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2015-2016学年高中数学 3.2.3一元二次不等式的解法课件 新人教A版必修5


3.2.3 一元二次不等式的解法(习题课) 栏 目 链 接 1.从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.将其他不等式化为一元二次不等式并求解. 3.一元二次不等式的解集是实数集R和空集?的 含义及应用. 栏 目 链 接 题型1 三个二次间关系的应用 例1 已知方程x2+2mx-m+12=0的两根都大于2,求实数m 的取值范围. 解析:方法一 设方程x2+2m

x-m+12=0的两根为x1,x2, 由题意知: 2 Δ = 4m -4(-m+12)≥0, ? 栏 目 链 接 ? ?x1+x2=-2m>4, ? ?(x1-2)(x2-2)>0, ? 即?m<-2, ? ?3m+16>0, 2 m ? +m-12≥0, ? ?m<-2, 解得? 16 m >- ? ? 3 m≤-4或m≥3, 16 ?- <m≤-4. 3 ? 16 ? 所以实数m的取值范围是?- 3 ,-4?. ? ? 方法二 设函数f(x)=x2+2mx-m+12,则 ? ?f(2)=2 +2m· 2-m+12>0, ? b 2m ? ?-2a=- 2 >2, m≤-4或m≥3, ? ? 16 16 即?m>- 3 , ?- <m≤-4. 3 ? ?m<-2 Δ≥0, 2 栏 目 链 接 ? 16 ? 所以实数m的取值范围是?- 3 ,-4?. ? ? 点评:注意二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的联 系,解不等式时注意利用相应二次函数的图象,解不等式组时注意 利用数轴直观求解. 栏 目 链 接 1.已知方程x2+(2m-3)x+m2-15=0的两个根一个大于-2, 一个小于-2,求实数m的取值范围. 解析:设函数f(x)=x2+(2m-3)x+m2-15. 2 2 ? ?Δ=(2m-3) -4(m -15)>0, 则由题意:? ? ?f(-2)<0, 栏 目 链 接 ? ?-12m+69>0, 即? 2 解得-1<m<5. ? ?m -4m-5<0, ∴m的取值范围是(-1,5). 题型2 一元二次不等式恒成立问题 例2 已知不等式ax2+(a-1)x+a-1<0对于所有的实数x都成 立,求a的取值范围. 解析:若a=0,原不等式为一次不等式,可化为-x-1<0, 显然它对于任意的x不都成立,所以a=0不符合题目要求. 若a≠0,原不等式为二次不等式,由于所给不等式对所有实数x 都成立,所以对应二次函数的图象抛物线必须开口向下,且判别式 栏 目 链 接 Δ<0, ? ?a<0, 即? 2 ? ( a - 1 ) -4a(a-1)<0, ? ① ② 整理②,得3a2-2a-1>0, 1 解得a<- 或a>1. 3 1 ∴? ∴a<- . 1 3 a<- 或a>1. 3 ? ? 1? ∴a的取值范围是?-∞,-3?. ? ? ?a<0, 栏 目 链 接 点评:(1)不等式ax2+bx+c>0的解集是全体实数(或恒成立)的 ? ?a>0, 条件:①当a=0时,b=0,c>0;②当a≠0时,? ?Δ<0. ? (2)不等式ax +bx+c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件: ? ?a<0, ①当a=0时,b=0,c<0;②当a≠0时,? ?Δ<0. ? 2 栏 目 链 接 类似地,还有f(x)≤a恒成立?[f(x)]max≤a;f(x)≥a恒成立? [f(x)]min≥a. 2.已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空 集,求实数a的取值范围. 解析:当a2-4=0时

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