S1
2 4

S2 A
8

2 O

S1 S2
2
4

有其他 方法吗?

O

B

8

x

A: s ? s1 ? s2 ? ?

4

0

B: s ? s1 - s2 ? ?

8

0

1 ? 8 ? 2 x dx ? ?? 2 x dx - ? 4 ? 4? 2 ? 4 ? 1 2 x dx - ? 4 ? 4 2

归纳
定 积 分 的 简 单 应 用

求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤:
(1)画草图,求出曲线的交点坐标
(2)将曲边形面积转化为曲边梯形面积 (3)确定被积函数及积分区间 (4)计算定积分,求出面积

变式:

? 求y=-x2与y=x-2围成图形的面积S.
? ?y=x-2 [解析]如图,由? 2 ? y =- x ?

得交点 A(-2,-4),B(1,-1).

∴围成图形(阴影部分)的面积为 S= ?-1 (-x2-x+2)dx
? 1 3 1 2 ??1 =?-3x -2x +2x?? ?-2 ? ?
2

1 =2.

五、巩固练习
求由下列各曲线所围成的图形的面积:

定 积 分 的 简 单 应 用

(1) y ? x 2 , y ? 2 x ? 3 (2) y ? e x , y ? e, x ? 0

32 ( 1) 3

( 2) 1

六、小结
1.本节课我们做了什么探究活动呢?

2.如何用定积分解决曲边形面积问题呢?
3.解题时应注意些什么呢?

4.体会到什么样的数学方法呢?

七、课后作业

? 1、书本P60 习题A组第1题 ? B组第3题 ? 2、练习册

八、提高练习
1、书本P66复习参考题A组16题 ? y ? sin x, y ? cos x 与直线 x ? 0, x ? 2 2 、求曲线 定 y 积 所围成平面图形的面积 y ? sin x 分 1 y ? cos x 的 解题要点: S1 S 2 简 单 S ? S1 ? S 2 O x ? ? 应 ? ? 4 2 用 4 4

S1 ? ? cos x dx - ? sin x dx
0

S2 ? ?? sin x dx - ?? cos x dx
2 2 4 4

?

0

?

S1= S2 有其他
方法吗?


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