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2010年全国高中数学联赛试题参考答案


2010 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)
考试时间:2010 年 10 月 17 日 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1.函数 f ( x) ? x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是______________. 2.已知函数 y ? (a cos2 x ? 3)sin x 的最小值为 ?3 ,则实数 a 的取值范围是_____________. 3.双曲线 x2 ? y 2 ? 1的右半支与直线 x ? 100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为 整数的点)的个数是___________. 4.已知 {an } 是公差不为 0 的等差数列, {bn } 是等比数列,其中 a1 ? 3, b1 ? 1, a2 ? b2 ,3a5 ? b3 ,且 存在常数 ? , ? 使得对每一个正整数 n 都有 an ? log? bn ? ? ,则 ? ? ? ? ____________. 5. 函数 f ( x) ? a2 x ? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1) 在区间 x ?[?1,1] 上的最大值为 8,则它在这个区间上的 最小值是___________________. 6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则轮 由另一人投掷.先投掷人的获胜概率为_________________.
P 是 CC1 的中点,二面角 B ? A1P ? B1 ? ? , 则 7. 正三棱柱 ABC ? A 1B 1C 1 的 9 条棱长都相等,

8:00—9:20

sin ? ? _____________.

8.方程 x ? y ? z ? 2010 满足 x ? y ? z 的正整数解 ( x, y, z ) 的个数是_____________. 二、解答题(本题满分 56 分) 9.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,当 0 ? x ? 1 时, | f ?( x) |? 1 ,试 求 a 的最大值. 10. (本小题满分 20 分)已知抛物线 y 2 ? 6 x 上的两个动点 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) ,其中 x1 ? x2 且

x1 ? x2 ? 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求△ ABC 面积的最大值.

11. (本小题满分 20 分)证明:方程 2 x3 ? 5 x ? 2 ? 0 恰有一个实根 r ,且存在唯一的严格递增正 整数列 {an } ,使得
2 ? r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? . 5
1

2010 年全国高中数学联合竞赛
一试试题参考答案与评分标准

一、填空题 1. [?3, 3] . 3. 9800 . 5. ? 2. ?

3 ? a ? 12 2

4. 3 ? 3 3 . 6.

1 . 4

12 . 17

7.

10 . 4

8. 336675 .

1.

2..

2

3.由对称性知,只需先考虑 x 轴上方的情况,设 y ? k (k ? 1, 2,?,99) 与双曲线右半支交于点 Ak ,与直线

x ? 100 交于点 Bk ,则线段 Ak Bk 内部的整点个数为 99 ? k ,从而在 x 轴上方区域内部整点的个数为

? (99 ? k ) ?99 ? 49,
k ?1

99

又 x 轴上有 98 个整点, 则所求整点个数为 2 ? 49 ? 99+98=9800 . 4.

5.

3

6.

=

12 . 17

7.

4

8.

5

二、解答题 9.

6

10.

7

8

11.

9



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