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福州市2015-2016学年第一学期高三理科数学《三角函数》适应性练习A卷


福州市 2015-2016 学年第一学期高三理科数学
《三角函数》适应性练习 A 卷 一、 选择题 (本大题共 6 小题. 在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的. ) 4 1.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? ,则 tan ? 的值为( ) 5 3 4 3 4 A. B. ? C. D. ? 4 3 4 3 2.下列函数中,定义域为 R 的函数是(

) A. f ( x) ? tan x B. f ( x) ? sin x C. f ( x) ? lg cos x D. f ( x) ? sin 2 x
1 ? tan14? 1 3 3.已知 a ? sin15? cos15? , b ? cos 361? ? ,则 a, b, c 的大小关系 sin1? , c ? 1 ? tan14? 2 2

是( ) A. a ? b ? c

B. a ? b ? c

C. c ? a ? b

D. a ? c ? b
3 , 2

4.设 ??? C 的内角 ? , ? , C 的对边分别为 a ,b , c .若 a ? 2 , c ? 2 3 , cos ? ? 且 b ? c ,则 b ? (
A. 3


B. 2 C. 2 2 D. 3

5. 函数 f ( x) ? 2cos ? x cos ? ? 2sin ? x cos ? (? ? 0, ?? ? ? ? ? ) 的部分图 像如图所示,则 ? , ? 的值分别是( ) ? 5? 5? 5? A. 4, ? B. 2, ? C. 2, D. 4, ? 6 6 6 6

? 1 ? sin ? ? 6.设 ? ? (0, ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则( 2 2 cos ?
2 2 二、填空题(本大题共 3 小题.)
A . 3? ? ? ?


D . 2? ? ? ?

?

B . 3? ? ? ?

?

C . 2? ? ? ?

?
2

?
2

?? 7. 若函数 f ( x) ? 2cos2 ? x 的最小正周期为 ? ,则 f ? ? ? 的值等于________. ? ? ?

8.设当 x=θ 时,函数 f(x)=sinx-2cosx 取得最大值,则 cosθ=______ 3 ? 9.已知△ ABC 的角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , cos A ? , b ? 5 3 , B ? , 5 3 则 a ? __________. 三、解答题(本大题共 3 小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 10.如图,在△ABC中,∠ABC=90° ,AB= 3 ,BC=1,P为 △ABC内一点,∠BPC=90° 1 (Ⅰ)若 PB=2,求 PA; (Ⅱ)若∠APB=150° ,求 tan∠PBA.
1

11.已知函数 f ( x) ? Asin ?? x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0, ? 其图象相邻两个对称中心之间的距离为 . (Ⅰ)求 A, ? , ? 的值;
π 2

π 3π ? ? ? 0 )的图象最高点为 ( , 2) , 2 8

? 3 2 ? 3π 3π ? (Ⅱ)若 f ( ) ? ,且 ? ? ? , ? ,求 2 5 ? 4 2 ?

π? ? f ? ? ? ? 的值. 8? ?

?? ? 12.设 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 sin ? A ? ? ? cos A . 6? ?
(Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 ,求 b ? c 的最大值.

2

福州市 2015-2016 学年第一学期高三理科数学
《三角函数》适应性练习 A 卷 参考答案
4 3 sin ? 4 ? ? .故选 D. ,? cos ? ? ? ,? tan ? ? 5 5 cos ? 3 3 ? 2.D【解析】因为 f ( x) ? tan x 的定义域为 {x ? R | x ? k? ? , k ? Z } ,排除 A;取 x ? ? , 2 2

1.D【解析】?? 为第二象限, sin ? ?

sin x ? ?1 则 f ( x) ? sin x 无意义,排除 B;取 x ?

?

2

,cos x ? 0 ,所以 f ( x) ? lg cos x 无意

义,排除 C,故选 D.

1 1 3.A【解析】因为 a ? sin15? cos15? ? sin 30? ? ; 2 4
1 3 ? ? 5 ?9? b ? cos1? ? sin1? ? cos 60? cos1? ? sin 60? sin1? ? cos59? , 因 为 4 5 2 2
? 6 0 ,所以

1 ? tan14? tan 45? ? tan14? 1 2 , 所以 b ? a ; 因为 c ? = = tan(45? ? 14?) = tan 31? , ?b? 1 ? tan14? 1 ? tan 45? tan14? 2 2

又因为 tan 31? ? sin 31? ,所以 c ? b ,综上, c ? b ? a ,故选 A.
a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ? , 4.B 【解析】 由余弦定理得: 所以 22 ? b2 ? 2 3 ? 2 ? b ? 2 3 ?

?

?

2

3 , 2

即 b2 ? 6b ? 8 ? 0 ,解得 b ? 2 或 b ? 4 ,因为 b ? c ? 2 3 ,所以 b ? 2 ,故选 B. 5.C【解析】因为 f ( x) ? 2cos ? x cos ? ? 2sin ? x cos ? ,所以 f ( x) ? 2cos(? x ? ? ) ,由图像可 得 周 期 T ?2 (
?cos(2 ?

1? 1 ?5 5? ? ?)? , ?? ? 2,? f ( x) ? 2cos(2 x ? ? ) , 又 图 像 过 点 ( , 2, ) 1 2 1 2 12

5? 5? 5? ,故选 C. ? ? ) ? 1,?cos( ? ? ) ? 1, ? ?? ? ? ? ? ,?? ? 12 6 6

? 6.C 【 解 析 】 因 为 t a? n

1 ? s ?i n s i? n ? 1? s i n ? , 所 以 , 所 以 c o ?s c o ?s ?c o s

sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? cos ? ,所以 sin(? ? ? ) ? cos ? ,即 sin( ? ? ?) ? sin(

?
2

? ?) ,因为

2 2 ? ? ? , 7.1 【解析】 因为 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 1 ? cos 2? x , 所以 T ? 又因为函数 f ( x) ? 2cos2 ? x 2? ?

? ? ? ? ? ? (0, ), ? ? (0, ), 所以 ? ? ? ? ? ? ,即 2? ? ? ? ,故选 C.
2 2 2

的最小正周期为 ? ,所以

? ? ? ? ,解得 ? ? 1 ,所以 f ( x) ? 1 ? cos 2 x ,所以 f ( ) ? 1 . ? 4
3

8. ?

5 2 5 2 5 cos x) 【解析】∵ f ( x) = sin x ? 2 cos x = 5( sin x ? 5 5 5
5 2 5 , sin ? ? ? ,则 f ( x) = 5(sin x cos ? ? sin ? cos x) = 5 sin( x ? ? ) , 5 5

令 cos ? =

当 x ? ? = 2 k? ?

?
2

, k ? z ,即 x = 2k? ?

?
2

? ? , k ? z 时, f ( x) 取最大值,此时

? = 2 k? ?

?
2

? ? , k ? z ,∴ cos ? = cos(2k? ?

?
2

? ? ) = sin ? = ?

2 5 . 5

3 4 a b a 5 3 9.8 【解析】? cos A ? ,? sin A ? ,由正弦定理得 ? ,? ? ,? a ? 8 . 4 5 5 sin A sin B 3 5 2

10. 【解】 (Ⅰ)由已知得,∠PBC= 60o ,∴∠PBA=30o,在△PBA 中,由余弦定理得

1 1 7 7 ; PA2 = 3 ? ? 2 ? 3 ? cos 30o = ,∴PA= 4 2 4 2
( Ⅱ ) 设 ∠ PBA= ? , 由 已 知 得 , PB= sin ? , 在 △ PBA 中 , 由 正 弦 定 理 得 ,

3 sin ? 3 3 ? ,化简得, 3 cos ? ? 4sin ? ,∴ tan ? = ,∴ tan ?PBA = . o o 4 4 sin150 sin(30 ? ? )
11.【解】 (Ⅰ)依题意得: A ? 2 , 因为相邻两个对称中心之间的距离为 ,故函数的周期为 T ? π ,所以 ? ?
8 8 2 3? 3? ? ? 因为函数 f ( x) 的图象最高点为 ( , 2) , 所以 2 ? ? ? ? 2k? ? (k ? Z ) ,? ? 2k? ? (k ? Z ) π 2 2? ? 2, T 4

因为 ? ? ? ? 0 ,所以 ? ? ? .
2 4
4 π 3 2 π 3 π π 5π ? 3π 3π ? 因为 f ( ) ? 2 sin(? ? ) ? ,所以 sin(? ? ) ? .因为 ? ? ? , ? ,所以 ? ? ? ? , 2 4 5 4 5 2 4 4 ? 4 2 ?

?

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 2 sin(2x ? ) .
?

?

所以 cos ? ? ? ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? ? ? ? . 4 4 5
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? 所以 f ? ? ? ? ? 2 sin ?2 ? ? ? ? ? ? ? 2 sin ? 2? ? ? ? 2 sin 2 ? ? ? ? 2 4 8 8 4

? ?

π?

? ?

π?

4

π

?

π

π? ?

π

π

?

?

? ?

?

?

?

?

?

24 2 π π ? 3 ? 4? ? ? 2 ? 2sin(? ? ) cos(? ? ) ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? . 25 4 4 ? 5 ? 5? ?

? ? ?? ? 12. 【解】 (Ⅰ) 在 ?ABC 中, ∵ sin ? A ? ? ? cos A , ∴ sin A ? cos ? cos A ? sin ? cos A , 6 6 6? ?

4

故 sin A ? 3 cos A ,∴ tan A ? 3 ,又∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ? (Ⅱ)解法一、由正弦定理得 b ?
4 3

?
3

.

a ? sin B 4 a ? sin C 4 ? sin B, c ? ? sin C , sin A sin A 3 3

故b ? c ?

2? ? ?sin B ? sin C ? .所以 sin B ? sin C ? sin B ? sin ? ? B? ? ? 3 ?

? sin B ? sin

2? 2? 3 3 ?? ? ? cos B ? cos ? sin B ? sin B ? cos B ? 3 sin ? B ? ? . 3 3 2 2 6? ?

∴ b ? c ? 4 sin( B ? ∴当 B ?

?
6

) .因为 0 ? B ?

2? ? ? 5? ,所以 ? B ? ? . 6 6 6 3

?
6

?

?
2

,即 B ?

?

?? ? 时, sin ? B ? ? 取得最大值 1 , b ? c 取得最大值为 4. 3 6? ?

解法二、由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 得,4 ? b2 ? c 2 ? bc ,∴ 4 ? (b ? c)2 ? 3bc ,
b?c 2 ) ? 4 ,∴ (b ? c)2 ? 16 ,故 b ? c ? 4 .∴当且仅当 b ? c ,即 ?ABC 为正三 2 角形时, b ? c 取得最大值为 4.

即 (b ? c) 2 ? 3(

5


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