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高中数学奥赛讲义:竞赛中常用的重要不等式


不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大,灵活性强,要求很高的技 巧,常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且,不论是几何、数论、函数或组合数 学中的许多问题,都可能与不等式有关,这就使得不等式的问题(特别是有关不等式的证 明)在数学竞赛中显得尤为重要。 证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样,没有 固定的模式,证法因题而异,灵活多变,技巧性强。但它也有一些基

本的常用方法,要熟 练掌握不等式的证明技巧,必须从学习这些基本的常用方法开始。

竞赛中常用的重要不等式
【内容综述】 本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用 【要点讲解】 目录 §1 柯西不等式 §2 排序不等式 §3 切比雪夫不等式 ★ ★ ★ §1。 柯西不等式 定理 1 对任意实数组 恒有不等式“积和方不大于方和积”,即

等式当且仅当 本不等式称为柯西不等式。

时成立。

思路一 证不等式最基本的方法是作差比较法,柯西不等式的证明也可首选此法。 证明 1

∴右-左=

当且仅当 思路 2 注意到

定值

时,等式成立。 时不等式显然成立,当 时,不等式

左、右皆正,因此可考虑作商比较法。

证明 2 当 当 时等式成立; 时,注意到

=1



当且仅当

且 (两次放缩等式成立条件要一致)



同号且

常数,

亦即 思路 3 根据柯西不等式结构,也可利用构造二次函数来证明。 证明 3 构造函数

。 由于 恒非负,故其判别式

即有

等式当且仅当 若

常数时成立。 柯西不等式显然成立。

例 1 证明均值不等式链: 调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。 证 设 本题即是欲证:

本题证法很多,现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法

(1)先证 注意到 欲证①,即需证 ② 此即



由柯西不等式,易知②成立,从而①真

(11)再证 欲证③,只需证

, ③

④ 而④即要证



(注意 由柯西不等式,知⑤成立. (Ⅰ)(Ⅱ)中等式成立的条件都是

)

即各正数彼此相等.

说明:若再利用熟知的关系

(★)

(其中

,结合代换



即 当且仅当 式链 时,等式成立,

说明★的证明参见下节排序不证式或数学归纳法,这样就得到一个更完美的均值不等

其中等式成产条件都是 §2.排序不等式 定理2设有两组实数,



满足



(例序积和) (乱序积和) (须序积和) 其中 是实数组 时成立。 说明 本不等式称排序不等式,俗称 例序积和 乱序积和 须序积和。 证法一. 逐步调整法 首先注意到数组 也是有限个数的集合,从而 一个排列,等式当且仅当 或

也只有有限个不同值,故其中必有最大值和最小值(极端性原理)。 设 注意下面的两个和

注意 , S (★) 可见和数S中最大的和,只能是对应数组 数组 从大到小的依序排列,不符合如此须序的 由小到大的顺序排列,最小的和就对应 只要适当调整,如★所示就可越调

越大(小),其中i=1,2??,n。 证法= 设

由 则显见

的一个 k 阶子集

等式当且仅当

式 即 , 时,成立

这就证明了乱序积和≤顺序积和 注意列 ,仿上面证明,得

这里

含义同上,于是有

又证明了例序积和≤乱序积和 综上排序不等式成立. 例 2 利用排序不等式证明柯西不等式:

其中 证 不失一般性,设 得

等式当且仅当 ;

为常数时成立。 ,则由排序不等式可

(例序积和≤乱序积和) 相加即得

① 又∵算术平均值不大于平方平均值,(★)故

代入①,即得

平方后,即得柯西不等式 说明“算术平均≤平方平均”可用数学归纳法直接证明如下:

证 (i)设 n=2,则 (ii)设 n=k 时,

显然成立

成立,即有 欲证 n=k+1 时,有

成立,只需证

考虑到归纳假设,只需证

(★) 而(★)是显然成立的,故 n=k+1 时命题成立,于是对 证法就不存在循环论证之嫌,否则此证法是不宜的。 例 3 利用排序不等式证明正数的算术平均数不小于几何平均数。 且 n≥2 时,命题成立, 正是因为存大着不依赖柯西不等式证明“算术平均≤平方平均”的证明方法,例 2 的

证 设

,易见

构造数列

,使

则由★知

于是由排序不等式,有

(乱序积和)

(例序积和) ,



从而 其中等式当且仅当 说明 这里构造了两个数列 值不等式的简捷、漂亮解法。 §3 契比雪夫不等式 设 (i)若 数算术平均数之积: (i=1,2?,n) 则顺序积和的算术平均数不小于这两组 和 时成立 为应用排序不等式创造了条件, 得列一个证明均

; (ⅱ)若 两组数算术平均数之积: ,则倒序积和的算术平均数不大于这

证明(i)由排序原理有 , , ?? , 迭加可得

两边除以



等式当且仅当 类似可证(ⅱ)成立 例4 设 ,求证



证明 不妨令

,则

由切比雪夫不等式,有

即 从而得证

说明 大家较熟悉的美国竞赛题

1979 年青海赛题

1978 年上海赛题 都是本例的特殊情况或变形。

本周强化练习:

★★★1.设



的最小值

★★★2.若 a、b、c 是三角形三边长,s 是半周长。求证:Vn∈N,下式成立

解答或提示

1.不妨令 由切比雪夫不等式

当且仅当 2.设 a≥b≥c,则 a+b≥a+c≥b+c,

(

)


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