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高中数学竞赛讲义3


高中数学竞赛讲义(三)
──函数

一、基础知识 定义1 映射,对于任意两个集合 A,B,依对应法则 f,若对 A 中的任意一个元素 x,在 B 中都有唯一一个元素与之对应,则称 f: A→B 为一个映射。 定义2 单射, f: A→B 是一个映射且对任意 x, y∈ x y,都有 f(x) 若 A, 是 A 到 B 上的满射。 定义4 一一映射,若

f: A→B 既是单射又是满射,则叫做一一映射,只有一一映射存在 逆映射,即从 B 到 A 由相反的对应法则 f -1 构成的映射,记作 f -1 : A→B。 定义5 函数,映射 f: A→B 中,若 A,B 都是非空数集,则这个映射为函数。A 称为它 的定义域,若 x∈ y∈ A, B,且 f(x)=y(即 x 对应 B 中的 y) ,则 y 叫做 x 的象,x 叫 y 的原象。 集合{f(x)|x∈ A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出,此时函数定义域就是使解析式有意 义的未知数的取值范围,如函数 y=3
-1

f(y)则称之为单射。

定义3 满射,若 f: A→B 是映射且对任意 y∈ B,都有一个 x∈ 使得 f(x)=y,则称 f: A→B A

-1的定义域为{x|x≥0,x∈ R}.
-1

定义6 反函数,若函数 f: A→B(通常记作 y=f(x))是一一映射,则它的逆映射 f : A→B 叫原函数的反函数,通常写作 y=f (x).这里求反函数的过程是:在解析式 y=f(x)中反解 x 得 x=f (y),然后将 x, y 互换得 y=f (x),最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如:函数
-1 -1

y=

的反函数是 y=1-

(x

0).

定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。 定理2 在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数。 定义7 函数的性质。 (1)单调性:设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1 , x2 ∈ 并且 x1 < x2 ,总有 I f(x1 )<f(x2 )(f(x)>f(x2)),则称 f(x)在区间 I 上是增(减)函数,区间 I 称为单调增(减)区间。 (2)奇偶性:设函数 y=f(x)的定义域为 D,且 D 是关于原点对称的数集,若对于任意 的 x∈ D,都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)是奇函数;若对任意的 x∈ D,都有 f(-x)=f(x),则称 f(x) 是偶函数。奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称。 (3)周期性:对于函数 f(x),如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义域内每一 个数时,f(x+T)=f(x)总成立,则称 f(x)为周期函数,T 称为这个函数的周期,如果周期中存在 最小的正数 T0 ,则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。 定义8 如果实数 a<b,则数集{x|a<x<b, x∈ R}叫做开区间,记作(a,b) ,集合 {x|a≤x≤b,x∈ R}记作闭区间[a,b],集合{x|a<x≤b}记作半开半闭区间(a,b],集合{x|a≤x<b} 记作半闭半开区间[a, b),集合{x|x>a}记作开区间(a, +∞) ,集合{x|x≤a}记作半开半闭区间 (-∞,a]. 定义9 函数的图象,点集{(x,y)|y=f(x), x∈ D}称为函数 y=f(x)的图象,其中 D 为 f(x)的定 义域。通过画图不难得出函数 y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0); (1)向右平 移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象; (2)向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象; (3)向下平

移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象; 与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称; 与函数 y=-f(-x) (4) (5) 的图象关于原点成中心对称; 6) ( 与函数 y=f (x)的图象关于直线 y=x 对称; 7) ( 与函数 y=-f(x) 的图象关于 x 轴对称。
-1

定理3 复合函数 y=f[g(x)]的单调性,记住四个字:“同增异减”。例如 y=

, u=2-x

在(-∞,2)上是减函数,y= 函数。

在(0,+∞)上是减函数,所以 y=

在(-∞,2)上是增

注:复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证,求导之后是显然的。 二、方法与例题 1.数形结合法。

例1 求方程|x-1|=

的正根的个数.

【解】 分别画出 y=|x-1|和 y= 正根。

的图象,由图象可知两者有唯一交点,所以方程有一个

例2 求函数 f(x)=

的最大值。

【解】 f(x)= B(0,1) ,则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。

, 记点 P(x, x? 2 ), A(3, , 2)

因为|PA|-|PA|≤|AB|= 点时等号成立。

,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交

所以 f(x)max= 2.函数性质的应用。

例3 设 x, y∈ R,且满足
3

,求 x+y.

【解】 设 f(t)=t +1997t,先证 f(t)在(-∞,+∞)上递增。事实上,若 a<b,则 f(b)-f(a)=b3-a3 +1997(b-a)=(b-a)(b2 +ba+a2 +1997)>0,所以 f(t)递增。 由题设 f(x-1)=-1=f(1-y),所以 x-1=1-y,所以 x+y=2. 例4 奇函数 f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,又 f(1-a)+f(1-a2 )<0,求 a 的取值范围。 【解】 因为 f(x) 是奇函数,所以 f(1-a )=-f(a -1),由题设 f(1-a)<f(a -1)。 又 f(x)在定义域(-1,1)上递减,所以-1<1-a<a -1<1,解得0<a<1。 例5 设 f(x)是定义在 (-∞, +∞) 上以2为周期的函数, k∈ 对 Z,用 Ik 表示区间(2k-1, 2k+1], 已知当 x∈ 0 时,f(x)=x ,求 f(x)在 Ik 上的解析式。 I 【解】 设 x∈ k,则2k-1<x≤2k+1, I 所以 f(x-2k)=(x-2k) . 又因为 f(x)是以2为周期的函数, 所以当 x∈ k 时,f(x)=f(x-2k)=(x-2k) . I 例6 解方程:(3x-1)( 【解】 令 m=3x-1, n=2x-3,方程化为 m( +1)+n( +1)=0. ① 0, n 0. )+(2x-3)( +1)=0.
2 2 2 2 2 2 2

若 m=0,则由①得 n=0,但 m, n 不同时为0,所以 m ⅰ)若 m>0,则由①得 n<0,设 f(t)=t(

+1),则 f(t)在(0,+∞)上是增函数。又

f(m)=f(-n),所以 m=-n,所以3x-1+2x-3=0,所以 x=

ⅱ)若 m<0,且 n>0。同理有 m+n=0,x=

,但与 m<0矛盾。

综上,方程有唯一实数解 x= 3.配方法。 例7 求函数 y=x+ 的值域。

【解】

y=x+

=

[2x+1+2

+1]-1

=

(

+1)-1≥

-1=-

.

当 x=-

时,y 取最小值-

,所以函数值域是[-

,+∞) 。

4.换元法。 例8 求函数 y=( 【解】 令 + + +2)( +1),x∈ [0,1]的值域。 ≤4,所以 ≤u≤2,

=u, 因为 x∈ [0,1], 所以2≤u2 =2+2

所以



≤2,1≤

≤2,所以 y=

,u2 ∈ [

+2,8]。

所以该函数值域为[2+ 5.判别式法。

,8]。

例9 求函数 y=

的值域。
2

【解】由函数解析式得(y-1)x +3(y+1)x+4y-4=0.① 当y 1时,①式是关于 x 的方程有实根。

所以△=9(y+1) -16(y-1) ≥0,解得

2

2

≤y≤1.

又当 y=1时,存在 x=0使解析式成立,

所以函数值域为[ 6.关于反函数。

,7]。

例10 若函数 y=f(x)定义域、值域均为 R,且存在反函数。若 f(x)在(-∞,+∞)上递增,求 证:y=f -1(x)在(-∞,+∞)上也是增函数。 【证明】设 x1 <x2 ,且 y1 =f -1(x1 ), y2 =f -1 (x2 ),则 x1 =f(y1 ), x2 =f(y2 ),若 y1 ≥y2 ,则因为 f(x)在 (-∞,+∞)上递增,所以 x1 ≥x2 与假设矛盾,所以 y1 <y2 。 即 y=f (x)在(-∞,+∞)递增。
-1

例11 设函数 f(x)=

,解方程:f(x)=f -1 (x).

【解】 首先 f(x)定义域为(-∞,-

)∪ [-

,+∞) ;其次,设 x1, x2 是定义域内变量,

且 x1 <x2 <-

;

=

>0,

所以 f(x)在(-∞,-

)上递增,同理 f(x)在[-

,+∞)上递增。

在方程 f(x)=f -1(x)中,记 f(x)=f -1(x)=y,则 y≥0,又由 f -1 (x)=y 得 f(y)=x,所以 x≥0,所以

x,y∈ [-

,+∞). y,设 x<y,则 f(x)=y<f(y)=x,矛盾。

若x

同理若 x>y 也可得出矛盾。所以 x=y. 即 f(x)=x,化简得3x5 +2x4-4x-1=0, 即(x-1)(3x4 +5x3+5x2 +5x+1)=0, 因为 x≥0,所以3x +5x +5x +5x+1>0,所以 x=1. 三、基础训练题 1.已知 X={-1, 0, 1}, Y={-2, -1, 0, 1, 2},映射 f:X→Y 满足:对任意的 x∈ X,它在 Y 中 的象 f(x)使得 x+f(x)为偶数,这样的映射有_______个。 2.给定 A={1,2,3},B={-1,0,1}和映射 f:X→Y,若 f 为单射,则 f 有_______个; 若 f 为满射,则 f 有_______个;满足 f[f(x)] =f(x)的映射有_______个。 3. 若直线 y=k(x-2)与函数 y=x2 +2x 图象相交于点 (-1, , -1) 则图象与直线一共有_______ 个交点。
4 3 2

4.函数 y=f(x)的值域为[

],则函数 g(x)=f(x)+

的值域为_______。

5.已知 f(x)=

,则函数 g(x)=f[f(x)]的值域为_______。

6.已知 f(x)=|x+a|,当 x≥3时 f(x)为增函数,则 a 的取值范围是_______。

7.设 y=f(x)在定义域( 8. 若函数 y= _______对称。

,2)内是增函数,则 y=f(x2 -1)的单调递减区间为_______。
-1

(x)存在反函数 y=

(x), y= 则

-1

(x)的图象与 y=-

(-x)的图象关于直线

9.函数 f(x)满足 10.函数 y=

=1-

,则 f(

)=_______。

, x∈ +∞)的反函数是_______。 (1,

11.求下列函数的值域: (1)y=

; (2)y=

;

(3)y=x+2 12.已知

; (4) y= 定义在 R 上,对任意 x∈ f(x)=f(x+2),且 f(x)是偶函数,又当 x∈ R, [2,3]

时,f(x)=x,则当 x∈ [-2,0]时,求 f(x)的解析式。

四、高考水平训练题

1. 已知 a∈

, f(x)定义域是 (0,1], g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_______。 则

2.设0≤a<1时,f(x)=(a-1)x2 -6ax+a+1恒为正值。则 f(x)定义域为_______。 3. 映射 f: {a, b, c, d}→{1, 3}满足10<f(a)·f(b)·f(c)·f(d)<20, 2, 这样的映射 f 有_______ 个。 4.设函数 y=f(x)(x∈ R)的值域为 R,且为增函数,若方程 f(x)=x 解集为 P,f[f(x)]=x 解集 为 Q,则 P,Q 的关系为:P_______Q(填=、 、 ) 。

5.下列函数是否为奇函数: (1)f(x)=(x-1) (x)= ; (4)y=

; (2)g(x)=|2x+1|-|2x-1| ; (3)

6.设函数 y=f(x)(x∈ 且 x 0), R 对任意非零实数 x1, x2 满足 f(x1 x2 )=f(x1 )+f(x2 ), f(x)在 又 (0,

+∞)是增函数,则不等式 f(x)+f(x-

)≤0的解集为_______。

7. 函数 f(x)=

, 其中 P, 为 R 的两个非空子集, M 又规定 f(P)={y|y=f(x), , f(P) ∩f(M)= 则 ; ②若 P∩M R.

x∈ f(M)={y|y=f(x), x∈ P}, M}, 给出如下判断: ①若 P∩M= ,则 f(P) ∩f(M)

;③若 P∪ M=R,则 f(P) ∪ f(M)=R;④若 P∪ M

R,则 f(P) ∪ f(M)

其中正确的判断是_______。 8.函数 y=f(x+1)的反函数是 y=f (x+1),并且 f(1)=3997,则 f(1998)= _______。 9.已知 y=f(x)是定义域为[-6,6]的奇函数,且当 x∈ [0,3]时是一次函数,当 x∈ [3,6] 时是二次函数,又 f(6)=2,当 x∈ [3,6]时,f(x)≤f(5)=3。求 f(x)的解析式。
-1

10.设 a>0,函数 f(x)定义域为 R,且 f(x+a)= 函数。

,求证:f(x)为周期

11.设关于 x 的方程2x -tx-2=0的两根为 α ,β (α <β ) ,已知函数 f(x)=

2

,(1)

求 f(α )、f(β ); (2)求证:f(x)在[α ,β ]上是增函数; (3)对任意正数 x1 , x2 ,求证:

<2|α -β |. 五、联赛一试水平训练题

1.奇函数 f(x)存在函数 f -1 (x),若把 y=f(x)的图象向上平移3个单位,然后向右平移2个单 位后,再关于直线 y=-x 对称,得到的曲线所对应的函数是________.

2.若 a>0,a

1,F(x)是奇函数,则 G(x)=F(x)

是________(奇偶性).

3.若

=x,则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x);②F(-x)=

;③F(x-1 )=F(x);④F(F(x))=-x. 4.设函数 f:R→R 满足 f(0)=1,且对任意 x,y∈ R,都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则 f(x)=________. 5.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1,且对任意 x∈ 都有 f(x+5)≥f(x)+5, R f(x+1)≤f(x)+1。若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)= ________.

6.函数 f(x)=

的单调递增区间是________.

7.函数 f(x)= 8.函数 y=x+

的奇偶性是:________奇函数,________偶函数(填是,非) 。 的值域为________.

9.设 f(x)= 值。

,

对任意的 a∈ R,记 V(a)=max{f(x)-ax|x∈ 3]}-min{f(x)-ax|x∈ 3]},试求 V(a)的最小 [1, [1,

10.解方程组:

(在实数范围内)

11.设 k∈ +, f: N+→N+满足: N (1)f(x)严格递增; (2)对任意 n∈ +,有 f[f(n)]=kn,求证: N

对任意 n∈ +,都有 N

n≤f(n)≤

六、联赛二试水平训练题

1. 求证: 恰有一个定义在所有非零实数上的函数 f, 满足:1) ( 对任意 x≠0, f(x)=x·f (2)对所有的 x≠-y 且 xy≠0,有 f(x)+f(y)=1+f(x+y). 2.设 f(x)对一切 x>0有定义,且满足: (ⅰ)f(x)在(0,+∞)是增函数;(ⅱ)任意 x>0,



f(x)f

=1,试求 f(1). 3. f:[0,1]→R 满足: (1)任意 x∈ 1], f(x)≥0; [0, (2)f(1)=1; (3)当 x, y, x+y∈ 1]时, [0,

f(x)+f(y)≤f(x+y),试求最小常数 c,对满足(1)(2)(3)的函数 f(x)都有 f(x)≤cx. , , 4.试求 f(x,y)=6(x2 +y2 )(x+y)-4(x2 +xy+y2 )-3(x+y)+5(x>0, y>0)的最小值。 5.对给定的正数 p,q∈ 1),有 p+q>1≥p +q ,试求 f(x)=(1-x) (0, + 在[1-q,p]上的最大值。
2 2

6.已知 f: (0,1)→R 且 f(x)=

.

当 x∈

时,试求 f(x)的最大值。

7.函数 f(x)定义在整数集上,且满足 f(n)= 值。

,求 f(100)的

8.函数 y=f(x)定义在整个实轴上,它的图象在围绕坐标原点旋转角 证:方程 f(x)=x 恰有一个解; (2)试给出一个具有上述性质的函数。

后不变。 (1)求

9.设 Q+是正有理数的集合,试构造一个函数 f: Q+→Q+,满足这样的条件:

f(xf(y))=

x, y∈ . Q

+


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