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河北省邢台一中2015-2016学年高二上学期第二次月考数学试卷(文科) Word版含解析


2015-2016 学年河北省邢台一中高二 (上) 第二次月考数学试卷 (文 科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求. 1.经过点(14,10) ) ,且平行于直线 4x﹣2y+7=0 的直线方程是( A.x﹣2y+6=0 B.4x﹣2y+9=0 C.x+2y﹣34=0 D.2x﹣y﹣18=0 2.若直线 ax+2y+6=0 和直线 x+a(a+1)y+(a2﹣1)=0 垂直,则 a 的值为( A.0 或﹣ B.0 或﹣ C.0 或 D.0 或 )

3.以圆 x2+2x+y2=0 的圆心为圆心,半径为 2 的圆的方程是( ) 2 2 2 2 2 2 A. B. C. (x﹣1) +y =4 (x﹣1) +y =2 (x+1) +y =2 D. (x+1)2+y2=4 4.某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱长度为( )

A.

B.

C.

D. )

5.设 m,n 是两条不同直线,α,β 是两个不同的平面,则下列命题不正确的是( A.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α B.若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β C.若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n D.若 m⊥α,m?β,则 α⊥β 6.两直线 ax+y﹣4=0 与 x﹣y﹣2=0 相交于第一象限,则实数 a 的取值范围是( A.﹣1<a<2 B.a>﹣1 C.a<2 D.a<﹣1 或 a>2 7.两个圆 C1:x2+y2+2x+2y﹣2=0 与 C2:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0 的公切线有且仅有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 8.若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为 ,则其外接球的表面积为( ) )

)

A.18π B.36π C.9π

D.

9. M, N 分别是 A1B1, A1C1 的中点, BC=CA=CC1, ∠BCA=90°, 直三棱锥 ABC﹣A1B1C1 中, ) 则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( A. B. C. D.

10.如图,在三棱锥 S﹣ABC 中,底面是边长为 1 的等边三角形,侧棱长均为 2,SO⊥底面 ABC,O 为垂足,则侧棱 SA 与底面 ABC 所成角的余弦值为( )

A.

B.

C.

D.

11. 1) t+ ) 若直线经过点 P (1, 和点 Q (2, , 其中 t>0, 则该直线的倾斜角的取值范围是( A. (0, ] B.[ , ) C. ( , ] D.[ ,π)

)

12.圆:x2+y2﹣2x﹣2y+1=0 上的点到直线 x﹣y=2 的距离最大值是( A.2 B. C. D.

)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上 13.直线 l:ax+y﹣2﹣a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是__________. 14.PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,E,F 分别是点 A 在 PB, PC 上的射影,给出下列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC.其 中正确命题的序号是__________.

15.已知圆 C1: (x+1)2+(y﹣1)2=1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x﹣y﹣1=0 对称,则圆 C2 的 方程为__________.
2 2 16. 3) +y =5 相切, 过点 P (2, 的直线与圆 (x﹣1) 且与直线 ax+y+1=0 垂直, 则 a=__________.

三、解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,∠ABC=90°,PA⊥平面 ABC,E,F 分别为 PB,PC 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC; (2)求证:平面 AEF⊥平面 PAB.

18.已知点 P(1,2)及圆 C:x2+y2+4x﹣12y+24=0.若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长 为 2 ,求 l 的方程. 19.如图,矩形 OABC 的顶点 O 为原点,AB 边所在直线的方程为 3x+4y﹣25=0,顶点 B 的 纵坐标为 10. (Ⅰ)求 OA,OC 边所在直线的方程; (Ⅱ)求矩形 OABC 的面积.

20.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为一直角梯形,侧面 PAD 是等边三角形,其中 BA⊥AD,CD⊥AD,CD=2AD=2AB=2,平面 PAD⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点. (1)求证:BE∥平面 PAD; (2)求证:BE⊥CD; (3)求三棱锥 P﹣ACD 的体积 V.

21.圆经过 P(﹣1,1) 、Q(3,﹣1)两点,并且在 x 轴上截得的弦长等于 6,求圆的方程. 22.已知圆 C 的圆心在坐标原点,且与直线 l1:x﹣y﹣2 =0 相切 (1)求直线 l2:4x﹣3y+5=0 被圆 C 所截得的弦 AB 的长. (2)若与直线 l1 垂直的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 P,Q,若∠POQ 为钝角,求直线 l 纵 截距的取值范围. (3)过点 G(1,3)作两条与圆 C 相切的直线,切点分别为 M,N 求直线 MN 的方程.

2015-2016 学年河北省邢台一中高二(上)第二次月考数 学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求. 1.经过点(14,10) ) ,且平行于直线 4x﹣2y+7=0 的直线方程是( A.x﹣2y+6=0 B.4x﹣2y+9=0 C.x+2y﹣34=0 D.2x﹣y﹣18=0 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】设出所求的直线方程为 4x﹣2y+t=0,把(14,10)代入求出参数 t,可得直线方程. 【解答】解:设经过点(14,10) ,且平行于直线 4x﹣2y+7=0 直线方程为 4x﹣2y+t=0, 把(14,10)代入直线方程得: 56﹣20+t=0,∴t=﹣36, ∴所求的直线方程为 4x﹣2y﹣36=0,即 2x﹣y﹣18=0, 故选:D. 【点评】本题考查用待定系数法求直线的方程. 2.若直线 ax+2y+6=0 和直线 x+a(a+1)y+(a2﹣1)=0 垂直,则 a 的值为( A.0 或﹣ B.0 或﹣ C.0 或 D.0 或 )

【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【专题】直线与圆. 【分析】由直线与直线垂直的条件得 a+2a(a+1)=0,由此能求出 a 的值. 【解答】解:∵直线 ax+2y+6=0 和直线 x+a(a+1)y+(a2﹣1)=0 垂直, ∴a+2a(a+1)=0, 解得 a=0 或 a=﹣ . 故选:A. 【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线与直线的位置关 系的合理运用. 3.以圆 x2+2x+y2=0 的圆心为圆心,半径为 2 的圆的方程是( ) 2 2 2 2 2 2 A. B. C. (x﹣1) +y =4 (x﹣1) +y =2 (x+1) +y =2 D. (x+1)2+y2=4 【考点】圆的一般方程. 【专题】直线与圆. 【分析】首先把圆的一般式转化为标准式,进一步求出结果. 【解答】解:把圆 x2+2x+y2=0 的方程转化为标准式: (x+1)2+y2=1 圆心坐标为: (﹣1,0) 所以以(﹣1,0)为圆心,半径为 2 的圆的方程为: (x+1)2+y2=4 故选:D

【点评】本题考查的知识要点:圆的标准方程的应用及相关的运算问题. 4.某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱长度为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】画出其直观图,结合图形判断相关几何量的数据,判定 PB 最长,利用勾股定理计算 可得答案. 【解答】解:由三视图知:四棱锥的一条侧棱与底面垂直,且高为 1,如图:

SA⊥平面 ABCD,AD=CD=SA=1,AB=2, ∴最长的侧棱为 SB= = .

故选:C. 【点评】本题考查了由三视图求四棱锥的最长侧棱长,由三视图判断四棱锥的几何特征及相 关几何量的数据是解答本题的关键. 5.设 m,n 是两条不同直线,α,β 是两个不同的平面,则下列命题不正确的是( ) A.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α B.若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β C.若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n D.若 m⊥α,m?β,则 α⊥β 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】综合题. 【分析】对于 A,由线面垂直的性质定理,可得 A 正确; 对于 B,根据垂直于同一直线的两个平面互相平行,可知 B 正确; 对于 C,根据线面平行的性质,可知 m 平行于经过 m 的平面与平面 α 的交线,但不一定平行 于 n(α∩β=n,故 C 不正确; 对于 D,根据面面垂直的判定,可得 D 正确 故可得结论

【解答】解:对于 A,由线面垂直的性质定理可得:若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α 是正确的,所 以 A 正确; 对于 B,根据垂直于同一直线的两个平面互相平行,可知 B 正确; 对于 C,根据线面平行的性质,可知 m 平行于经过 m 的平面与平面 α 的交线,但不一定平行 于 n(α∩β=n) ,故 C 不正确; 对于 D,根据面面垂直的判定,可得 D 正确 故选 C. 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、线、面的位置关系,以及有关的判定定 理与性质定理,并且结合有关公理与定义进行判断即可. 6.两直线 ax+y﹣4=0 与 x﹣y﹣2=0 相交于第一象限,则实数 a 的取值范围是( A.﹣1<a<2 B.a>﹣1 C.a<2 D.a<﹣1 或 a>2 【考点】两条直线的交点坐标. 【专题】方程思想. 【分析】联立方程组解出交点坐标,解不等式即可解决. 【解答】解:由 得 )

∵两直线 ax+y﹣4=0 与 x﹣y﹣2=0 相交于第一象限



解得:﹣1<a<2 故选 A 【点评】本题主要考查直线交点坐标的求解,和不等式的应用.属于基础题. 7.两个圆 C1:x2+y2+2x+2y﹣2=0 与 C2:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0 的公切线有且仅有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 【考点】圆的切线方程. 【分析】先求两圆的圆心和半径,判定两圆的位置关系,即可判定公切线的条数. 【解答】解:两圆的圆心分别是(﹣1,﹣1) , (2,1) ,半径分别是 2,2 两圆圆心距离: ,说明两圆相交, )

因而公切线只有两条. 故选 B. 【点评】本题考查圆的切线方程,两圆的位置关系,是基础题. 8.若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为 ,则其外接球的表面积为( )

A.18π B.36π C.9π

D.

【考点】球的体积和表面积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】根据题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直,因此以三条侧棱为长、宽、高构造正方 体如图所示,该正方体的外接球就是三棱锥的外接球,利用长方体的对角线长公式算出球的 直径,再根据球的表面积公式加以计算,可得答案. AB=AC=AD= , 【解答】 解: 设三棱锥 A﹣BCD 中, 面 ABC、 面 ABD、 面 ACD 两两互相垂直, 则 AB、AC、AD 两两互相垂直,以 AB、AD、AC 为长、宽、高,构造正方体如图所示, 可得该正方体的外接球就是三棱锥 A﹣BCD 的外接球, 设球半径为 R,可得正方体的对角线长等于球直径 2R, 即 2R=3,解得 R= , ∴外接球的表面积是 S=4πR2=4π×( )2=9π. 故选:C.

【点评】本题给出特殊的三棱锥,求它的外接球的表面积.着重考查了多面体的外接球、长 方体的对角线长公式和球的表面积计算等知识,属于基础题. 9. M, N 分别是 A1B1, A1C1 的中点, BC=CA=CC1, ∠BCA=90°, 直三棱锥 ABC﹣A1B1C1 中, ) 则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( A. B. C. D.

【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】空间角;空间向量及应用. 【分析】画出图形,建立空间直角坐标系,从而求出向量 成角的余弦值为| |= .



的坐标,从而 BM 与 AN 所

【解答】解:根据已知条件,分别以 C1A1,C1B1,C1C 所在直线为 x,y,z 轴,建立如图所 示空间直角坐标系,设 CA=2,则: A(2,0,2) ,N(1,0,0) ,B(0,2,2) ,A1(2,0,0) ,B1(0,2,0) ,M(1,1,0) ; ∴ ∴ ∴BM 与 AN 所成角的余弦值为 ; . ;

故选:D.

【点评】考查通过建立空间直角坐标系,利用空间向量求异面直线所成角的方法,能求出空 间点的坐标,向量夹角余弦的坐标公式,弄清向量夹角和异面直线所成角的关系. 10.如图,在三棱锥 S﹣ABC 中,底面是边长为 1 的等边三角形,侧棱长均为 2,SO⊥底面 ABC,O 为垂足,则侧棱 SA 与底面 ABC 所成角的余弦值为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】直线与平面所成的角. 【专题】空间角. 【分析】SO⊥底面 ABC,∠SAO 即侧棱 SA 与底面 ABC 所成角,在 Rt△ SAO 中计算即可得 答案. 【解答】解:SO⊥底面 ABC,O 为垂足,∠SAO 即侧棱 SA 与底面 ABC 所成角, 底面是边长为 1 的等边三角形,AO= ,

在 Rt△ SAO 中,cos∠SAO= 故选 D.

=

=

【点评】本题考查线面角,先作后求的原则,属基础题.

11. 1) t+ ) 若直线经过点 P (1, 和点 Q (2, , 其中 t>0, 则该直线的倾斜角的取值范围是( A. (0, ] B.[ , ) C. ( , ] D.[ ,π)

)

【考点】基本不等式;直线的斜率. 【专题】直线与圆. 【分析】利用直线的斜率公式和均值定理求解. 【解答】解:∵直线经过点 P(1,1)和点 Q(2,t+ ) ,其中 t>0,

∴直线的斜率 k=

=t+ ﹣1≥2

﹣1=1.

∴该直线的倾斜角的取值范围是[



) .

故选:B. 【点评】本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意均 值定理的合理运用. 12.圆:x2+y2﹣2x﹣2y+1=0 上的点到直线 x﹣y=2 的距离最大值是( A.2 B. C. D. )

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题. 【分析】先将圆 x2+y2﹣2x﹣2y+1=0 转化为标准方程: (x﹣1)2+(y﹣1)2=1,明确圆心和半 径,再求得圆心(1,1)到直线 x﹣y=2 的距离,最大值则在此基础上加上半径长即可. 【解答】解:圆 x2+y2﹣2x﹣2y+1=0 可化为标准形式: (x﹣1)2+(y﹣1)2=1, ∴圆心为(1,1) ,半径为 1 圆心(1,1)到直线 x﹣y=2 的距离 , 则所求距离最大为 , 故选 B. 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系,当考查圆上的点到直线的距离问题,基本思路 是:先求出圆心到直线的距离,最大值时,再加上半径,最小值时,再减去半径. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上 13.直线 l:ax+y﹣2﹣a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是﹣2 或 1. 【考点】直线的截距式方程.

【专题】计算题;分类讨论. 【分析】当 a=0 时,直线 l 为 y=2,显然不符合题目要求,所以当 a≠0 时,令 y=0 和 x=0 分别 求出直线在两坐标轴上的截距,根据截距相等列出关于 a 的方程,解方程即可求出 a 值. 【解答】解:根据题意 a≠0,由直线 l:ax+y﹣2﹣a=0, 令 y=0,得到直线在 x 轴上的截距是 根据题意得: ,令 x=0 得到直线在 y 轴上的截距是 2+a,

,即 a2+a﹣2=0,

分解因式得: (a+2) (a﹣1)=0 a= 2 a=1 解得: ﹣ 或 . 故答案为:﹣2 或 1 【点评】此题考查学生理解直线截距式方程应用的条件是截距存在,并会根据直线的方程求 出与坐标轴的截距,是一道基础题. 14.PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,E,F 分别是点 A 在 PB, PC 上的射影,给出下列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC.其 中正确命题的序号是①②③.

【考点】命题的真假判断与应用;空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】对于①②③可根据直线与平面垂直的判定定理进行证明,对于④利用反证法进行 证明,假设 AE⊥面 PBC,而 AF⊥面 PCB,则 AF∥AE,显然不成立,从而得到结论. 【解答】解:∵PA⊥⊙O 所在的平面,BC?⊙O 所在的平面 ∴PA⊥BC,而 BC⊥AC,AC∩PA=A ∴BC⊥面 PAC, 又∵AF?面 PAC, ∴AF⊥BC, 而 AF⊥PC,PC∩BC=C ∴AF⊥面 PCB,而 BC?面 PCB, ∴AF⊥BC,故③正确; 而 PB?面 PCB, ∴AF⊥PB,而 AE⊥PB,AE∩AF=A ∴PB⊥面 AEF, 而 EF?面 AEF,AF?面 AEF ∴EF⊥PB,AF⊥PB,故①②正确, ∵AF⊥面 PCB,假设 AE⊥面 PBC

∴AF∥AE,显然不成立,故④不正确. 故答案为:①②③. 【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定,以及直线与平面垂直的性质,考查化归与 转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力,属于基础题. 15.已知圆 C1: (x+1)2+(y﹣1)2=1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x﹣y﹣1=0 对称,则圆 C2 的 方程为(x﹣2)2+(y+2)2=1. 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】在圆 C2 上任取一点(x,y) ,求出此点关于直线 X﹣Y﹣1=0 的对称点,则此对称点 在圆 C1 上,再把对称点坐标代入 圆 C1 的方程,化简可得圆 C2 的方程. 【解答】解:在圆 C2 上任取一点(x,y) , 则此点关于直线 X﹣Y﹣1=0 的对称点(y+1,x﹣1)在圆 C1: (X+1)2+(y﹣1)2=1 上, ∴有(y+1+1)2+(x﹣1﹣1)2=1, 即 (x﹣2)2+(y+2)2=1, ∴答案为(x﹣2)2+(y+2)2=1. 【点评】本题考查一曲线关于一直线对称的曲线方程的求法:在圆 C2 上任取一点(x,y) ,则 此点关于直线 X﹣Y﹣1=0 的对称点(y+1,x﹣1)在圆 C1 上. 16.过点 P(2,3)的直线与圆(x﹣1)2+y2=5 相切,且与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=2 或﹣ . 【考点】圆的切线方程. 【专题】方程思想;转化思想;数学模型法;直线与圆. 【分析】根据相互垂直的直线斜率之间的关系可设:要求的直线为:x﹣ay+m=0,再利用直线

与圆相切的充要条件可得:

,解出即可.

【解答】解:设要求的直线为:x﹣ay+m=0,





化为:2a2﹣3a﹣2=0, 解得 a=2 或﹣ . 故答案为:2 或﹣ . 【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与圆相切的充要条件、点到直线 的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 三、解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

17.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,∠ABC=90°,PA⊥平面 ABC,E,F 分别为 PB,PC 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC; (2)求证:平面 AEF⊥平面 PAB.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 (1)根据三角形中位线定理可得 EF∥BC,进而根据线面平行的判定定理可得 EF∥ 平面 ABC; (2) 根据 PA⊥平面 ABC, 可得 PA⊥BC, 结合∠ABC=90°, 及线面垂直的判定定理可得 BC⊥ 平面 PAB,进而由线面垂直的第二判定定理可得 EF 平面 PAB,最后由面面垂直的判定定理可 得平面 AEF⊥平面 PAB. 【解答】证明: (1)∵E,F 分别为 PB,PC 的中点. ∴EF∥BC, 又∵BC?平面 ABC,EF?平面 ABC, ∴EF∥平面 ABC; (2)∵PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴PA⊥BC, 又∵∠ABC=90°, ∴AB⊥BC, 又∵PA∩AB=A,PA,AB?平面 PAB, ∴BC⊥平面 PAB, 由(1)中 EF∥BC, ∴EF⊥平面 PAB, 又∵EF?平面 AEF, ∴平面 AEF⊥平面 PAB. 【点评】本题考查的知识点是线面平行的判定定理,线面垂直的判定定理,面面垂直的判定 定理,是空间线面关系的简单综合应用,难度中档. 18.已知点 P(1,2)及圆 C:x2+y2+4x﹣12y+24=0.若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长 为 2 ,求 l 的方程. 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】综合题;分类讨论;综合法;直线与圆. 【分析】将圆的方程化为标准方程,找出圆心 C 坐标与半径 r,根据题意画出相应的图形,取 AB 的中点为 D,连接 CD,可得出 CD 垂直于 AB,得出|AD|与|AC|的长,利用勾股定理求出 |CD|的长,然后分两种情况考虑: (i)直线 l 斜率存在时,设斜率为 k,表示出 l 方程,由 C

到 l 的距离为 3,利用点到直线的距离公式求出 k 的值,确定出此时 l 的方程; (ii)当直线 l 的斜率不存在时,直线 x=0 满足题意,综上,得到所求的直线方程. 【解答】解:圆的方程可化为: (x+2)2+(y﹣6)2=16, ∴圆心 C 坐标为(﹣2,6) ,半径 r=4, 如图所示,|AB|=2 ,设 D 是线段 AB 的中点,则 CD⊥AB, ∴|AD|= , 又∵|AC|=4. 故在 Rt△ ACD 中,可得|CD|=3… ∴当直线 l 的斜率不存在时,满足题意,此时方程为 x=1. 当直线 l 的斜率存在时,设所求直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为:y﹣2=k(x﹣1) , 由点 C 到直线 AB 的距离公式: 此时,直线 l 的方程为 7x+24y﹣41=0… ∴所求直线 l 的方程为 x=1 或 37x+24y﹣41=0… =3,得 k=﹣ .

【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:垂径定理,勾股定理,点到直线 的距离公式,利用了数形结合及分类讨论的思想,是一道综合性较强的试题. 19.如图,矩形 OABC 的顶点 O 为原点,AB 边所在直线的方程为 3x+4y﹣25=0,顶点 B 的 纵坐标为 10. (Ⅰ)求 OA,OC 边所在直线的方程; (Ⅱ)求矩形 OABC 的面积.

【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程;直线的一般式方程与直 线的平行关系. 【专题】直线与圆. 【分析】 (Ⅰ) 可知 , 由直线的平行和垂直关系可得相关直线的斜率, 可得方程; (Ⅱ)

易得 B(﹣5,10) ,由距离公式可得|OA|和|AB|,可得面积. 【解答】解: (Ⅰ)∵OABC 是矩形,∴OA⊥AB,OC∥AB. 由直线 AB 的方程 3x+4y﹣25=0 可知 ,



, ,即 4x﹣3y=0, ,即 3x+4y=0.

∴OA 边所在直线的方程为 OC 边所在直线的方程为

(Ⅱ)∵点 B 在直线 AB 上,且纵坐标为 10, ∴点 B 的横坐标由 3x+4×10﹣25=0 解得 x 为﹣5,即 B(﹣5,10) . ∴ ,

∴ ∴矩形 OABC 的面积 S=|OA||AB|=50



【点评】本题考查直线的一般式方程和平行垂直关系,属基础题. 20.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为一直角梯形,侧面 PAD 是等边三角形,其中 BA⊥AD,CD⊥AD,CD=2AD=2AB=2,平面 PAD⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点. (1)求证:BE∥平面 PAD; (2)求证:BE⊥CD; (3)求三棱锥 P﹣ACD 的体积 V.

【考点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置 关系. 【专题】综合题;空间位置关系与距离. 【分析】 (1)证 BE∥平面 PAD,可先构建平面 EBM,证明平面 EBM∥平面 APD,由面面平 行,得到线面平行; (2)取 PD 的中点 F,连接 FE,根据线面垂直的判定及性质,及等腰三角形性质,结合线面 垂直的判定定理可得 AF⊥平面 PDC,又由 BE∥AF,可得 BE⊥平面 PDC; (3)利用 VP﹣ACD=VC﹣PAD,即可求三棱锥 P﹣ACD 的体积 V. 【解答】 (1)证明:取 CD 的中点 M,连接 EM、BM,则四边形 ABMD 为矩形 ∴EM∥PD,BM∥AD; 又∵BM∩EM=M, ∴平面 EBM∥平面 APD; 而 BE?平面 EBM, ∴BE∥平面 PAD;… (2)证明:取 PD 的中点 F,连接 FE,则 FE∥DC,BE∥AF, 又∵DC⊥AD,DC⊥PA,

∴DC⊥平面 PAD, ∴DC⊥AF,DC⊥PD, ∴EF⊥AF, 在 Rt△ PAD 中,∵AD=AP,F 为 PD 的中点, ∴AF⊥PD,又 AF⊥EF 且 PD∩EF=F, ∴AF⊥平面 PDC,又 BE∥AF, ∴BE⊥平面 PDC, ∴CD⊥BE;… (3)解:由(2)知∴CD⊥平面 PAD, ∵△PAD 是边长为 1 的等边三角形, ∴VP﹣ACD=VC﹣PAD= ∴三棱锥 P﹣ACD 的体积为 …(14 分) =

【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,考查三棱锥 P ﹣ACD 的体积,熟练掌握线面平行及线面垂直的判定定理是解答的关键. 21.圆经过 P(﹣1,1) 、Q(3,﹣1)两点,并且在 x 轴上截得的弦长等于 6,求圆的方程. 【考点】圆的一般方程. 【专题】计算题;函数思想;综合法;直线与圆. 【分析】设所求圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,由圆经过点 P(﹣1,1) 、Q(3,﹣1) ,可 y=0 x D E F 得系数的方程组,再令 ,利用在 轴上截得的弦长,由此求得 , , 的值,从而求得 圆的一般方程. 【解答】解:设所求圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由圆过点 P(﹣1,1) 、Q(3,﹣1) ,得:﹣D+E+F=﹣2,3D﹣E+F=﹣10, 令 y=0,x2+Dx+F=0,|x1﹣x2|= =6,

解得:D=2,E=8,F=﹣8 或 D=﹣6,E=﹣8,F=0, 故所求圆 C 的方程为 x2+y2+2x+8y﹣8=0 或 x2+y2﹣6x﹣8y=0. 【点评】本题主要考查求圆的一般方程的方法,直线和圆相交的性质,弦长公式的应用,属 于中档题. 22.已知圆 C 的圆心在坐标原点,且与直线 l1:x﹣y﹣2 =0 相切 (1)求直线 l2:4x﹣3y+5=0 被圆 C 所截得的弦 AB 的长. (2)若与直线 l1 垂直的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 P,Q,若∠POQ 为钝角,求直线 l 纵 截距的取值范围.

(3)过点 G(1,3)作两条与圆 C 相切的直线,切点分别为 M,N 求直线 MN 的方程. 【考点】圆方程的综合应用;直线与圆的位置关系. 【专题】综合题;转化思想;综合法;直线与圆. 【分析】 (1)先求出圆 C 的标准方程,再求直线 l2:4x﹣3y+5=0 被圆 C 所截得的弦 AB 的长; (2)设直线 l 的方程为:y=﹣x+b,联立圆 C 方程,运用判别式大于 0,韦达定理以及向量的 数量积的坐标表示,化简解不等式,即可得到所求范围; (3)求出以 G 点为圆心,线段 GM 长为半径的圆 G 方程,与圆 C 的标准方程相减,即可求 直线 MN 的方程. 【解答】解: (1)由题得:原点到直线 l1:x﹣y﹣2 =0 的距离为圆的半径 2,故圆 C 的方 2 2 x +y =4 程为 又圆心到直线 l2:4x﹣3y+5=0 的距离 d= ∴|AB|=2 =2 … =1

(2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,直线 L 的方程为:y=﹣x+b, 2 2 2 2 联立 x +y =4 得:2x ﹣2bx+b ﹣4=0, 由△ =(﹣2b)2﹣8(b2﹣4)>0,得 b2<8, 且 x1+x2=b,x1x2= ∵∠POQ 是钝角,∴ ? <0 即 x1x2+y1y2<0,且 与 不是反向向量, 而 y1y2=(﹣x1+b) (﹣x2+b) ∴x1x2+y1y2=2x1x2﹣b(x1+x2)+b2<0 代入韦达定理,解之得﹣2<b<2, 而当 与 反向时,b=0, 故所求直线纵截距的范围是(﹣2,0)∪(0,2)… (3)|OG|= ,|GM|= 故以 G 为圆心,GM 的长为半径的圆 G 方程为(x﹣1)2+(y﹣3)2=6 又圆 C 方程为:x2+y2=4(2) 由(1)﹣(2)得直线 MN 方程为 x+3y﹣4=0… 【点评】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查圆与圆的位置关系,考查学生 的计算能力,属于中档题.


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