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函数的单调性与导数(导学案)


课题:函数的单调性与导数(导学案)
学习目标
1.了解函数的单调性与导数的关系 2.能运用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间。

自主学习
1、 【思考】 如图(1) ,它表示跳水运动中高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t ) ? ?4.9t2 ? 6.5 t ? 10的图像, 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时

间 t 变化的 函数 v(t ) ? h' (t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图像.运动员从起跳到 最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态 有什么区别? (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度 h 随时 间 t 的 增 加 而 增 加 , 即 h(t ) 是 增 函 数 . 相 应 地, .

(2)从最高点到入水,运动员离水面的高 h 随时间 t 的增加而减少,即 h(t ) 是减 函数.相应地, .

2、 【思考】 导数的几何意义是函数在该点处 的切线的斜率,函数图象上每个点处的切线 的斜率都是变化的,那么函数的单调性与导 数有什么关系呢?

【引导】可先分析函数的单调性与导数的符 号之间的关系. 【探究】观察下面函数的图象,探讨函数的 单调性与其导数正负的关系. (1) 函数 y ? x 的定义域为 域上是 ,其导数 , 并且在定义 ;
0 , ) , 在 (??

(2) 函数 y ? x2 的定义域为

上单调

, ( ? ) ? 上单调 , 在0



而 y? ? ( x2 )? ? 2 x ,当 x ? 0 时,其导数 其导数 。
1

;当 x ? 0 时,其导数

;当 x ? 0 时,

(3)函数 y ? x3 的定义域为

,在定义域上为

; ;

而 y? ? ( x3 )? ? 3x2 ,若 x ? 0 ,则其导数 (4)函数 y ? 单调

,当 x ? 0 时,其导数

1 , ?? ) 上 的定义域为 (??,0) (0, ??) ,在 (??,0) 上单调 ,在 (0 x 1 1 而 y? ? ( )? ? ? 2 ,因为 x ? 0 ,显然 y? ? 0 . x x

【总结】以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明,在区间 ( a , b) 内,如 果函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增,那么 个区间内单调递减,那么 . ;如果函数 y ? f ( x) 在这

【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系?

【探究】如图,导数 f ' ( x0 ) 表示函数 f ( x) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率. 在 x ? x0 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“ 这时,函数 f ( x) 在 x0 附近单调 ; ”式的,这 ”式的,

在 x ? x1 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“ 时,函数 f ( x) 在 x1 附近单调 结论: .

函数的单调性与导数的关系:在某个区间 ( a , b) 内, 如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内 如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内 特别的,如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是 问: f ?( x) ? 0 能推出 f ( x) 为增函数,反过来成立么?
课本:例 1 例 2 例 3





小结:求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤:

2

巩固练习
1. 函数

y ? f ( x) 是定义在

R 上的可导函数,则

y ? f ( x) 为

R 上的单调增函数是

f ?( x) ? 0的
A.充分不必要条件 C.充要条件 2.若在区间 (a, b) 内有 A.

( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

f ?(x) ? 0 ,且 f (a) ? 0 ,则在区间 (a, b) 内有 f (x) ? 0
C.

( )

f (x) ? 0

B.

f (x) ? 0

D.不能确定 ( )

3.(2009.广东高考)函数 A. (??,

f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是
C. ( 1,

2)

B. (0, 3)

4)

D. (2,

? ?)
( )

4.若函数 A. a 5.函数 当a
2

y ? a( x3 ? x) 的递减区间为 (? 3 , 3 ) ,则 a 的范围是 3 3
B. ? 1 ?

?0

a?0

C. a

?1

D. 0 ?

a ?1

f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? c ,其中 a, b, c 为实数,
? 3b ? 0 时, f ( x) 是
B.减函数 C.常数 D.既不是增函数也不是减函数 ( ) B.减函数 ( )

A.增函数 6.

y ? x ? sin x 在[0, ? ) 上是

A.增函数 C.在 (0,

? ) 内为增函数, (? , ? ) 内为减函数
2 2 2 2

D.在 (0,

? ) 内为减函数, (? , ? ) 内为增函数

3

7.若函数 y

? 2 x3 ? ax 2 ? 1( a 为常数)在区间 (??, 0) 和 (2, ? ?) 内单调递增,
2) 单调递减,求 a 的值.

在区间 (0,

8.确定函数 y

? 1 ? ln( x ? 1) 的单调区间. x

4


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