tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学


1.7.1定积分在几何中的简单应用
定 积 分 的 简 单 应 用

学习目标:
1、能够应用定积分解决曲边图形的面积。 2、探究过程中通过数形结合的思想,加深 对知识的理解,同时体会到数学研究的基 本思路和方法。

学习重难点:
重点:应用定积分解决平面图形的面积, 在解决问题的过程中体会定积分的价值。

难点:如何恰当选择积分变量和确定被积 函数。

当 f(x)?0 时,积分? f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a x?a、x?b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y y?f ( x) O a
b c

一、复习回顾 1、定积分的几何意义: b

b
? ?S f (x)dx? ? ?a f (x)dx ?a c
b

x
f

?a f (x)dx ? ?a f (x)dx? ?c
O a b x

b

c

b

f (x)dx。

y?f ( x)

当f(x)?0时,由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴所围成
的曲边梯形位于 x 轴的下方,

一、复习回顾

2、牛顿—莱布尼茨公式
定理 (微积分基本定理)

如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
或 ? f ( x )dx ? F ( x ) |b a ? F (b ) - F (a )
a b

?

b

a

f ( x )dx ? F ( b ) - F ( a )

(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)

三、问题探究 曲边形面积的求解思路
y

定 积 A 分 的 简 0 a 单 应 曲边形 用

1

bX

A2
a b a b

曲边梯形(三条直边,一条曲边)

面积 A=A1-A2

四、例题实践求曲边形面积
例1.计算由曲线 y ? x 2 与 y 2 ? x 所围图形的面积 定 解:作出草图,所求面积为阴影部分的面积 积 ? ?y ? x 分 x ? 0及 x ?1 解方程组 ? 得交点横坐标为 ? 的 ?y ? x 简 y 单 S=S曲边梯形OABC-S曲边梯形OABD y ? x2 2 应 y ?x 1 B C 1 1 用 D = ? x dx - ? x 2 dx
2 2

-1

O

1A

x

0

0

-1



2 x 3

3 1 2

1 31 - x = 2 -1 =1 3 0 3 3 3 0

四、例题实践求曲边形面积
例2.计算由曲线 定 积 分 的 简 单 应 用
y 4 2 4

y ? 2 x 直线
y

y ? x - 4 以及x轴
y ? x-4

所围图形的面积S
y ? 2x

S1
2 4

S2 A
8

2 O

S1 S2
2
4

有其他 方法吗?

O

B

8

x

A: s ? s1 ? s2 ? ?

4

0

B: s ? s1 - s2 ? ?

8

0

1 ? 8 ? 2 x dx ? ?? 2 x dx - ? 4 ? 4? 2 ? 4 ? 1 2 x dx - ? 4 ? 4 2

归纳
定 积 分 的 简 单 应 用

求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤:
(1)画草图,求出曲线的交点坐标
(2)将曲边形面积转化为曲边梯形面积 (3)确定被积函数及积分区间 (4)计算定积分,求出面积

变式:

? 求y=-x2与y=x-2围成图形的面积S.
? ?y=x-2 [解析]如图,由? 2 ? y =- x ?

得交点 A(-2,-4),B(1,-1).

∴围成图形(阴影部分)的面积为 S= ?-1 (-x2-x+2)dx
? 1 3 1 2 ??1 =?-3x -2x +2x?? ?-2 ? ?
2

1 =2.

五、巩固练习
求由下列各曲线所围成的图形的面积:

定 积 分 的 简 单 应 用

(1) y ? x 2 , y ? 2 x ? 3 (2) y ? e x , y ? e, x ? 0

32 ( 1) 3

( 2) 1

六、小结
1.本节课我们做了什么探究活动呢?

2.如何用定积分解决曲边形面积问题呢?
3.解题时应注意些什么呢?

4.体会到什么样的数学方法呢?

七、课后作业

? 1、书本P60 习题A组第1题 ? B组第3题 ? 2、练习册

八、提高练习
1、书本P66复习参考题A组16题 ? y ? sin x, y ? cos x 与直线 x ? 0, x ? 2 2 、求曲线 定 y 积 所围成平面图形的面积 y ? sin x 分 1 y ? cos x 的 解题要点: S1 S 2 简 单 S ? S1 ? S 2 O x ? ? 应 ? ? 4 2 用 4 4

S1 ? ? cos x dx - ? sin x dx
0

S2 ? ?? sin x dx - ?? cos x dx
2 2 4 4

?

0

?

S1= S2 有其他
方法吗?


推荐相关:

高中数学解题思想方法全部内容

编者:东升高中 高建彪 fggjb@163.net 0760-2298253 2 3 第一章 高中数学解题基本方法一、 配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的...


高中数学知识点总结(最全版)

高中数学知识点总结(最全版)_数学_高中教育_教育专区。数学知识点总结 引言 1.课程内容:必修课程由 5 个模块组成: 必修 1:集合、函数概念与基本初等函数(指、...


高中数学公式大全(完整版)

高中数学公式大全(完整版)_数学_高中教育_教育专区。高中数学公式大全(完整版)高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 x ? A ? x ? CU A , x ?...


人教版高中数学知识点总结新

(面积或体积) ;(2) 几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出 现的可能性相等. 高中数学 必修 4 知识点第一章 ...


高中数学必修4教案

?R 2 ,又此时弧长 360 可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化, 而弧度制下的扇形面积公式显然要 简洁得多. 4 高中数学必修 4 教案 1 1 扇形面积...


高中数学选修(1-1)综合测试题

高中数学选修(1-1)综合测试题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高二数学人教版 高二数学选修 1—1 综合测试题一、 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1、...


高中数学必修3知识点总结

高中数学必修3知识点总结_社会学_人文社科_专业资料。高中数学必修三 高中数学必修 3 知识点 第一章 算法初步 1.1.1 算法的概念 1、算法概念: 在数学上, ...


高中数学常用公式及常用结论-大全

高中数学常用公式及常用结论-大全_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学常用公式 常用结论 公式大全教学资料(高中数学) 祝同学们学习进步 高中数学常用公式及常...


高中数学必修1-5知识点归纳

高中数学必修1-5知识点归纳。人教A版高中数学必修1-5知识点归纳,全面,实用,欢迎下载!!必修1 数学知识点第一章、集合与函数概念 §1.1.1、集合 1、 把研究...


高中数学必修2知识点

高中 数学 必修 2 知识点第一章 1.1 柱、锥、台、球的结构特征 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1 三视图: 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com