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1.3.3《算法案例---进位制》课件(新人教A版必修3)


算法案例
(第三课时)

复习引入:
1、秦九韶算法的方法和步骤?

2、举例说明日常生活中的进位制。

新课讲解:

一、进位制
1、什么是进位制?
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。

进位制是一种记数方式,用有限的数字

在不同的位 置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基 数,基数为n,即可称n进位制,简称n进制。

比如:
满二进一,就是二进制; 满十进一,就是十进制;

满十二进一,就是十二进制;
满六十进一,就是六十进制

基数:
“满几进一”就是几进制,几进制的基数就是几.

2、最常见的进位制是什么?除此之外还有哪 些常见的进位制?请举例说明. ? 最常见的进位制应该是我们数学中的十进 制,比如一般的数值计算,但是并不是生活 中的每一种数字都是十进制的. ? 古人有半斤八两之说,就是十六进制与十 进制的转换. ? 比如时间和角度的单位用六十进位制, 计算 “一打”数值时是12进制的。 ? 电子计算机用的是二进制 。

十进制:
我们最常用最熟悉的就是十进制数,它的数值 部分是十个不同的数字符号0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9来表示的。
例如133.59,它可用一个多项式来表示:

133.59=1*102+3*101+3*100 +5*10-1+9*10-2
式中1处在百位,第一个3所在十位,第二个3所在 个位,5和9分别处在十分位和百分位。十进制数是逢 十进一的。

其它进制:
实际上,十进制数只是计数法中的一种,但它不是唯一 记数法。除了十进制数,生产生活中还会遇到非十进制的 记数制。如时间:60秒为1分,60分为1小时,它是六十进 制的。两根筷子一双,两只手套为一副,它们是二进制的。

二进制、七进制、八进制、十二进制、 六十进制…… 二进制只有0和1两个数字,七进制用0~6七个数字 十六进制有0~9十个数字及ABCDEF六个字母.

为了区分不同的进位制,常在数的右下角标明基数, 十进制一般不标注基数.

例如十进制的133.59,写成133.59(10)
七进制的13,写成13(7);二进制的10,写成10(2)

一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k
为基数的k进制可以表示为一串数字连写在一起

的形式:

an an?1 ? a1a0( k ) (0 ? an ? k ,0 ? an?1,?, a1 , a0 ? k ).

练习:下列写法正确的是: ( A ) A、751 (16) B、751 (7) C、095 (12) D、901 (2)

an an?1 ? a1a0( k ) (0 ? an ? k ,0 ? an?1 ,?, a1 , a0 ? k ).

3、十进制的构成 十进制由两个部分构成

十进制:“满十进一”

第一、它有0~9十个数字;
(用10个数字来记数,称基数为10) 第二、它有“数位”,即从右往左为个位、十位、 百位、千位等等。 例如:3721 表示有:1个1,2个十, 7个百即7个10的平方,3 个千即3个10的立方

3721 ? 3 ?10 ? 7 ?10 ? 2 ?10 ? 1?10
3 2 1

0

其它进位制的数又是如何的呢?

探究:P43
若an an ?1 ? a1a0( k ) 表示一个k 进制数,请你把它写成各位 上数字与k的幂的乘积之和的形式。

an an ?1 ? a1a0( k ) ? an ? k ? an ?1 ? k
n n ?1

? ? ? a1 ? k ? a0 ? k
1

0 (10)

其它进制数化成十进制数公式

二、 二进制
二进制的表示方法

二进制是用0、1两个数字来描述的.如11001
区分的写法:11001(2)或者 (11001)2 4 3 2 1 0 11001(2) ? 1? 2 ? 1? 2 ? 0 ? 2 ? 0 ? 2 ? 1? 2

如7342(8) 八进制呢?
k进制呢? anan-1an-2?a1(k)?

三、二进制与十进制的转换

1、二进制数转化为十进制数
例1:将二进制数110011(2)化成十进制数。

解:根据进位制的定义可知

110011( 2) ? 1? 2 ? 1? 2 ? 0 ? 2 ? 0 ? 2 ? 1? 2 ? 1? 2
5 4 3 2 1

0

? 51

? 1? 32 ? 1?16 ? 1? 2 ? 1

所以,110011(2)=51.

练习 1、将下面的二进制数化为十进制数? (1)11 (2)110 2、把其他进位制的数化为十进制数的公式是什么?

an an ?1 ? a1a0( k ) ? an ? k ? an ?1 ? k
n n ?1

? ? ? a1 ? k ? a0 ? k
1

0 (10)

其它进制数化成十进制数公式

例2、设计一个算法,将k进制数a(共有n位)转换为十进制数b。

(1)算法步骤: 第一步,输入a,k和n的值; 第二步,将b的值初始化为0,i的值初始化为1; 第三步,b=b+ai*ki-1, i=i+1 第四步,判断i>n是否成立.若是,则执行第五步,否则, 返回第三步; 第五步,输出b的值.

(2)程序框图:
开始 输入a,k,n b=0 把a的右数第i位数字赋给t

b=b+t*ki-1
i=i+1

i>n?
i=1 是 输出b 结束



(3)程序:

INPUT “a,k,n=”;a,k,n
b=0 i=1

t=a MOD 10
DO b=b+t*k^(i-1) a=a\10 t=a MOD 10

i=i+1
LOOP UNTIL i>n PRINT b END

**上面的程序如采用get函数,可简化为:
INPUT a,k,n i=1 b=0 WHILE i<=n t=GET a[i] b=t*k^(i-1)+b i=i+1 WEND PRINT b END

备注:GET函数用于取出a的右数第i位数

2、十进制转换为二进制
方法:除2取余法,即用2连续去除89或所得的商,然后取余数。 例、 把89化为二进制数 解: 根据“逢二进一”的原则,有 89=2×44+1 89=2×44+1 = 2× (2×22+0)+1 44= 2×22+0 = 2×( 2×( 2×11+0)+0)+1 22= 2×11+0 = 2× (2× (2× (2× 5+1)+0)+0)+1 11= 2× 5+1 = 2× (2× (2× (2× (2× 2+1)+1)+0)+0)+1 5= 2× 2+1 所以89=2×(2×(2×(2×(2 × 2 +1)+1)+0)+0)+1 =2×(2×(2×(2×(22+1)+1)+0)+0)+1 =2×(2×(2×(23+2+1)+0)+0)+1 =2×(2×(24+22+2+0)+0)+1 =2×(25+23+22+0+0)+1 =26+24+23+0+0+20 89=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20 所以:89=1011001(2)

另解(除2取余法的另一直观写法): 2 2 2 2 2 2 2

注意: 1.最后一步商为0, 2.将上式各步所得的余数从下到上排列,得到: 89=1011001(2) 练习 将下面的十进制数化为二进制数? (1)10 (2)20

89 44 22 11 5 2 1 0

余数 1 0 0 1 1 0 1

3、十进制转换为其它进制
例1:把89化为五进制数。 解:根据除k取余法 以5作为除数,相应的除法算式为:

5 5

89 17 5 3 0

余数
4 2 3

所以,89=324(5)

例2、设计一个程序,实现“除k取余法”。
(1)、 算法步骤: 第一步,给定十进制正整数a和转化后的数的基数k; 第二步,求出a 除以k 所得的商q ,余数r; 第三步,若q 行第四步;

?

0, 则a=q, 返回第二步;否则,执

第四步,将依次得到的余数从右到左排列,得到k 进制数。

(2)程序框图:

开始 输入a,k 求a除以k的商q 求a除以k的余数r 输出r a=q q=0? 是 否

将依次输出的r从右到左排列 结束

(3)程序: INPUT “a,k=”;a,k
b=0

i=0
DO q=a\k r=a MOD k b=b+r*10^i

i=i+1
a=q LOOP UNTIL q=0 PRINT b END

练习: 完成下列进位制之间的转化: (1)10231(4)= (2)235(7)= (3)137(10)= (4)1231(5)=
(10); (10); (6); (7);

(5)213(4)=
(6)1010111(2)=

(3);
(4)。

小结
? 1.进位制是一种记数方式,用有限的数 字在不同的位置表示不同的数值。可使 用数字符号的个数称为基数,基数为k, 即可称k进位制,简称k进制。k进制需要 使用k个数字; ? 2.十进制与二进制之间转换的方法; 先把这个k进制数写成用各位上的数字与 k的幂的乘积之和的形式,再按照十进制 数的运算规则计算出结果。

? 3.十进制数转化为k进制数的方法:(除k 取余法) 用k连续去除该十进制数或所得的商,直到 商为零为止,然后把每次所得的余数倒着 排成一个数,就是相应的k进制数。


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