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福建省福州市福州一中2012-2013学年第一学期高三期末考试(数学)


福州一中 2012-2013 学年第一学期期终考试高三理数学试卷
(完卷 100 分钟 满分 100 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.当 1 ? a ? 2 时,复数 z ? 2 ? a ? (1 ? a)i 在复平面上对应的点位于 A.第一象限 2.

下列命题中错误的是 .. B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2 A.命题“若 x2 ? 5x ? 6 ? 0, 则 x ? 2 ”的逆否命题是“若 x ? 2, 则 x ? 5 x ? 6 ? 0 ”

2 B.“ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的充分不必要条件

C.已知命题 p 和 q, 若 p ? q 为假命题,则命题 p 与 q 中必一真一假
2 D.对于命题 p : ?x ? R, 使得 x2 ? x ?1 ? 0, 则?p: ?x ? R, 则 x ? x ? 1 ? 0.

3. 在平面直角坐标系中,若角 ? 的顶点在坐标原点,始边在 x 轴的非负半轴上,终边经过 点 P (3a, ?4a ) (其中 a ? 0 ),则 cos? 的值为 A. ?

4 5

B. ?

2 2 4. 已知集合 M ? x x ? 2012x ? 2013 ? 0 , N ? x x ? ax ? b ? 0 , 若 M ? N ? R,

?

3 5

C.

?

3 5

D.

?

4 5

?

M ? N ? ? 2013, 2014? , 则
A. a ? 2013, b ? ?2014 C. a ? 2013, b ? 2014

a ? ?2013, b ? 2014 D. a ? ?2013, b ? ?2014
B.

5.若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题,则 该命题称为“可换命题”.下列四个命题,其中是“可换命题”的是 ①垂直于同一平面的两直线平行 ②垂直于同一平面的两平面平行 ③平行于同一直线的两直线平行 ④平行于同一直线的两平面平行 A.①② B.①④ C.①③ D.③④ 6. 用反证法证明命题: m, n ? N , mn 可被 5 整除,那么 m, n 中至少有一个能被 5 整除” “ 时, 假设的内容应为 A. m, n 都能被 5 整除 C. m, n 都不能被 5 整除
x

B. m, n 不都能被 5 整除 D. n 不能被 5 整除

7. 已知函数 f ( x) ? a ? x ? b 的零点 x0 ? (n, n ?1) (n ? Z ), 其中常数 a, b 满足 2a ? 3,

3b ? 2, 则 n 的值是 A. ?2

B. ?1
2

C.0

D.1

8. 设点 O, F 分别是原点和抛物线 y ? 4x 的焦点,抛物线上的点 A 在其准线上的射影为 B ,且 ?OFB ? 60?, 则 ?ABF 的面积为 A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 16 3

1

?b ? a 9a 2 ? b 2 ? 9.已知 a ? R, b ? R, 且 ?b ? a ? 1 , 则 的最大值与最小值之和为 ab ?b ? ? 2 a ? 2 ?
资 A. 18 B. 16 C. 14 D.

49 4
y

10.已知函数 y ? f ? x ? 的大致图象如右图所示,则函数

y ? f ? x ? 的解析式应为
A. f ( x) ? x ?
2

ln x x2 ln x
x

B. f ( x) ? x ? D. f ( x) ? x ?

ln x x2 ln x x
O

C. f ( x) ? x ?

x

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.把答案填在答题卷的相 应位置. 11. 函数 f ( x) ? x3 ? x2 ?1在点 (1,1) 处的切线与函数 g ( x) ? x 2 围成的图形的面积等于 ___. 12.一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视图是腰 长为 1 的两个全等的等腰直角三角形,若要拼成一个棱长为 1 的正方体,则需要这样的几何体 个. 13.如图所示,由若干个点组成形如长方形的图形,每条边(包 括两个端点)有 n ( n ? 2) 个点,每个图形总的点数记为 an , 则
正视图 侧视图

俯视图

16 16 16 16 ? ? ??? ? _____ . a2 a3 a3a4 a4 a5 a2012 a2013

? ?
n?2
n?3

n?4

n?5

14. 把离心率相同的椭圆叫做 “相似椭圆” 如图的两个相似椭圆,分别是同一个矩形的内切 , 椭圆和外接椭圆,且 q ( q ? 1) 是这两个椭圆长轴的长的比值,那么 q ? _____.

2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题 8 分) 已知数列 ?an ?的首项 a1 ? 2 ,且 an?1 ? 3an , 数列 ? n ? an ? 是等差数列,其首项为 3, b 公差为 2 , 其中 n ? N . (Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n .
?

16. (本小题 10 分) 已知 m ? ( 3 sin x, 2cos x), n ? (2cos x, ?cos x), 函数 f ( x) ? m? ?1 . n (Ⅰ) 求函数 f (x ) 的最小正周期和对称轴的方程; (Ⅱ)设 ?ABC的角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 a ?1, f ( A) ? 0 ,求 b ? c 的取值范 围.

??

?

?? ?

17. (本小题 10 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD中, PD ⊥平面 ABCD, ABCD是边长为 2 的菱形,

?BAD ?

?
3

, PD ? 2k (k ? 0), E 为 AB 中点.

(Ⅰ)求证: ED ? 平面 PDC ; (Ⅱ)当二面角 P ? EC ? D 的大小为

? 时,求 k 的值; 6

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求直线 EC 与平面 PAB 所成的角 ? 的正弦值. P

D

C

A

E

B

3

18. (本小题 10 分)

x2 y2 ? ? 1 的焦距为 4,以原点为圆心,实半轴长为半径的圆和直 a 2 b2 线 x ? y ? 6 ? 0 相切. (Ⅰ) 求双曲线 E 的方程; (Ⅱ)已知点 F 为双曲线 E 的左焦点,试问在 x 轴上是否存在一定点 M ,过点 M 任 ??? ??? ? ? 意作一条直线 l 交双曲线 E 于 P , Q 两点,使 FP ? FQ 为定值?若存在,求出此 定值和所有的定点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.
已知双曲线 E :

19. (本小题 10 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x, 若存在函数 g ( x) 使得 g ( x) ? f ( x) 恒成立, 则称 g ( x) 是 f ( x ) 的 一个“下界函数”. (I) 如果函数 g ( x) ? 围; (Ⅱ)设函数 F ( x) ? f ( x) ?

a ,求 ? ln x (a 为实数 ) 为 f ( x) 的一个“下界函数” a 的取值范 x 1 m ? , m ? 2. 试问函数 F ( x) 是否存在零点,若存在,求 e x ex

出零点个数;若不存在,请说明理由.

福州一中 2012-2013 学年第一学期期终考试 高三理科数学试卷参考答案 一、选择题: DCBDC 二、填空题: 11. 三、解答题: 15. 解: (Ⅰ)由题可得: CBCBA 12. 3 13.

1 6

2011 2012

14.

2

an ?1 ? 3 ,∴ 数列 ?an ?是以 2 为首项,3 为公比的等比数列, an
????????????2 分

n ?1 ∴ an ? 2 ? 3 .

n ?1 (Ⅱ)由题知: bn ? an ? 2n ? 1, ? bn ? 2 ? 3 ? 2n ? 1 , ????????4 分

∴ Sn ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? ??? ? 2 ? 3
2

?

n ?1

n 3 ? 2n ? 1 ?? ? 2 ? ? 3

n

? n 2 ? 2n ? 1 .?8 分

4

2 16. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 3 sin 2 x ? 2 cos x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2

? 2sin(2 x ? ) ? 2. 6
故 f (x ) 的最小正周期为 ? , 由 2x ?

?

?????????????2 分 ?????????????3 分

?
6

? k? ?

?
2

( k ? Z )得对称轴的方程为 x ?

(Ⅱ)由 f ( A) ? 0 得 2sin(2 A ?

?

??

?
6

? 2A ?

?
6

?

11? ? ? ? ,?2 A ? ? , ? A ? , 6 6 2 3

) ? 2 ? 0, 即 sin(2 A ? ) ? 1, 6 6
??????????6 分

?

1 ? k? ? , k ? Z . ??4 分 2 3

解法一:由正弦定理得 b ? c ? = 2 sin( ? B

2 2 ? 2? ? (sin B ? sin C) ? ?sin B ? sin( 3 ? B)? 3 3? ?
?????????????8 分

?
6

)

?A?

2? ? ? 5? ), B ? ? ( , ), 3 3 6 6 6 ? ?1 ? ?sin( B ? ) ? ? ,1? , ?b ? c 的取值范围为 ?1,2? . ??????????10 分 6 ?2 ? 解法二:由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? bc, a ? 1, ?b2 ? c2 ? bc ?1, (b ? c) 2 ? (b ? c) 2 ? 1 ? 3bc ? 1 ? 3 ? , 解得 b ? c ? 2, ?????????8 分 4 又 b ? c ? 1 ,所以 b ? c 的取值范围为 ?1, 2?. ??????????10 分 ,? B ? (0,
P

?

17. 解:(Ⅰ)证明:连结 DB, 由题知 ?ABD 为正三 角形,? ED ? AB, ??????1 分

? AB / / DC,? ED ? DC,
又 PD ? 平面 ABCD,? ED ? PD, A E

D

C

B

? ED ? 平面 PDC ;??????????3 分
(Ⅱ)解法一:作 DM ? EC 于点 M , 连结 PM , ? DM 为斜线 PM 在平面 ABCD 的射影,

? PM ? EC ,??DMP 为二面角 P ? EC ? D 的平面角,故 ?DMP ?
在直角三角形 DEC 中, DM ?

?
6

,

??5 分

DE ? DC 2 21 ? , EC 7

5

因为 DM ? 3PD ? 2 3k , 所以 k ?

7 . 7

??????????????7 分

P

z P

D M A E B

C

D O A x E B

C y

解法二:以点 D 为原点 O ,射线 DE , DC , DP 分别为 Ox 轴、 Oy 轴、 Oz 轴的正方向 建立空间直角坐标系 O ? xyz .则 E ( 3, 0, 0), C (0, 2, 0), P(0, 0, 2k ), ?????4 分 设平面 PEC 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ), ? 可得 n1 ? (2k , 3k , 3),

??

?( x1 , y1 , z1 ) ? (? 3, 2, 0) ? 0 ? , ?( x1 , y1 , z1 ) ? (0, 2, ?2k ) ? 0 ?

??

???????????????????5 分

又平面 DEC 的法向量可为 n2 ? (0, 0,1), 由 cos? n1 , n2 ? ?

?? ?

?? ?? ?

3 2

化简得 7k ? 1, ? k ?
2

7 . 7

??????????????????7 分

?( x3 , y3 , z3 ) ? (0, 2, 0) ? 0 ?? ? ? , (Ⅲ) 解法一:设平面 PBA 的法向量为 n3 ? ( x3 , y3 , z3 ), ? 2 7 )?0 ?( x3 , y3 , z3 ) ? ( 3,1, ? 7 ? ?? ? 可得 n3 ? (2,0, 21), ???????????????????8 分
又 EC ? (? 3, 2, 0), 因此 sin? ? cos? EC, n3 ? ?

??? ?

??? ?? ? ?

2 21 . 35

???????10 分

解法二:设点 C 到平面 PAB 的距离为 h, 则 VC ? PAB ?

5 7 h, ???????8 分 21

又 VP ? ABC ?

2 21 2 3 , 因为 VP? ABC ? VC ?PAB , 所以 h ? , ?????????9 分 21 5

6

因此 sin? ?

h 2 21 ? . EC 35

?????????????????????10 分 ???????????????2 分

18. 解:(Ⅰ) c ? 2, a ? 3,? b ? 1, 所以双曲线 E 的方程为 E :

x2 ? y2 ? 1 ; ????????3 分 3 (Ⅱ)解法一:当直线 l 为 y ? 0 时, P(? 3, 0), Q( 3, 0), F ( ?2, 0), ??? ??? ? ? ? FP ? FQ ? (? 3 ? 2, 0) ? ( 3 ? 2, 0) ? 1; ????????4 分 x2 ? y2 ? 1 当直线 l 不是 y ? 0 时,可设 l : x ? ty ? m, (t ? ? 3) 代入 E : 3 2 2 2 整理得 (t ? 3) y ? 2mty ? m ? 3 ? 0 (t ? ? 3), ? ????????6 分
由 ? ? 0 得 m2 ? t 2 ? 9,

2mt m2 ? 3 , y1 y2 ? 2 , t2 ? 3 t ?3 ??? ??? ? ? ? FP ? FQ ? (ty1 ? m ? 2, y1 ) ? (ty2 ? m ? 2, y2 )
设方程 ? 的两个根为 y1 , y2 , 满足 y1 ? y2 ? ?

t 2 ? 2m2 ? 12m ? 15 ? (t 2 ? 1) y1 y2 ? t (m ? 2)( y1 ? y2 ) ? (m ? 2) 2 ? , t2 ? 3 ??? ??? ? ? 2 当且仅当 2m ? 12m ? 15 ? 3 时, FP ? FQ 为定值 1 ,
解得 m ? ?3 ? 3 , m ? ?3 ? 3 不合题意,舍去, 而且 m ? ?3 ? 3 满足 ? ? 0 ; 为定值 1 .

???8 分

综上得: 过定点 M (?3 ? 3, 0) 任意作一条直线 l 交双曲线 E 于 P , Q 两点, FP ? FQ 使 ?????????????????????????10 分

??? ??? ? ?

??? ??? t 2 ? 2m 2 ? 12m ? 15 ? ? , ???????8 分 解法二: 前同解法一,得 FP ? FQ ? t2 ? 3 t 2 ? 2m 2 ? 12m ? 15 ? 1, 得 2m2 ? 12m ? 15 ? 3 , 由 2 t ?3
解得 m ? ?3 ? 3 ,下同解法一. ???????????????????10 分 解法三: 当直线 l 不垂直 x 轴时,设 l : y ? k ( x ? m) (k ? ? 整理得 (3k ? 1) x ? 6mk x ? 3(m k ? 1) ? 0 (k ? ?
2 2 2 2 2

x2 3 ), 代入 E : ? y 2 ? 1 3 3

3 ), 3

?

????5 分

由 ? ? 0 得 m2k 2 ? 3k 2 ?1 ? 0,

6mk 2 3m2 k 2 ? 3 , x1 x2 ? , 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 ??? ??? ? ? ? FP ? FQ ? ( x1 ? 2, k ( x1 ? m)) ? ( x2 ? 2, k ( x2 ? m))
设方程 ? 的两个根为 x1 , x2 , 满足 x1 ? x2 ?

(2m2 ? 12m ? 15)k 2 ? 1 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (2 ? mk 2 )( x1 ? x2 ) ? m 2 k 2 ? 4 ? , ??7 分 3k 2 ? 1 ??? ??? ? ? 2 当且仅当 2m ? 12m ? 15 ? 3 时, FP ? FQ 为定值 1 ,
解得 m ? ?3 ? 3 , m ? ?3 ? 3 不合题意,舍去, 而且 m ? ?3 ? 3 满足 ? ? 0 ; ???????????????????8 分

7

当直线 l ? x 轴时, l : x ? ?3 ? 3 代入 E :

x2 ? y2 ? 1 得 3

y1,2 ? ? 3 ? 2 3, ??? ??? ? ? ? FP ? FQ ? (?1 ? 3, y1 ) ? (?1 ? 3, y2 ) ? (?1 ? 3) 2 ? y1 y2 ? 1; ?????9 分
综上得: (结论同解法一) (注:第(II)题有一般性结论) 19.解: (I)解法一:由 ???????????????10 分

a ? ln x ? ln x 得 a ? 2 x ln x, ?????????1 分 x
?????????????2 分

记 h( x) ? 2 x ln x, 则 h?( x) ? 2(ln x ? 1),

1 e 1 1 当 x ? ( , ??) 时, h?( x) ? 0, 所以 h ( x ) 在 ( , ??) 上是增函数, ????3 分 e e 1 2 2 因此 h( x)min ? h( ) ? ? , 即 a ? ? . ???????????????5 分 e e e a a 解法二:由 ? ln x ? ln x 得 ? 2ln x ? 0, x x a ?a ? 2 x 设 P( x) ? ? 2ln x , 则 P?( x) ? , ???????????????1 分 x x2 2 a (1)若 a ? 0, 由 P?( x) ? ? 2 ( x ? ) 知 x 2 a a P( x) 在 (0, ? ) 上是增函数,在 (? , ??) 上是减函数, ?????????2 分 2 2 a 2 因为 P( x) ? 0 恒成立,所以 P( x)max ? P(? ) ? 0 , 解得 a ? ? ; ?????3 分 2 e a (2)若 a ? 0, 当 x ? 0 且 x ? 0 时, P( x) ? ? 2ln x ? ?? , x
当 x ? (0, ) 时, h?( x) ? 0, 所以 h ( x ) 在 (0, ) 上是减函数, 此与 P( x) ? 0 恒成立矛盾,故舍去 a ? 0 ; 综上得 a ? ? . ??????????????4 分

1 e

2 e

??????????????????????????5 分

1 m ? , m ? 2. e x ex 2 1 由(I)知 2 x ln x ? ? , 即 ln x ? ? , ???????????????6 分 e ex
(Ⅱ)解法一:函数 F ( x) ? ln x ?

1 m ? 1 (m ? 1)e x ? ex F ( x) ? ? x ? ? , e ex xe x ?1

???????????????7 分

设函数 P( x) ? (m ?1)ex ? ex ( x ? 0), P?( x) ? (m ?1)ex ? e, (1)当 2 ? m ? e ?1时,

P( x) 在 (0,ln

e e ) 上是减函数,在 (ln , ??) 上是增函数, m ?1 m ?1

8

e e ) ? e ? e ln , m ?1 m ?1 e 因为 m ? 2, 所以 ln ? ln e ? 1, 即 P( x) ? 0; m ?1
故 P( x) ? P(ln

?????????8 分

(2)当 m ? e ?1 时, P( x) ? e ? ex ? ex ? e(ex ? x) ? 0; ????????9 分 综上知 F ( x) ? 0, 所以函数 F ( x ) 不存在零点. 解法二:前同解法一, F ( x) ? ? ???????????10 分

1 m ?1 1 m ?1 x ? ? ( ? x ), ??????7 分 ex ex x e e m ?1 x x ?1 记 M ( x) ? ? x , 则 M ?( x) ? x , e e e
所以 M ( x ) 在 (0,1) 上是减函数,在 (1, ?? ) 上是增函数, 因此 M ( x)min ? M (1) ? 故 F ( x) ?

m?2 ? 0, 所以函数 F ( x) 不存在零点. ex

m?2 ? 0, e

???????????????9 分 ????????10 分

解法三:前同解法一, 因为 m ? 2, 故 F ( x) ? 设函数 P( x) ? ex ? ex ( x ? 0), P?( x) ? ex ? e, 因此 P( x) ? P(1) ? 0, 即

e x ? ex , ?????????7 分 xe x ?1

e x ? ex ? 0, xe x ?1

?????????????9 分

故 F ( x) ? 0, 所以函数 F ( x ) 不存在零点. 解法四:前同解法一,因为 m ? 2, 故 F ( x) ?

?????????????10 分

e x ? ex , ?????????7 分 xe x ?1
x

从原点 O 作曲线 E : y ? ex ( x ? 0) 的切线 l , 设切点为 A( x0 , e 0 ) , 那么 l : y ? e
x0

? e x0 ( x ? x0 ), 把点 O(0, 0) 代入得 x0 ? 1, 所以 l : y ? ex,
???????9 分

e x ? ex ? 0, 所以 e ? ex (当且仅当 x ? 1 时取等号) ,即 xe x ?1
x

故 F ( x) ? 0, 所以函数 F ( x ) 不存在零点. ??????????????10 分

9


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