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山西省太原五中2014-2015学年高一数学上学期12月月考试卷(含解析)


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

山西省太原五中 2014-2015 学年高一上学期 12 月月考数学试卷
一.选择题(每题 4 分) 1. (4 分)某中学有高中生 3500 人,初中生 1500 人,为了解学生的学习情况,用分层抽样 的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从高中生中抽取 70 人,则 n 为() A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 2. (4 分)若某程序框图如图所示,则输出的 n 的值是()

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

3. (4 分)已知三个数 a=12(16) ,b=25(7) ,c=33(4) ,将它们按由小到大的顺序排列为() A. c<a<b B. a<c<b C. b<a<c D. c<b<a 4. (4 分)在什么进位制中,十进位制数 71 记为 47() A. 17 B. 16 C. 8

D. 12

5. (4 分)如图给出的是计算 + +?+ 执行框中的(2)处应填的语句是()

的值的一个程序框图,则图中判断框内(1)处和

A. i>108,n=n+1

B. i>108,n=n+2

C. i>54,n=n+2

D. i≤54,n=n+2

1

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6. (4 分)执行框图,若输出结果为 3,则可输入的实数 x 值的个数为()

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

7. (4 分)阅读下面的算法程序: s=1 i=1 WHILE i<=10 s=i*s i=i+1 WEND PRINT s END 上述程序的功能是() A. 计算 3×10 的值 C. 计算 1×2×3×?×10 的值

B. 计算 1×2×3×?×9 的值 D. 计算 1×2×3×?×11 的值

8. (4 分)已知样本容量为 30,在样本频率分布直方图中,各小长方形的高的比从左到右依 次为 2:4:3:1,则第 2 组的频率和频数分别为()

A. 0.4,12

B. 0.6,16

C. 0.4,16

D. 0.6,12

9. (4 分)期 2015 届中考试后,某校 2015 届高三(9)班对全班 65 名学生的成绩进行分析, 得到数学成绩 y 对总成绩 x 的回归直线方程为 y=6+0.4x.由此可以估计:若两个同学的总 成绩相差 50 分,则他们的数学成绩大约相差()分.

2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. 20 B. 26
n

C. 110
n﹣1

D. 125
k

10. (4 分)已知 n 次多项式 Pn(x)=a0x +a1x +?+an﹣1x+an,如果在一 种算法中,计算 x0 (k=2,3,4,?,n)的值需要 k﹣1 次乘法,计算 P3(x0)的值共需要 9 次运算(6 次乘法, 3 次加法) ,那么计算 P10(x0)的值共需要()次运算. A. 64 B. 19 C. 20 D. 65

11. (4 分)若当 x∈R 时,y=

均有意义,则函数

的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

12. (4 分)已知函数 f(x+1)是偶函数,当 x2>x1>1 时,[f(x2)﹣f(x1)](x2﹣x1) >0 恒成立,设 a=f(﹣ ) ,b=f(2) ,c=f(3) ,则 a,b,c 的大小关系为() A. b<a<c B. c<b<a C. b<c<a D. a<b<c

二.填空题(每题 3 分) 13. (3 分)两数 5280,12155 的最大公约数为. 14. (3 分)下列抽样:①一个总体中共有 100 个个体,随机编号 0,1,2,3,?,99,依 编号顺序平均分成 10 个小组,组号依次为 1,2,3,?,10.现抽取一个容量为 10 的样本, 规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m,那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位 数字相同;②厂里生产的产品,用传送带将产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔 5 分钟抽一件产品进行检验; ③某一市场调查, 规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查, 直到调查到事先规定的人数为止;④影院调查观众的某一指标,通知每排(每排人数相等) 座号为 12 的观众留下来座谈. 上述抽样中是系统抽样的是. (请把符合条件的序号填到横线 上) 15. (3 分)已知样本 9,10,11,x,y 的平均数是 10,标准差是 ,则 xy=.

16. (3 分)已知函数 f(x)=

,若存在 x1<x2,使得 f(x1)=f(x2) ,

则 x1?f(x2)的取值范围为.

三.解答题(每题 8 分)

3

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 17. (8 分)为检测学生的体温状况,随机抽取甲,乙两个班级各 10 名同学,测量他们的体 温(单位 0.1 摄氏度)获得体温数据的茎叶图,如图所示. (Ⅰ)根据茎叶图判断哪个 班级的平均体温较高; (Ⅱ)计算乙班的样本方差.

18. (8 分)从 100 名学生中抽取 20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方 图如下: (1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)估计总体中成绩落在[50,70)中的学生人数; (3)估计总体的中位数.

19. (8 分) 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元) 有如下的统计资料: 使用年限 x] 2 3 4 5 6 维修费用 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系. (1)请根据最小二乘法求出线性回归方程 y=bx+a 的回归系数 a,b; (2)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少? 20. (8 分)我县有甲,乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲 家每张球台每小时 5 元;乙家按月计费,一个月中 30 小时以内(含 30 小时)每张球台 90 元,超过 30 小时的部分每张球台每小时 2 元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球 台开展活动,其活动时间不少于 15 小时,也不超过 40 小时. (1)设在甲家租一张球台开展活动 x 小时的收费为 f(x)元(15≤x≤40) ,在乙家租一张 球台开展活动 x 小时的收费为 g(x)元(15≤x≤40) .试求 f(x)和 g(x) ; (2)问:小张选择哪家比较合算?为什么?

21. (8 分)已知函数 f(x)=﹣x +2ex+m﹣1,g(x)=x+

2

(x>0) .

(1)若 g(x)=m 有实根,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)﹣f(x)=0 有两个相异实根.

4

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 山西省太原五中 2014-2015 学年高一上学期 12 月月考数学试卷 参考答案与试题解析 一.选择题(每题 4 分) 1. (4 分)某中学有高中生 3500 人,初中生 1500 人,为了解学生的学习情况,用分层抽样 的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从高中生中抽取 70 人,则 n 为() A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 计算分层抽样的抽取比例和总体个数,利用样本容量=总体个数×抽取比例计算 n 值. 解答: 解:分层抽样的抽取比例为 总体个数为 3500+1500=5000, ∴样本容量 n=5000× =100. = ,

故选:A. 点评: 本题考查了分层抽样方法,熟练掌握分层抽样方法的特征是关键. 2. (4 分)若某程序框图如图所示,则输出的 n 的值是()

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 算法的功能是求满足 P=1+3+?+(2n﹣1)>20 的最小 n 值,利用等差数列的前 n 项和公式求得 P,根据 P>20,确定最小的 n 值. 解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求满足 P=1+3+?+(2n﹣1)>20 的最小 n 值, ∵P=1+3+?+(2n﹣1)= ×n=n >20,∴n≥5,
2

5

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故输出的 n=5. 故选:C. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是关键. 3. (4 分)已知三个数 a=12(16) ,b=25(7) ,c=33(4) ,将它们按由小到大的顺序排列为() A. c<a<b B. a<c<b C. b<a<c D. c<b<a 考点: 进位制. 专题: 计算题. 分析: 将各数转化为十进制数,从而即可比较大小. 解答: 解:∵将各数转化为十进制数: 1 0 a=12(16)=1×16 +2×16 =18, 1 0 b=25(7)=2×7 +5×7 =5+14=19, 1 0 c=33(4)=3×4 +3×4 =13, ∴c<a<b, 故选:A. 点评: 本题主要考察了其他进制转换为十进制的方法是依次累加各位数字上的数×该数 位的权重,属于基本知识的考查. 4. (4 分)在什么进位制中,十进位制数 71 记为 47() A. 17 B. 16 C. 8 考点: 进位制. 专题: 计算题. 分析: 设为 x 进制,有:4X+7=71,从而可解得 x=16. 解答: 解:设为 x 进制, 有:4X+7=71, 即:4X=64, 得:X=16, 因此是 16 进制, 故选:B. 点评: 本题主要考察了进制数的转化,属于基本知识的考查.

D. 12

5. (4 分)如图给出的是计算 + +?+ 执行框中的(2)处应填的语句是()

的值的一个程序框图,则图中判断框内(1)处和

6

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. i>108,n=n+1 B. i>108,n=n+2 C. i>54,n=n+2 D. i≤54,n=n+2

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据算法的功能确定跳出循环的 i 值, 可得判断框内的条件, 根据 n 值的出现规律 可得执行框②的执行式子. 解答: 解:∵算法的功能是计算 + +?+ 的值,

∴终止程序运行的 n 值为 110,i 值为 55,∴判断框的条件为 i>54 或 i≥55; 根据 n 值的规律得:执行框②应为 n=n+2, 故选:C. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图, 根据算法的功能确定跳出循环的 i 值及 n 值的出 现规律是解答本题的关键. 6. (4 分)执行框图,若输出结果为 3,则可输入的实数 x 值的个数为()

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

考点: 程序框图. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据题中程序框图的含义,得到分段函数 y= 于 x 的方程 f(x)=3,即可得到可输入的实数 x 值的个数. 解答: 解:根据题意,该框图的含义是 2 当 x≤2 时,得到函数 y=x ﹣1;当 x>2 时,得到函数 y=log2x. 因此,若输出结果为 3 时, 2 ①若 x≤2,得 x ﹣1=3,解之得 x=±2 ②当 x>2 时,得 y=log2x=3,得 x=8 因此,可输入的实数 x 值可能是 2,﹣2 或 8,共 3 个数 故选:C ,由此解关

7

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题给出程序框图, 求输出值为 3 时可能输入 x 的值, 着重考查了分段函数和程序 框图的理解等知识,属于基础题. 7. (4 分)阅读下面的算法程序: s=1 i=1 WHILE i<=10 s=i*s i=i+1 WEND PRINT s END 上述程序的功能是() A. 计算 3×10 的值 C. 计算 1×2×3×?×10 的值

B. 计算 1×2×3×?×9 的值 D. 计算 1×2×3×?×11 的值

考点: 伪代码. 专题: 计算题;算法和程序框图. 分析: 执行 程序框图, 依次写出每次循环得到的 i, s 的值, 当 i=11 时, 不满足条件 i≤10, 输出 s 的值,即可判断. 解答: 解:执行程序框图,有 s=1,i=1 满足条件 i≤10,有 s=1,i=2; 满足条件 i≤10,有 s=2,i=3; 满足条件 i≤10,有 s=2×3,i=4; 满足条件 i≤10,有 s=2×3×4,i=5; 满足条件 i≤10,有 s=2×3×4×5,i=6; 满足条件 i≤10,有 s=2×3×4×5×6,i=7; 满足条件 i≤10,有 s=2×3×4×5×6×7,i=8; 满足条件 i≤10,有 s=2×3×4×5×6×7×8,i=9; 满足条件 i≤10,有 s=2×3×4×5×6×7×8×9,i=10; 满足条件 i≤10,有 s=2×3×4×5×6×7×8×9×10,i=11; 不满足条件 i≤10,输出 s 的值, 故选:C. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法,属于基本知识的考查. 8. (4 分)已知样本容量为 30,在样本频率分布直方图中,各小长方形的高的比从左到右依 次为 2:4:3:1,则第 2 组的频率和频数分别为()

8

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. 0.4,12 B. 0.6,16 C. 0.4,16 D. 0.6,12

考点: 频率分布直方图. 专题: 计算题. 分析: 因为直方图中各个小长方形的面积即为各组的频率,且频率之和为 1,故由已知比 例关系即可求得第二组的频率,乘以样本容量即为频数 解答: 解:∵小长方形的高的比等于面积之比 ∴从左到右各组的频率之比为 2:4:3:1, ∵各组频率之和为 1 ∴第二组的频率为 1× ∵样本容量为 30 ∴第二组的频数为 30× =12 故选 A 点评: 本题考查了用样本估计总体的分布的方法,频率分布直方图的意义和运用,频率、 频数的概念和计算 9. (4 分)期 2015 届中考试后,某校 2015 届高三(9)班对全班 65 名学生的成绩进行分析, 得到数学成绩 y 对总成绩 x 的回归直线方程为 y=6+0.4x.由此可以估计:若两个同学的总 成绩相差 50 分,则他们的数学成绩大约相差()分. A. 20 B. 26 C. 110 D. 125 考点: 回归分析的初步应用. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 由题意,若两个同学的总成绩相差 50 分,则他们的数学成绩大约相差 0.4×50=20 分. 解答: 解:由题意, 若两个同学的总成绩相差 50 分,则他们的数学成绩大约相差 0.4×50=20 分; 故选 A. 点评: 本题考查了线性回归方程的应用,属于基础题. 10. (4 分)已知 n 次多项式 Pn(x)=a0x +a1x +?+an﹣1x+an,如果在一种算法中,计算 x0 (k=2,3,4,?,n)的值需要 k﹣1 次乘法,计算 P3(x0)的值共需要 9 次运算(6 次乘法, 3 次加法) ,那么计算 P10(x0)的值共需要()次运算. A. 64 B. 19 C. 20 D. 65 考点: 专题: 分析: 解答: 排列、组合的实际应用. 排列组合. 根据常规运算的算法规则,和秦九韶算法的算法规则,我们不难得到结论. n n﹣1 解:在利用常规算法计算多项式 Pn(x0)=a0x0 +a1x0 +?+an﹣1x0+an 的值时,
n n﹣1 k

=

9

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 算 a0x0 项需要 n 乘法,则在计算时共需要乘法:n+(n﹣1)+(n﹣2)+?+2+1= n(n+1) 次 还需要加法:n 次,则计算 Pn(x0)的值共需要 n(n+1)+n= n(n+3)次运算. P10(x0)的值共需要: ×10(10+3)=65 故选:D 点评: 这是一道新运算类的题目,其特点一般是“新”而不“难”,处理的方法一般为: 根据新运算的定义,将已知中的数据代入进行运算,易得最终结果.
n

11. (4 分)若当 x∈R 时,y=

均有意义,则函数

的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由对数函数的定义知 a>0 且 a≠1,函数 (0,+∞) 的定义域为(﹣∞,0)∪

由 x∈A∪B={﹣4,﹣3,1}时,y=

均有意义,则

,推出 0<a<1,

再把函数表达式中的绝对值去掉,再讨论函数的单调性. 解答: 解:由对数函数的定义知 a>0 且 a≠1,函数 ∪(0,+∞) 的定义域为(﹣∞,0)

若当 x∈A∪B={﹣4,﹣3,1}时,y=

均有意义,则

,0<a<1,

又 x>0 时, ∵ ∵

, 单调递增, 单调

单调递减,y=logau 单调递减,∴由复合函数的单调性知

为偶函数,其图象应关于 y 轴对称,∴x<0 时,

递减, 综上知,选项 B 符合,

10

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故选:B. 点评: 本题主要考查函数的性质, 利用函数的奇偶性判断函数的单调性, 其中还应用了复 合函数单调性的判断,较为综合. 12. (4 分)已知函数 f(x+1)是偶函数,当 x2>x1>1 时,[f(x2)﹣f(x1)](x2﹣x1) >0 恒成立,设 a=f(﹣ ) ,b=f(2) ,c=f(3) ,则 a,b,c 的大小关系为() A. b<a<c B. c<b<a C. b<c<a D. a<b<c

考点: 函数单调性的性质;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据条件求出函数 f(x)在(1,+∞)上的单调性,然后根据函数 f(x+1)是偶 函数,将 f (﹣ )化成 f( ) ,利用单调性即可判定出 a、b、c 的大小. 解答: 解:∵当 x2>x1>1 时,[f (x2)﹣f (x1)]( x2 ﹣x1)>0 恒成立 ∴f (x2)﹣f (x1)>0,即 f (x2)>f (x1) ∴函数 f(x)在(1,+∞)上为单调增函数 ∵函数 f(x+1)是偶函数, ∴f(﹣x+1)=f(x+1)即函数 f(x)关于 x=1 对称 ∴a=f (﹣ )=f( ) , 根据函数 f(x)在(1,+∞)上为单调增函数 ∴f(2)<f( )<f(3)即 b<a<c 故选 A 点评: 本题主要考查了函数的单调性应用,以及函数的奇偶性的应用,属于基础题. 二.填空题(每题 3 分) 13. (3 分)两数 5280,12155 的最大公约数为 55. 考点: 辗转相除法. 专题: 算法和程序框图. 分析: 利用辗转相除法即可得出. 解答: 解: 12155=5280×2+1595, 5280=1595×3+495, 1595=495×3+110, 495=110×4+55, 110=55×2. ∴两数 5280,12155 的最大公约数为 55. 故答案为:55. 点评: 本题考查了辗转相除法的应用,属于基础题. 1 4. (3 分)下列抽样:①一个总体中共有 100 个个体,随机编号 0,1,2,3,?,99,依 编号顺序平均分成 10 个小组,组号依次为 1,2,3,?,10.现抽取一个容量为 10 的样本, 规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m,那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位 数字相同;②厂里生产的产品,用传送带将产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔 5 分钟抽一件产品进行检验; ③某一市场调查, 规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 直到调查到事先规定的人数为止;④影院调查观众的某一指标,通知每排(每排人数相等) 座号为 12 的观众留下来座谈. 上述抽样中是系统抽样的是①②④. (请把符合条件的序号填 到横线上) 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据系统抽样的定义进行判断即可. 解答: 解:系统抽样要求样本没有明显差异,样本间隔相同, 则①②④是系统抽样, ③为简单随机抽样, 故答案为:①②④ 点评: 本题主要考查系统抽样的应用,根据定义进行判断即可,比较基础. 15. (3 分)已知样本 9,10,11,x,y 的平均数是 10,标准差是 ,则 xy=96.

考点: 众数、中位数、平均数. 分析: 标准差是 ,则方差是 2,根据方差和平均数,列出方程解出 x、y 的值.注意运 算正确. 解答: 解:∵标准差是 ,则方差是 2, 平均数是 10, ∴(9+10+11+x+y)÷5=10 ① [1+0+1+(x﹣10) +(y﹣10) ]=2 ② 由两式可得:x=8,y=12 ∴xy=96, 故答案为:96. 点评: 这个知识点是初中学过的, 它和高中所学的有密切关系, 区别随机变量的期望与相 应数值的算术平均数. 期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值, 它是概率意义下的平 均值,不同于相应数值的算术平均数.
2 2

16. (3 分)已知函数 f(x)=

,若存在 x1<x2,使得 f( x1)=f(x2) ,

则 x1?f(x2)的取值范围为[

, ) .

考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意易知 f(x)在[0, ) ,[ ,1]上单调递增,从而可得 x1∈[0, ) ,x2∈[ , 1];从而求出 x1 的取值范围并化简 x1?f(x2)=x1?(x1+ ) ,从而求其取值范围.

12

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:∵f(x)=x+ ,x∈[0, )为单调递增, f(x)=3x 在[ ,1]上单调递增, 则由存在 x1<x2,使得 f(x1)=f(x2)得, x1∈[0, ) ,x2∈[ ,1], 即 x1+ =3 ,则 ≤x1< ,
2

则 x1?f(x2)=x1?(x1+ ) , 则 ?( + )≤x1?(x1+ )< ?1, 即 ≤x1?(x1+ )< , , ) .

故答案为:[

点评: 本题考查了分段函数的应用,同时考查了单调函数的应用,属于中档题. 三.解答题(每题 8 分) 17. (8 分)为检测学生的体温状况,随机抽取甲,乙两个班级各 10 名同学,测量他们的体 温(单位 0.1 摄氏度)获得体温数据的茎叶图,如图所示. (Ⅰ)根据茎叶图判断哪个班级的平均体温较高; (Ⅱ)计算乙班的样本方差.

考点: 极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据茎叶图,求出甲、乙的平均数,比较即可得出结论; (Ⅱ)根据方差计算公式求出乙班的样本方差即可. 解答: 解: (Ⅰ)根据茎叶图,得; 甲的平均数为 乙的平均数为 = = (35.8+35.9+36.1+36.2+36.3+36.4+36.5+36.6+36.7+37.1)=36.36, (35.7+35.8+36.0+36.3+36.3+36.4+36.4+36.5+36.6+37.0)=36.3,

∴甲班学生的平均体温较高些; (Ⅱ)乙班的样本方差为 = 36.3)
2

[(35.7﹣36.3) +(35.8﹣36.3) +(36.0﹣36.3) +(36.3﹣36.3) +(36.3﹣

2

2

2

2

13

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com + (36.4﹣36.3)+ (36.4﹣36.3)+ (36.5﹣36.3)+ (36.6﹣36.3)+ (37.0﹣36.3)]=13.4. 点评: 本题考查了利用茎叶图中的数据求平均数与方差的问题,是基础题目. 18. (8 分)从 100 名学生中抽取 20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方 图如下: (1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)估计总体中成绩落在[50,70)中的学生人数; (3)估计总体的中位数.
2 2 2 2 2

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据频率分布直方图中各频率和等于 1,求出 a 的值; (2)求出成绩在[50,70)中的频率,即可求出对应的频数; (3)利用中位数两边的频率相等,求出总体的中位数值. 解答: 解: (1)根据频率分布直方图,得; (2a+3a+7a+6a+2a)×10=1, 解得 a= ;

(2)成绩在[50,70)中的频率是 2× ×10+3× ×10= ,

∴成绩在[50,70)中的学生数是 100× =25; (3)∵2× +7× ×10+3× ×10= < ,

×10= > , ?x= ,

∴令 +7× 解得 x= ;

∴估计总体的中位数为 70+

=



点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了求数据的数字特征的应用问题, 是基础题.

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19. (8 分) 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元) 有如下的统计资料: 使用年限 x] 2 3 4 5 6 维修费用 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系. (1)请根据最小二乘法求出线性回归方程 y=bx+a 的回归系数 a,b; (2)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少? 考点: 线性回归方程. 专题: 计算题. 分析: (1)根据所给的数据,做出变量 x,y 的平均数,根据最小二乘法做出线性回归方 程的系数 b,在根据样本中心点一定在线性回归直线上,求出 a 的值. (2)根据第一问做出的 a,b 的值,写出线性回归方程,当自变量为 10 时,代入线性回归 方程,求出维修费用,这是一个预报值. 解答: 解: (1)由题意知 =5 b= a=5﹣4×1.23=0.08 (2)根据第一问知线性回归方程是 =1.23x+0.08 当自变量 x=10 时,预报维修费用是 y=1.23×10+0.08=12.38 点评: 本题考查线性回归方程,考查最小二乘法,考查预报值的求法,是一个新课标中出 现的新知识点,已经在广东的 2015 届高考卷中出现过类似的题目. 20. (8 分)我县有甲,乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲 家每张球台每小时 5 元;乙家按月计费,一个月中 30 小时以内(含 30 小时)每张球台 90 元,超过 30 小时的部分每张球台每小时 2 元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球 台开展活动,其活动时间不少于 15 小时,也不超过 40 小时. (1)设在甲家租一张球台开展活动 x 小时的收费为 f(x)元(15≤x≤40) ,在乙家租一张 球台开展活动 x 小时的收费为 g(x)元(15≤x≤40) .试求 f(x)和 g(x) ; (2)问:小张选择哪家比较合算?为什么? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (1)因为甲家每张球台每小时 5 元,故收费为 f(x)与 x 成正比例即得:f(x) =5x,再利用分段函数的表达式的求法即可求得 g(x)的表达式. (2)欲想知道小张选择哪家比较合算,关键是看那一家收费低,故只要比较 f(x) 与 g (x)的函数的大小即可.最后选择费用低的一家即可. 解答: 解: (1)f(x)=5x, (15≤x≤40) (3 分) (6 分) =1.23, =4,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)由 f(x)=g(x)得 或

即 x=18 或 x=10(舍) 当 15≤x<18 时,f(x)﹣g(x)=5x﹣90<0, ∴f(x)<g(x)即选甲家 当 x=18 时,f(x)=g(x)即选甲家也可以选乙家 当 18<x≤30 时,f(x)﹣g(x)=5x﹣90>0, ∴f(x)>g(x)即选乙家. (8 分) 当 30<x≤40 时,f(x)﹣g(x)=5x﹣(2x+30)=3x﹣30>0, ∴f(x)>g(x)即选乙家. (10 分) 综上所述:当 15≤x<18 时,选甲家; 当 x=18 时,选甲家也可以选乙家; 当 18<x≤40 时,选乙家. (12 分) 点评: 解决实际问题通 常有四个步骤: (1)阅读理解,认真审题; (2)引进数学符号, 建立数学模型; (3)利用数学的方法,得到数学结果; (4)转译成具体问题作出解答,其中 关键是建立数学模型.分段函数解题策略:分段函数模型的构造中,自变量取值的分界是关 键点,只有合理的分类,正确的求解才能成功地解题.但分类时要做到不重不漏.

21. (8 分)已知函数 f(x)=﹣x +2ex+m﹣1,g(x)=x+

2

(x>0) .

(1)若 g(x)=m 有实根,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)﹣f(x)=0 有两个相异实根. 考点: 利用导数研究函数的单调性;二次函数的性质;根的存在性及根的个数判断. 专题: 综合题. 分析: (1)方法一:g(x)=x+ +∞) ,由此能求出 m 的取值范围. 方法二:作出 g(x)=x+ (x>0)的图象如图:观察图象,能求出 m 的取值范围. ≥2e,等号成立的条件是 x=e.故 g(x)的值域是[2e,

方法三: 解方程由 g (x) =m, 得 x ﹣mx+e =0. 此方程有大于零的根, 故

2

2



由此能求出 m 的取值范围. (2)若 g(x)﹣f(x)=0 有两个相异的实根,即 g(x)=f(x)中,函数 g(x)与 f(x) 的图象有两个不同的交点,作出 g(x)=x+
2 2

(x>0)的图象,由 f(x)=﹣x +2ex+m﹣1,

2

知最大值为 m﹣1+e ,故当 m>﹣e +2e+1 时,g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点.

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解答: 解: (1)方法一:∵g(x)=x+ 故 g(x)的值域是[2e,+∞) , 因而只需 m≥2e,则 g(x)=m 就有实根. 故 m 的取值范围是{m|m≥2e}. 方法二:作出 g(x)=x+

≥2e,等号成立的条件是 x=e.

(x>0)的图象如图:

观察图象,知:若使 g(x)=m 有实根,则只需 m≥2e,故 m 的取值范围是{m|m≥2e}. 2 2 方法三:解方程由 g(x)=m,得 x ﹣mx+e =0,此方程有大于零的根,



,等价于

,故 m≥2e.

故 m 的取值范围是{m|m≥2e}. (2)若 g(x)﹣f(x)=0 有两个相异的实根,即 g(x)=f(x)中,函数 g(x)与 f(x) 的图象有两个不同的交点,作出 g(x)=x+
2 2

(x>0)的图象,
2

∵f(x)=﹣x +2ex+m﹣1=﹣(x﹣e) +m﹣1+e , 2 其对称轴为 x=e,开口向下,最大值为 m﹣1+e , 2 2 故当 m﹣1+e >2e,即 m>﹣e +2e+1 时,g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点,即 g(x) 2 ﹣f(x)=0 有两个相异的实根,∴m 的取值范围是: (﹣e +2e+1,+∞) .

点评: 本题考查实数取值范围的求法,解题时要认真审题,注意合理地进行等价转化.灵 活运用导数的性质、函数图象 进行求解.

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