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河北省唐山市开滦二中2014-2015学年高二上学期10月月考数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年河北省唐山市开滦二中高二(上)10 月月考数学 试卷
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.下列说法正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面 C.梯形一定是平面图形 D.过平面外一点只有一条直线与该平面平行 2.在空间四边形 ABCD 中,AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点,如果 E

H、FG 交于一 点 P,则( ) A.P 一定在直线 BD 上 B.P 一定在直线 AC 上 C.P 在直线 AC 或 BD 上 D.P 既不在直线 BD 上,也不在 AC 上 3.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形,则原平面四边形的面积 等于( ) A. a B.2
2

a

2

C.

a D.

2

a

2

4.圆柱的底面积为 S,侧面展开图为正方形,那么这个圆柱的侧面积为( A.πS B.2πS C.3πS D.4πS



5.下列四个结论: (1)两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行; (2)两条直线没有公共点,则这两条直线平行; (3)两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行; (4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行. 其中正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 6.如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,A、B、C 是展开图上的三点,则在正方体 盒子中,∠ABC 的值为( )

-1-

A.180°

B.120°

C.60° D.45° )

7.圆锥轴截面的顶角是 120°,过顶点的截面面积的最大值为 8,则它的体积是( A. B.8π C. D.24π 8.已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是( )

A.4+

B.2+

C.3+

D.6 的正四棱柱的各顶点均在同一球面上,则该球的体积为

9.已知底面边长为 1,侧棱长为 ( ) A. B.4π C.2π D.

10.如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,AD=1,E,F,G 分别是 DD1,AB,CC1 的中点, 则异面直线 A1E 与 GF 所成角为( )

A.30° B.45° C.60° D.90° 11.如图,如果 MC⊥菱形 ABCD 所在的平面,那么 MA 与 BD 的位置关系是( )

A.平行 B.垂直相交 C.异面 D.相交但不垂直

-2-

12.如图所示,三棱台 ABC﹣A′B′C′中,AB:A′B′=1:2,则三棱锥 C﹣A′B′C′,B﹣ A′B′C,A′﹣ABC 的体积之比为( )

A.1:1:1 B.2:1:1 C.4:2:1 D.4:4:1

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.圆台上、下底面积分别为π,4π,侧面积为 6π,则该圆台的体积是



14.三棱锥 S﹣ABC 中,SA=AB=AC=2,∠ASB=∠BSC=∠CSA=30°,M,N 分别为 SB,SC 上的点, 则△AMN 周长最小值为 . 15.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .

16.如图 1,一个正三棱柱容器,底面边长为 a,高为 2a,内装水若干,将容器放倒,把一个 侧面作为底面,如图 2,这时水面恰好为中截面,则图 1 容器中水面的高度是 .

三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分. ) 17.在五面体 ABCDEF 中,已知 DE⊥平面 ABCD,AD∥BC,求证:BC∥EF.

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18.一几何体的直观图如图所示: (1)画出该几何体的三视图. (2)求该几何体的表面积与体积.

19.如图,已知 AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上任一点,D 是线段 PA 的中点, E 是线段 AC 上的一点. 求证: (Ⅰ)若 E 为线段 AC 中点,则 DE∥平面 PBC; (Ⅱ)无论 E 在 AC 何处,都有 BC⊥DE.

20.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, (1)求 A1B 与 B1D1 所成的角; (2)证明:平面 CB1D1∥平面 A1BD.

-4-

21.已知:如图,四棱锥 S﹣ABCD 底面为平行四边形,E、F 分别为边 AD、SB 中点, (1)求证:EF∥平面 SDC. (2)AB=SC=1,EF= ,求 EF 与 SC 所成角的大小.

22. 如图, 在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 底面四边形 ABCD 是直角梯形, 其中 AB⊥AD, AB=BC=1 且 AD= AA1=2. (1)求证:直线 C1D⊥平面 ACD1; (2)试求三棱锥 A1﹣ACD1 的体积.

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2014-2015 学年河北省唐山市开滦二中高二(上)10 月月 考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.下列说法正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面 C.梯形一定是平面图形 D.过平面外一点只有一条直线与该平面平行 考点: 直线与平面平行的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据确定平面的条件判断 A、B 的正确性; 利用两条平行线确定一个平面,再证明腰在平面内,来判断 C 的正确性; 根据面面平行的性质,来判断 D 是否正确. 解答: 解:∵不在一条直线上的三点确定一个平面,三点在一条直线上时不能确定平面∴A 不正确; ∵点在直线上时,不能确定平面,∴B 不正确; ∵梯形有两条边平行,两条平行线确定一个平面,梯形的两腰也在平面内,∴C 正确; ∵过平面外一点与平面平行的平面内,过该点的直线都符合条件,∴D 不正确. 故选 C 点评: 本题考查空间中确定平面的条件. 2.在空间四边形 ABCD 中,AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点,如果 EH、FG 交于一 点 P,则( ) A.P 一定在直线 BD 上 B.P 一定在直线 AC 上 C.P 在直线 AC 或 BD 上 D.P 既不在直线 BD 上,也不在 AC 上 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据题意,可得直线 EH、FG 分别是平面 ABD、平面 BCD 内的直线,因此 EH、FG 的交 点必定在平面 ABD 和平面 BCD 的交线上. 而平面 ABD 交平面 BCD 于 BD, 由此即可得到 点 P 在直线 BD 上 解答: 解:∵点 E、H 分别在 AB、AD 上,而 AB、AD 是平面 ABD 内的直线,

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∴E∈平面 ABD,H∈平面 ABD,可得直线 EH? 平面 ABD, ∵点 F、G 分别在 BC、CD 上,而 BC、CD 是平面 BCD 内的直线, ∴F∈平面 BCD,H∈平面 BCD,可得直线 FG? 平面 BCD, 因此,直线 EH 与 FG 的公共点在平面 ABD 与平面 BCD 的交线上, ∵平面 ABD∩平面 BCD=BD, ∴点 P∈直线 BD, 故选:A 点评: 本题给出空间四边形,判断直线 EH、FG 的交点与已知直线 BD 的位置关系,着重考查 了平面的基本性质和空间直线的位置关系判断等知识,属于基础题. 3.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形,则原平面四边形的面积 等于( ) A. a B.2
2

a

2

C.

a D.

2

a

2

考点: 专题: 分析:

平面图形的直观图. 计算题. 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则,可以得出一个平面图形的面积 S 与 它的直观图的面积 S′之间的关系是 S′= S, 先求出直观图即正方形的面积, 根

解答:

据比值求出原平行四边形的面积即可. 解:根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则,可以得出一个平面图形的面积 S 与它的直观图的面积 S′之间的关系是 S′= 以原平面四边形的面积等于 =2 a.
2

S,本题中直观图的面积为 a ,所

2

点评:

故选 B. 考查学生灵活运用据斜二测画法画平面图形的直观图的规则,可以得出一个平面 图形的面积 S 与它的直观图的面积 S′之间的关系是 S′= S.

4.圆柱的底面积为 S,侧面展开图为正方形,那么这个圆柱的侧面积为( ) A.πS B.2πS C.3πS D.4πS 考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题. 分析: 根据圆柱侧面展开图中其中的一边长是底面圆的圆周,另一边是母线长,由题意求出

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关系式,再表示出圆柱的侧面面积. 解答: 解:设圆柱的底面半径是 R,母线长是 l, ∵圆柱的底面积为 S,侧面展开图为正方形,∴πR =S,且 l=2πR, ∴圆柱的侧面积为 2πRl=4πS. 故选 D. 点评: 本题考查了圆柱侧面展开图中边长的对应等量关系, 即由圆柱底面圆的圆周和展开图 中其中的一边长相等,列出方程求出关系式,再求出它的侧面面积. 5.下列四个结论: (1)两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行; (2)两条直线没有公共点,则这两条直线平行; (3)两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行; (4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行. 其中正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 常规题型. 分析: 根据线线平行、线面平行的判定和性质.即可得出正确结论. 解答: 解: : (1)两条直线都和同一个平面平行,那么这两条直线可能平行、相交、异面.故 (1)不正确. (2)两条直线没有公共点,那么这两条直线可能平行、异面.故(2)不正确. (3)两条直线都和第三条直线垂,则这两条直线可能平行、相交、异面.故(3)不 正确. (4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面可能平 行、可能相交、可能在平面内. 故选 A 点评: 此题考查学生对空间中点线面之间的位置关系的掌握与理解. 考查学生的空间想象能 力. 6.如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,A、B、C 是展开图上的三点,则在正方体 盒子中,∠ABC 的值为( )
2

A.180° B.120° C.60° D.45° 考点: 棱柱的结构特征. 专题: 作图题. 分析: 本题可以学生把正方形还原, 连接 ABC 三个点, 根据边的长度关系即可得知角的大小. 解答: 解:还原正方形,连接 ABC 三个点,可得图形 可知 AB=AC=BC,所以角的大小为 60° 故选 C.

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点评: 本题考查学生的空间想象能力,以及学生对三角形的认识,是基础题. 7.圆锥轴截面的顶角是 120°,过顶点的截面面积的最大值为 8,则它的体积是( A. B.8π C. D.24π 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 作图可知,r= h,求最大面积时高的值,代入求体积公式求解即可. 解答: 解:则由右图知,r= h, 过顶点的截面为等腰三角形, 设底边长为 2x,与圆心的距离为 d, 则 d +x =r , 截面等腰三角形底边上的高为 则截面等腰三角形的面积为 S= ? 2x? =x =x = ;
2 2 2




2

=2h .
2 2

2

(当且仅当 x =4h ﹣x ,即 x= 时,等号成立. 2 则 2h =8,解得,h=2,则 r= h=2 . 则 V= 故选:B. = ? π? 12? 2=8π.

点评: 本题考查了学生的空间想象力,及基本不等式的应用,考查计算能力. 8.已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是( )

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A.4+ B.2+ C.3+ D.6 考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 三视图复原的几何体是直三棱柱,高为 1,底面是等腰直角三角形,根据三视图数据 求出表面积. 解答: 解: 由三视图可知此几何体为一底面为等腰直角三角形的直三棱柱. 底面直角边为 1, 高为 1 的直三棱柱, 所以:S 表=S 侧+2S 底=(1+1+ )×1+2× ×1×1=3+ .

故选 C. 点评: 本题考查由三视图求表面积,考查计算能力,是基础题. 9.已知底面边长为 1,侧棱长为 ( ) A. B.4π C.2π D. 的正四棱柱的各顶点均在同一球面上,则该球的体积为

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由长方体的对角线公式,算出正四棱柱体对角线的长,从而得到球直径长,得球半径 R=1,最后根据球的体积公式,可算出此球的体积. 解答: 解:∵正四棱柱的底面边长为 1,侧棱长为 , ∴正四棱柱体对角线的长为 =2 又∵正四棱柱的顶点在同一球面上, ∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径,得球半径 R=1 根据球的体积公式,得此球的体积为 V= πR = π. 故选:D. 点评: 本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长,求该球的体积,考查了正四棱柱的性 质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识,属于基础题. 10.如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,AD=1,E,F,G 分别是 DD1,AB,CC1 的中点, 则异面直线 A1E 与 GF 所成角为( )
3

- 10 -

A.30° B.45° C.60° D.90° 考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题. 分析: 连接 B1G, EG, 先利用长方形的特点, 证明四边形 A1B1GE 为平行四边形, 从而 A1E∥B1G, 所以∠B1GF 即为异面直线 A1E 与 GF 所成的角,再在三角形 B1GF 中,分别计算三边的 长度,利用勾股定理即可得此角的大小 解答: 解:如图:连接 B1G,EG ∵E,G 分别是 DD1,CC1 的中点, ∴A1B1∥EG,A1B1=EG,∴四边形 A1B1GE 为平行四边形 ∴A1E∥B1G,∴∠B1GF 即为异面直线 A1E 与 GF 所成的角 在三角形 B1GF 中,B1G= FG= B1F=
2 2 2

= =

=

= =

=

∵B1G +FG =B1F ∴∠B1GF=90° ∴异面直线 A1E 与 GF 所成角为 90° 故选 D

点评: 本题考查了空间异面直线所成的角的作法、证法、算法,长方体的性质及其中的数量 关系的应用,将空间问题转化为平面问题的思想方法 11.如图,如果 MC⊥菱形 ABCD 所在的平面,那么 MA 与 BD 的位置关系是( )

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A.平行 B.垂直相交 C.异面 D.相交但不垂直 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 探究型. 分析: 由题意,可由异面直线的定义得出两直线一定是异面直线,再考查四个选项即可找出 正确选项. 解答: 解:由题设条件及图形,MA 是面 ABCD 的斜线,故 MA 与 BD 的一定是异面直线,考察 四个选项,A,B,D 都不符合题意 故选 C. 点评: 本题考点是空间中直线与直线之间的位置关系,考查了异面直线的定义,解题的关键 是理解题意及异面直线的定义,考查了空间想像能力及依据定义推理判断的能力,属 于基础概念考查题. 12.如图所示,三棱台 ABC﹣A′B′C′中,AB:A′B′=1:2,则三棱锥 C﹣A′B′C′,B﹣ A′B′C,A′﹣ABC 的体积之比为( )

A.1:1:1 B.2:1:1 C.4:2:1 D.4:4:1 考点: 组合几何体的面积、体积问题. 专题: 计算题. 分析: 利用棱台的底面相似,通过相似比求出几何体的体积比,推出结果即可. 解答: 解:因为几何体是三棱台,所以两个底面相似,∵AB:A′B′=1:2, ∴SA′B′C′:SABC=1:4,设棱台的高为 h,



=

=1:4.

∴三棱锥 C﹣A′B′C′,B﹣A′B′C,A′﹣ABC 的体积之比为 4:2:1. 故选:C. 点评: 本题考查几何体的体积的比的求法, 注意体积比与相似比关系的应用, 考查计算能力. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )

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13.圆台上、下底面积分别为π,4π,侧面积为 6π,则该圆台的体积是



考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 通过圆台的底面面积,求出上下底面半径,利用侧面积公式求出母线长,然后求出圆 台的高,即可求得圆台的体积. 解答: 解:S1=π,S2=4π,∴r=1,R=2, S=6π=π(r+R)l,∴l=2,∴h= . ∴V= π(1+4+2)× 故答案为: π. = π.

点评: 本题是基础题,通过底面面积求出半径,转化为求圆台的高,是本题的难点,考查计 算能力,常考题. 14.三棱锥 S﹣ABC 中,SA=AB=AC=2,∠ASB=∠BSC=∠CSA=30°,M,N 分别为 SB,SC 上的点, 则△AMN 周长最小值为 2 . 考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 沿着侧棱 SA 把正三棱锥展开在同一个平面内,原来的点 A 被分到两处 A,A′,则线 段 AA′的长度即为△AMN 周长的最小值. 解答: 解:沿着侧棱 SA 把正三棱锥展开在同一个平面内, 原来的点 A 被分到两处 A,A′, 则线段 AA′的长度即为△AMN 周长的最小值. △SAA′中,SA=SA′=2,∠ASB=∠BSC=∠CSA=30°, 故∠ASA′=90°, ∴AA′= 故答案为: . = =2 .

点评: 本题考查三角形周长的最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维 能力的培养.

15.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为



- 13 -

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由三视图可知:该几何体是一个四棱锥,其中底面是对角线长为 2 的正方形,一条高 为 1 的侧棱垂直于底面,据此可计算出体积. 解答: 解:由三视图可知:该几何体是一个四棱锥,其中底面是对角线长为 2 的正方形,一 条高为 1 的侧棱垂直于底面. 则该几何体的体积= 故答案为 . 点评: 本题考查了由三视图求原几何体的体积,正确恢复原几何体是计算的关键. 16.如图 1,一个正三棱柱容器,底面边长为 a,高为 2a,内装水若干,将容器放倒,把一个 侧面作为底面,如图 2,这时水面恰好为中截面,则图 1 容器中水面的高度是 a . = .

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 先求出图 2 中水的体积,通过谁的体积相等,即可求出图 1 中水的高度即可. 解答: 解:正三棱柱的底面积为 S= ,图 2 中水的体积. V 水=V 柱﹣ =S? 2a﹣( S) ? 2a= aS. .

设图 1 中水面的高度为 x,则 S? x= aS,得 x=

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故答案为:



点评: 本题考查棱柱的体积,考查学生的转化思想,空间想象能力,是中档题. 三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分. ) 17.在五面体 ABCDEF 中,已知 DE⊥平面 ABCD,AD∥BC,求证:BC∥EF.

考点: 直线与平面平行的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 直接利用直线与平面平行的判定定理证明 BC∥平面 ADEF,然后利用直线与平面平行 的性质定理证明即可. 解答: 证明:因为 AD∥BC,AD? 平面 ADEF,BC? 平面 ADEF,所以 BC∥平面 ADEF, 又 BC? 平面 BCEF,平面 BCEF∩平面 ADEF=EF, 所以 BC∥EF. (10 分) 点评: 本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用, 考查逻辑推理能力以及空 间想象能力. 18.一几何体的直观图如图所示: (1)画出该几何体的三视图. (2)求该几何体的表面积与体积.

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考点: 简单空间图形的三视图;由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)几何体的上面是一个圆柱,下面是一个四棱柱,由此能作出它的三视图. (2)利用圆柱、四棱柱的表面积与体积,可得该几何体的表面积与体积. 解答: 解: (1)该几何体的上面是一个圆柱,下面是一个四棱柱,其三视图如图所示.

(2)表面积 S=2(8×8+8×4+8×4)+4π×8=32π+256, 体积 V=8×8×4+π×2 ×8=32π+256. 点评: 本题考查几何体的三视图的求法,解题时要认真审题,注意熟练掌握基本概念. 19.如图,已知 AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上任一点,D 是线段 PA 的中点, E 是线段 AC 上的一点. 求证: (Ⅰ)若 E 为线段 AC 中点,则 DE∥平面 PBC; (Ⅱ)无论 E 在 AC 何处,都有 BC⊥DE.
2

考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由三角形中位线定理可得 DE∥BC,进而由线面平行的判定定理得到 DE∥平面 PBC; (Ⅱ)要证明“无论 E 在 AC 何处,都有 BC⊥DE” ,问题转化为证明 BC⊥平面 PAC. 解答: 解: (Ⅰ)∵D、E 分别为 AB、AC 中点,

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∴DE∥BC. ∵DE? 平面 PBC,BC? 平面 PBC, ∴DE∥平面 PBC; (Ⅱ)∵AB 是圆的直径,C 是圆上任一点, ∴BC⊥AC, 又∵PA 垂直圆所在的平面, ∴BC⊥PA, 又∵AC∩PA=A, ∴BC⊥平面 PAC, ∵DE? 平面 PAC, ∴无论 E 在 AC 何处,都有 BC⊥DE. 点评: 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,熟练掌握空间 直线与平面位置关系的判定,性质是解答本题的关键, 20.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, (1)求 A1B 与 B1D1 所成的角; (2)证明:平面 CB1D1∥平面 A1BD.

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: (1)由 B1D1∥BD,知∠A1BD 是 A1B 与 B1D1 所成的角,由此能求出 A1B 与 B1D1 所成的角 的大小. (2)连接 B1C 和 D1C,由 A1D∥B1C,A1B∥D1C,能证明平面 CB1D1∥平面 A1BD. 解答: (1)解:∵B1D1∥BD, ∴∠A1BD 是 A1B 与 B1D1 所成的角, ∵A1B=BD=A1D, ∴∠A1BD=60°. ∴A1B 与 B1D1 所成的角为 60°. (5 分) (2)证明:连接 B1C 和 D1C, ∵A1D∥B1C,A1B∥D1C, A1D∩A1B=A1, A1D? 平面 A1BD,A1B? 平面 A1BD, B1C? 平面 CB1D1,D1C? 平面 CB1D1, ∴平面 CB1D1∥平面 A1BD. (10 分)

- 17 -

点评: 本题考查异面直线所成的角的求法,考查两平面平行的证明,解题时要认真审题,注 意空间思维能力的培养. 21.已知:如图,四棱锥 S﹣ABCD 底面为平行四边形,E、F 分别为边 AD、SB 中点, (1)求证:EF∥平面 SDC. (2)AB=SC=1,EF= ,求 EF 与 SC 所成角的大小.

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: (1)取 BC 中点 G,连接 FG、EG,由已知条件得 FG∥平面 SDC,EG∥平面 SDC,从而 平面 EGF∥平面 SDC,由此能证明 EF∥平面 SDC. (2)由 FG∥SC,知∠EFG 是 EF 与 SC 所成角(或所成角的补角) ,由此能求出 EF 与 SC 所成角的大小. 解答: 解: (1)取 BC 中点 G,连接 FG、EG, 则 FG∥SC,EG∥DC, ∵FG∥SC,FG 不包含于平面 SDC,SC? 平面 SDC, ∴FG∥平面 SDC,同理,EG∥平面 SDC, 又 FG∩EG=G, ∴平面 EGF∥平面 SDC, 又 EF? 平面 EGF,∴EF∥平面 SDC. (2)∵FG∥SC,∴∠EFG 是 EF 与 SC 所成角(或所成角的补角) , ∵AB=SC=1,EF=
2 2 2

,∴EG=AB=1,FG=

= ,

∴EF +FG =EG , ∴∠EFG=90°, ∴EF 与 SC 所成角的大小为 90°.

- 18 -

点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查两条异面直线所成角的大小的求法,解题时要 认真审题,注意空间思维能力的培养. 22. 如图, 在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 底面四边形 ABCD 是直角梯形, 其中 AB⊥AD, AB=BC=1 且 AD= AA1=2. (1)求证:直线 C1D⊥平面 ACD1; (2)试求三棱锥 A1﹣ACD1 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)通过证明 C1D⊥CD1,C1D⊥AC,说明 AC 与 CD1 是平面 ACD1 内的两条相交直线,利 用直线与平面垂直的判定定理证明直线 C1D⊥平面 ACD1; (2)求三棱锥 A1﹣ACD1 的体积.转化为三棱锥 C﹣AA1D1 的体积,求出底面面积与高, 即可求解棱锥的体积. 解答: 解: (1)证明:在梯形 ABCD 内过 C 点作 CE⊥AD 交 AD 于点 E, 则由底面四边形 ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,AB=BC=1, 以及 可得:CE=1,且 ,AC⊥CD.

又由题意知 CC1⊥面 ABCD,从而 AC⊥CC1,而 CC1∩CD=C, 故 AC⊥C1D. 因 CD=CC1,及已知可得 CDD1C1 是正方形,从而 C1D⊥CD1. 因 C1D⊥CD1,C1D⊥AC,且 AC∩CD1=C, 所以 C1D⊥面 ACD1. (6 分) (2)因三棱锥 A1﹣ACD1 与三棱锥 C﹣AA1D1 是相同的,故只需求三棱锥 C﹣AA1D1 的体 积即可,而 CE⊥AD, 且由 AA1⊥面 ABCD 可得 CE⊥AA1,又因为 AD∩AA1=A, 所以有 CE⊥平面 ADD1A1,即 CE 为三棱锥 C﹣AA1D1 的高.

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. (12 分)

点评: 本题考查空间几何体直线与平面垂直的判断与证明,几何体的体积的求法,考查逻辑 推理能力以及计算能力.

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