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广东省佛山市第一中学、中山市中山纪念中学2015-2016学年高二数学下学期联考试题 理


中山纪中 佛山一中 2015-2016 学年高二年级两校联考试题 理科数学
本试卷共 4 页 22 题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、 考场号、 座位号填写在答题 卡上,用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对

应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的 答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一. 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知 i 为虚数单位,复数 z1 对应的点是 Z1 (1,1) , z2 对应的点是 Z 2 (1, ?1) ,则 (A)0 2. 若 a ? 1 , (A)6 (B)i (C)1

z1 ?( z2



(D)1+i ( )

?

a

1

1 (2 x ? )dx ? 3 ? ln 2 ,则 a ? x
(B)4 (C)3 (D)2

3. 射击比赛中,每人射击 3 次,至少击中 2 次才合 格。已知某选手每次射击击中的概率为 0.4, 且各次射击是否击中相互独立,则该选手合格的概率为 (A)0.064 (B)0.352 (C)0.544 ( (D)0.16 )

4. 用数学归纳法证明不等式 不等式左边的变化情况为 (A)增加

1 1 1 13 ? ??? ? 的过程中,由 n ? k 到 n ? k ? 1 时, n ?1 n ? 2 n ? n 24
( (B)增加 )

1 2( k ? 1) 1 1 1 ? ,减少 2k ? 1 2(k ? 1) k ?1 1 1 ,减少 2( k ? 1) k ?1

1 1 ? 2k ? 1 2(k ? 1)

(C)增加

(D)增加

5. 如图,将一个各面都涂了油漆的正方体, 切割成 125 个同样大小的小正方 体。 经过搅拌后, 从中随机取出一个小正方体, 记它的涂油漆面数为 X ,则 P( X ? 2) ? ( )

-1-

(A) 6.

96 125

(B)

48 125

(C)

36 125

(D)

24 125
( )

9191 除以 10 0 的余数是
(A)1 (B)9 (C)11 (D)91

7. 已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1,点 P 在线段 B1D1 上运动,则 PA ? PC1 的取值范围 是 (A) [ ?1, ? ] ( )

??? ? ???? ?

1 4

(B) [?

1 1 ,? ] 2 4

(C) [?1, 0]

(D) [? , 0] ( )

1 2

8. 若函数 f ( x ) ? kx ? ln x 在区间 (1, ??) 上单调递增,则 k 的取值范围是 (A) ( ??, ?2] (B) ( ??, ?1] (C) [2, ?? )

(D) [1, ??)

9. 用数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数,且 5 不排在百位,2、 4 都不排在个位和万 位,则这样的五位数个数为 (A) 32 (B) 36 (C) 42 ( )

(D) 48

2 10. 已知双曲线 C 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,且 F2 恰为抛物线 y ? 4 x 的焦点,设双曲线 C 与该抛

物线的一个交点为 A ,若 ?AF1F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形,则双曲线 C 的离心率为 ( (A) 2 (B) 1 ? 2 (C) 1 ? 3 )

(D) 2 ? 3 ( )

9 2 10 11. 已知 ( x ? 1)( x ? 2) ? a0 ? a1( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) ? ?? a10 ( x ? 1) ,则 a8 ?

( A)18

(B)36

(C)135

(D)144

1 12. 已知函数 f ( x) ? (a ? x)e x (a ? 0) ,存在 x ? [0, 2] ,使得 f ( x ) ? e ,则实数 a 的取值范围是 2
( (A) [3, ??) (B ) [2 ? ln 2, ??) (C) [2e, ??) (D) [2 ? )

2 , ??) e

二. 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 作直线交椭圆于 A, B 两点,则 4

△ ABF2 的周长为_________。

-2-

14. 若 3 ? i( i 为虚数单位) 是关于 x 的 方程 x2 ? px ? 10 ? 0( p ? R) 的一个根, 则 p ? _________。 15. 将 4 本不同的书随机赠送给 3 位同学,恰有一位同学有 2 本书的概率为________。 16. 将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如下所示的 0 和 1 构成的三角数表, 第 1 行: 第 2 行: 第 3 行: 第 4 行: 第 5 行: 第 6 行: 第 7 行: … 则第 60 行中的 1 的个数是_________。 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

三. 解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) : 17. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? ? x? ? bx ? a 在 x ? 1 处的切线斜率为 0, (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若方程 f ( x ) ? 0 只有一个实根,求 a 的取值范围。

18. (本小题满分 12 分)某福彩中心准备发行一种面值为 2 元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下: ①该福利彩票中奖概率为 0.2; ②每张中奖彩票的中奖奖金有 5 元,10 元和 100 元三种; ③顾客购买一张彩票,获得 10 元奖金的概率为 0.08,获得 100 元奖金的概率为 p . (1)若某顾客每天都买一张该类型的福利彩票,求其在第 3 天才中奖的概率; (2)福彩中心为了能够筹得资金资助福利事业持续发展,应如何设定 p 的取值.

19. (本小题满分 12 分) 如图, 三棱锥 P ? ABC 中,

?ACB ? PC ? 平面 ABC ,PC ? 3 ,

?
2

P

,D , E

分别

C D A 题(19)图

E B

-3-

为线段 AB, BC 上的点,且 CD ? DE ? (1)证明: DE ? 平面 PCD (2)求二面角 A ? PD ? C 的余弦值。

2 , CE ? 2 , AC ?

3 。 2

20. (本小题满分 12 分) (1)若 a, b, c, x, y , z ? 0 ,求证: (a 2 ? b2 ? c2 )( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? (ax ? by ? cz )2 ; (2)若 a, b, c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 1 ,求证: a ? 2b ? 3c ? 6 .

21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 M : 角为 60? 的菱形的四个顶点. (1)求椭圆 M 的方程;

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的四个顶点恰好是一边长为 2,一内 a 2 b2

(2)若不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 M 交于 A , B 两点,且线段 AB 的垂直平分线经过点

1 N (0,- ) ,求 ?AOB ( O 为原点)面积的最大值. 2

x 22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (2 ? x)e ,曲线 f ( x ) 在 x ? 0 处的切线方程为 l.

(1)求证:当 x ? 0 时, f ( x ) 图像在 l 下方; (2)若 n ? N * ,求证: f ( ?

1 n

1 1 1 1 ) ? 2 f (2 ? ) ? 2 ? . n ?1 e n n

-4-

中山纪中 佛山一中 2015-2016 学年高二年级两校联考试题 理科数学参考答案
一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1、 B 7、D

2、D 8、D

3、B 9、A

4、C 10、B

5、C 11、A

6、D 12、B

二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13、 8

14、-6

15、

4 9

16、16

三、 解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17、 (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? ? x? ? bx ? a 在 x ? 1 处的切线斜率为 0, (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若方程 f ( x ) ? 0 只有一个实根,求 a 的取值范围。 解: (1) f '( x) ? ?3x 2 ? b ,又 f '(1) ? ?3 ? b ? 0 ,所以 b ? 3 …………2 分

f '( x) ? ?3x2 ? 3 ,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? ?1 ,

x
f '( x)

( ??, ?1)

?1

( ?1,1)

1

(1, ??)

?
?

0
极小值

?
?

0
极大值

?
?

f ( x)

所以, f ( x ) 增区间是 (?1,1) ,减区间是 (??, ?1) , (1, ??) .

……6 分(每个 2 分)

(2)依题意: f ( x ) 极大值和极小值均大于 0,或者均小于 0,即:

? f (?1) ? 0 ? f ( ?1) ? 0 ? a ? 2 ,或 ? ? a ? ?2 ? ? f (1) ? 0 ? f (1) ? 0

……10 分(每个 2 分)

18、 (本小题满分 12 分)某福彩中心准备发行一种面值为 2 元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下: ①该福利彩票中奖概率为 0.2; ②每张中奖彩票的中奖奖金有 5 元,10 元和 100 元三种; ③顾客购买一张彩票,获得 10 元奖金的概率为 0.08,获得 100 元奖金的概率为 p .
-5-

(1)若某顾客每天都买一张该类型的福利彩票,求其在第 3 天才中奖的概率; (2)福彩中心为了能够筹得资金资助福利事业持续发展,应如何设定 p 的取值. 解: (1)设 Ai : 第 i 天中奖,A:第 3 天才中奖, 则 P( A) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? 0.8 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.128 所以,该顾客第 3 天才中奖的概率为 0.128 (2)设卖出一张彩票可能获得的资金为 ? ,则 ? 可以取 2, ?3, ?8, ?98 , …………4 分 ………6 分

P(? ? 2) ? 0.8 , P(? ? ?3) ? 0.2 ? 0.08 ? p ? 0.12 ? p , P(? ? ?8) ? 0.08 , P(? ? ?98) ? p
? 的分布列为: ?

2

?3

?8

?98

P
………………10 分

0.8

0.12 ? p

0.08

p

所以, E? ? 2 ? 0.8 ? ( ?3) ? (0.12 ? p) ? ( ?8) ? 0.08 ? ( ?98) ? p ? 0.6 ? 95 p 令 E? ? 0 ,得 p ? 所以当 p ?

3 475
………………12 分

3 时,福彩中心可以获取资金资助福利事业持续发展 475

19、 (本小题满分 12 分)如图,三棱锥 P ? ABC 中, PC ? 平面 ABC , PC ? 3 , ?ACB ?

?
2



D , E 分别为线段 AB, BC 上的点,且 CD ? DE ? 2 , CE ? 2 , AC ?
(1)证明: DE ? 平面 PCD (2)求二面角 A ? PD ? C 的余弦值。 解: (1)证明:由 PC ? 平面 ABC,DE ? 平面 ABC,故
P

3 。 2

PC ? DE[
由 CE=2,CD=DE= 2得 ? CDE 为等腰直角三角形,
C D A 题(19)图 E B

故 交直

CD ? DE,由 PC ? CD=C,DE 垂直于平面 PCD 内两条相
线,故 DE ? 平面 PCD …………4 分

(2)解:以 C 为原点,分别以 CA, CB, CP 为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则
-6-

??? ??? ? ??? ?

C(0,0,0,),P(0,0,3),A(

3 ,0,0), D(1,1,0),……………5 分 2
2

??? ? 1 ??? ? ??? ? ED=(1,-1,0), DP=(-1,-1,3), DA = ( , -1, 0) ,

? 设平面 PAD 的法向量 n =(x1 , y1 ,z1 ) , 1
由 n1 ? DP ? 0 和 n1 ? DA ? 0

?? ??? ?

?? ??? ?

?? x1 ? y1 ? 3z1 ? 0 ?? ? 得? 1 ,故可取 n1 ? (2,1,1) ……8 分 x1 ? y1 ? 0 ? ? 2 ?? ? ?? ? ??? ? 由(1)可知 DE ? 面PCD ,故 面PCD 的法向量 n2 可取为 ED ,即 n2 ? (1, ?1,0) ……10 分

?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 3 ? ?? ?= 从而法向量 n1 , n2 的夹角的余弦值为 cos? n1 , n2 ? ? ?? , |n1 | ?|n2 | 6
故所求二面角 A-PD-C 的余弦值为

3 . 6

……12 分

20、 (本小题满分 12 分) (1)若 a, b, c, x, y , z ? 0 ,求证: (a 2 ? b2 ? c2 )( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? (ax ? by ? cz )2 ; (2)若 a, b, c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 1 ,求证: a ? 2b ? 3c ? 6 . 解: (1) (a 2 ? b2 ? c2 )( x2 ? y 2 ? z 2 )

? a2 x2 ? a2 y 2 ? a2 z 2 ? b2 x2 ? b2 y 2 ? b2 z 2 ? c2 x2 ? c2 y 2 ? c2 z 2 …………2 分
? (a2 x2 ? ?b2 y 2 ? c2 z 2 ) ? (a 2 y 2 ? b2 x 2 ) ? (a 2 z 2 ? c2 x 2 ) ? (b2 z 2 ? c2 y 2 ) ? (a2 x2 ? b2 y 2 ? c2 z 2 ) ? 2abxy ? 2acxz ? 2bcyz

? (ax ? by ? cz)2 ,……………4 分
当且仅当 ay ? bx, az ? cx, bz ? cy 即

a b c ? ? 时取等号。…………6 分 x y z

(2)由(1)知: a ? 2b ? 3c ? 1? a ? 2 ? b ? 3 ? c

? 1? 2 ? 3 ? a ? b ? c ? 6

…………10 分

-7-

当且仅当

1 1 1 1 2 3 时,即 a ? , b ? , c ? 时取等号…………12 分 ? ? 6 3 2 a b c

21、 (本小题满分 12 分)已知椭圆 M : 为 60? 的菱形的四个顶点. (1)求椭 圆 M 的方程;

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的四个顶点恰好是一边长为 2,一内角 a 2 b2

1 (2) 若不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 M 交于 A ,B 两点, 且线段 AB 的垂直平分线经过点 N (0,- ) , 2
求 ?AOB ( O 为原点)面积的最大值. 解: (1)

x2 ? y 2 ? 1 …………………2 分 3

(2)①当直线 AB 的斜率为 0 时,设 AB: y ? m ,代入椭圆方程 ,得 x ? ? 3(1 ? m 2 ) ,所以

| AB |? 2 3(1? m2 ) , ?AOB 面积 S ?
时, S 取最大值

1 | AB || m |? 3(1? m2 ) | m |? 2

3(1? m2 )m2 ,当 m 2 ?

1 2

3 。………………4 分 2

②当直线 AB 的斜率不为 0 时,则设 AB 的方程为 y ? kx ? t ,

? y ? kx ? t ? 2 2 2 联立 ? x 2 ,得: (3k ? 1) x ? 6kt ? 3t ? 3 ? 0 ………………5 分 2 ? 3 ? y ?1 ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

?6kt x ? x2 ?3kt ? 2 , 1 …………6 分 2 2 3k ? 1 3k ? 1

y1 ? y2 1 ? y1 ? y2 t 2 ? ? 1 ,化简得到 3k 2 ? 1 ? 4t …………7 分 ? 2 所以 ,又 2 x ? x k 2 3k ? 1 0? 1 2 2

? ? 4(9k 2 ? 3 ? 3t 2 ) ? 0 ,即 3k 2 ? 1 ? t 2 ① ,得到 0 ? t ? 4 ……………8 分
| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2
|t |

4(9k 2 ? 3 ? 3t 2 ) ………………9 分 3k 2 ? 1

原点到直线的距离为 d ?

1 1 |t | , S?AOB = | AB || d |? 1? k2 k2 ?1 2 2 k2 ?1

4(9k 2 ? 3 ? 3t 2 ) , 3k 2 ? 1

化简得到 S?AOB =

1 3(4t ? t 2 ) ……………11 分 4

-8-

因为 0 ? t ? 4 ,所以当 t ? 2 时,即 k ? ?

7 3 时, S ?AOB 取得最大值 3 2

综上, ?AOB 面积的最大值为

3 ……………12 分 2

22、已知函数 f ( x) ? (2 ? x)e x ,曲线 f ( x ) 的在 x ? 0 处的切线方程为 l. (1)求证:当 x ? 0 时, f ( x ) 图像在 l 下方; (2)若 n ? N * ,求证: f ( ?

1 n

1 1 1 1 ) ? 2 f (2 ? ) ? 2 ? . n ?1 e n n
y ? x ? 2 …………1 分
…………… 2 分

解: (1) f '( x) ? (1 ? x)e x , f (0) ? 2 , f '(0) ? 1 ,所以 l:

设 g ( x) ? (2 ? x)e x ? x ? 2 , g '( x) ? f ( x) ? ( x ? 2) ? (1 ? x)e x ? 1 ,

g ''( x ) ? ? x e x ,当 x ? 0 时, g ''( x ) ? 0 , g '( x ) 递减,又 g '(0) ? 0 ,∴ g '( x ) ? 0 ,…4 分
所以 g ( x ) 递减,又 g (0) ? 0 ,所以 g ( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) ? x ? 2 ,即 f ( x ) 图像在 l 下方 …………5 分 (2)由(1)知: (2 ? x)e x ? x ? 2 ,则 f ( ?

1 n

1 1 1 ) ? 2? ? n ?1 n n ?1

………6 分

设 h( x) ? e x ? x ? 1 , h '( x) ? e x ? 1 ,当 x ? 0 时, h '( x ) ? 0 ,所以 h( x) ? e x ? x ? 1 在 x ? 0 时递增, 而 h(0) ? 0 ,所以 h( x ) ? 0 ,即 e x ? x ? 1 在 x ? 0 时恒成 立,所以 e n ?
1 n 1

1 1 ? 1 1 1 ,所以 , ?1 ?1 en n n

即e

?

?

n 。………10 分 n ?1

于是

1 1 1 1 1 1 2? n 1 ?n 1 ,………11 分 f (2 ? ) ? [2 ? (2 ? )] e ? e ? 2 2 e n e n n n ?1

所以 f ( ?

1 n

1 1 1 1 1 1 1 ) ? 2 f (2 ? )? 2? ? ? ? 2 ? ………12 分 n ?1 e n ?1 n n ?1 n ?1 n

-9-


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