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集合及其表示


长安教育教研室主编

长安教育中心
胜利是不会向我走来的,我必须自己走向胜利。--------穆尔

第1讲
一【学习目标】

集合及其表示

1.了解集合的含义,并掌握集合中元素的三个特性; 2.体会元素与集合间的关系; 3.记住常用数集的表示符号并会应用; 4.掌握集合的表示方

法;

二【知识梳理】
1.集合的概念 (1)集合:某些指定的对象集在一起就形成一个集合(简称集),常用大写的拉丁字母表 示,如 A、B、C、P、Q…… (2)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素,常用小写的拉丁字母表示,如 a、b、c、 p、q…… 2.常用数集及记法 (1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合.记作 N, N ? ?0,1,2, ?? ; (2)正整数集:非负整数集内除 0 的集合.记作 N 或 N+, N ? ?1, 2,3,? ?;
*

*

? 1, ? 2, ?? ; (3)整数集:全体整数的集合.记作 Z, Z ? ?0,

(4)有理数集:全体有理数的集合.记作 Q , Q ? 整数与分数 ;

(5)实数集:全体实数的集合.记作 R, R ? 数轴上所有点所对应的 数; 3.元素对于集合的隶属关系 (1)属于:如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A,记作 a∈A (2)不属于:如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A,记作 a ? A 4.集合中元素的特性 (1)确定性:按照明确的判断标准,给定一个元素或者在这个集合里,或者不在,二者居 其一而且只居其一.不能模棱两可; (2)互异性:集合中的元素没有重复; (3)无序性:集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出). 5.集合的表示方法 (1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合; 如: A ? ?6, 4,8? , B ? 刘,世,华 , C ? 刘,思,法 …

?

?

?

?

?

?

?

?

(2)描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在大括号内 表示集合的方法,格式:{x∈A|P(x)}含义:在集合 A 中满足条件 P(x)的 x 的集合; 如: x ? R 2x-3 ? 0 … (3)文氏图:用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法. 点拨:A ? x y ? x ? 1 ,B ? y y ? x ? 1 ,C ?
2 2

?

?

?

?

?

?

?? x, y ? y ? x ? 1? 是互不同的集合.
2

不要学花儿只把春天等待,要学燕子把春天衔来。

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6.按元素的多少,集合可分为以下三类: (1)有限集:含有有限个元素的集合 (2)无限集:含有无限个元素的集合
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

(3)空集:不含任何元素的集合 记作Φ ,如: {x ? R | x 2 ? 1 ? 0}
王新敞
奎屯 新疆

点拨:注意Φ ,0, ?0? 三者的区别与联系.

三【典例精析】
例 1.下列语句能确定是一个集合的是 (要简述理由) (1)著名的科学家:(2)留长发的女生;(3)不超过 π 的正整数; (4)视力差的男生:(5)本班中成绩好的同学; (6)高一数学课本中所有的简单题; (7)平方后等于自身的数.

例 2.求集合{3,x, x ? 2 x }中实数 x 所组成的集合.
2

例 3.由实数 x, ? x, x , x 2 ,?3 x 3 所组成的集合中,最多含几个元素?

例 4.用描述法表示下列集合: (1){1,4,7,10,13};

(2){-2,-4,-6,-8,-10};

(3)所有奇数组成的集合;

(4)坐标平面内到两坐标轴的距离相等的点组成的集合.

例 5.用列举法表示下列集合 (1){(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}; (2) {( x, y) | ?

? x? y ?2 }; ?x ? 2 y ? 4

(3) {x | x ? (?1) , n ? N};
n

(4) {( x, y) | 3x ? 2 y ? 16, x ? N , y ? N} ;

(5)设 a,b 是非零实数,那么

a a

?

b b

可能取的值组成集合.

例 6. 集合 A= x ? R x ? a ? b 3 , a ? Z , b ? Z (1)x=0; (2)x=

?

?,判断下列元素 x 与集合 A 的关系:
1
; (4) x1 ? A, x2 ? A, x ? x1 ? x2 .

4 5? 3



(3) x=

2? 3

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例 7.设集合 A=(x,y,x+y),B=(0, x ,xy)且 A=B,求实数 x,y 的值
2

例 8.设 A 为实数集,且满足条件:若 a ? A ,则

1 ? A ? a ? 1? .求证: 1? a

(1)若 2∈A,则 A 中必还有另外两个元素;(2)集合 A 不可能是单元素集. 1 1 1 1 证明:(1)若 a∈A,则 ∈A.又∵2∈A,∴ =-1∈A.∵-1∈A,∴ = ∈A. 1-a 1- 2 1-?-1? 2 1 1 1 ∵ ∈A,∴ =2∈A.∴A 中另外两个元素为-1, . 2 1 2 1- 2 1 (2)若 A 为单元素集,则 a= ,即 a2-a+1=0,方程无解. 1-a 1 ∴a≠ ,∴A 不可能为单元素集. 1-a

四【过关精练】
一.选择题 1.给定四个集合: M ? A. M ? N

??1, 2??,N ? ?? 2,1??, P ? ?1,2?,Q ? ?2,1? ,则(
C. M ? P D. P ? Q D.a=A



B. N ? P

2.集合 A 只含有元素 a,则下列各式正确的是( ) A.0∈A B. a ? A C.a∈A

3.已知 M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长,则此三角形一定不是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.由 a , 2 ? a, 4 组成一个集合 A,A 中含有 3 个元素,则实数 a 的取值可以是( A.1 B.-2 C.6 D.2
2

)

5.已知集合 A 是由 0,m,m2-3m+2 三个元素组成的集合,且 2∈A,则实数 m 为( A.2 B.3 C.0 或 3 D.0,2,3 均可 6.集合{x∈N+|x-3<2}用列举法可表示为( ) A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5}
? ? ? ?x+y=5 ? ? ? 表示成列举法,正确的是( 7.将集合??x,y?|? ) ? ?2x-y=1? ? ? ? A.{2,3} B.{(2,3)} C.{x=2,y=3}

)

D.{1,2,3,4,5}

D.(2,3) ) D.{-1,1}

8.集合 ? x x ?

? ? ? ?

? b a c ? ? ? , a, b, c ? R ? 的列举法表示应该是( a b c ? ?
B.{1,3} C.{-1,1,3}

A.{-3,-1,1,3} 二.填空题

9.集合 A= x ax ? 2x ? 1 ? 0 ?中只有一个元素,则 a 的值是______
2

?

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10.已知 P= x 2 ? x ? k , x ? N , k ? R ?,若集合 P 中恰有 3 个元素,则实数 k 的取值范围 是_____ 8 11.用列举法表示集合 A={x|x∈Z, ∈N}=____________ 6-x 12. 已知 a ∈ Z, A = {(x , y)|ax - y≤3} 且 (2,1) ∈ A , ?1 ? 4? ? A ,则满足条件的 a 的值为 ________. 三.解答题 13.设 P、Q 为两个非空实数集合,P 中含有 0,2,5 三个元素,Q 中含有 1,2,6 三个元素,定 义集合 P+Q 中的元素是 a+b,其中 a∈P,b∈Q,则 P+Q 中元素的个数是多少?

?

14.用适当的方法表示下列集合: 2 ①方程 x(x +2x+1)=0 的解集; ②在自然数集内,小于 1000 的奇数构成的集合; ③不等式 x-2>6 的解的集合; ④大于 0.5 且不大于 6 的自然数的全体构成的集合.

15.对于 a, b ? N ? ,现规定: a ? b ? ? 集合 M ?

?? a, b ? a ? b ? 36, a, b ? N ? .
?

? ? a与b的奇偶性相同? ?a ? b, ? a与b的奇偶性不同? ? ?a ? b,

(1)用列举法表示 a , b 奇偶性不同时的集合 M ; (2)当 a 与 b 的奇偶性相同时集合 M 中共有多少个元素?

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参考答案
一.选择题 1.D;2.C;3.D;4.C;5.B;6.B;7.B;8.A; 二.填空题 9.0 或 1;10. 5 ? k ? 6 ;11.{5,4,2,-2};12.0,1,2. 三.解答题 13.解:由集合元素的互异性知 P+Q 中元素为 1,2,3,4,6,7,8,11 共 8 个. 2 14.解:①∵方程 x(x +2x+1)=0 的解为 0 和-1, ∴解集为{0,-1}; ②{x|x=2n+1,且 x<1000,n∈N}; ③{x|x>8}; ④{1,2,3,4,5,6}. 15.解:(1)当 a,b 奇偶性不同时,a*b=a×b=36, 则满足条件的(a,b)有(1,36),(3,12),(4,9),(9,4),(12,3),(36,1),故集合 M 可 表示为: M ={(1,36),(3,12),(4,9),(9,4),(12,3),(36,1)}. (2)当 a 与 b 的奇偶性相同时 a*b=a+b=36,由于两奇数之和为偶数,两偶数之和仍 为偶数,故 36=1+35=2+34=3+33=…=17+19=18+18=19+17=…=35+1, 所以当 a,b 奇偶性相同时这样的元素共有 35 个.

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