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广东省梅州市2014届高三3月总复习质检数学【理】试题及答案


梅州市高三总复习质检试卷(2014.3) 数学(理科)
一、选择题(40 分) 1、设集合 M={x|x2+x-2<0, x ? R },N={x|0<x≤2},则 M∩N= A、(-1,2) B、(-2,1] C、(0,1] D、(0,1) 2、在复平面内,复数

5i 的对应点位于 2?i
C、第三象限 D、第四象限

/>A、第一象限 B、第二象限 3、下列命题中的假命题是

4、已知向量 a ? (?1,1), b ? (3, m), 若a (a+b).则m = A、2 B、-2 C、-3 D、3 5、阅读右面的程序框图,则输出的 S= A、14 B、20 C、30 D、55 6、已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是

1 2 1 B、 6 1 C、 12 1 D、 18
A、 7、如图,设 D 是图中连长为 2 的正方形区域,E 是函数 y=x3 的图 轴及 x=±1 围成的阴影区域,向 D 中随机投一点,则该点落入 E 中的概率为 象与 x

A、

1 16

B、

1 8

C、

1 4

D、

1 2

8、在实数集 R 中定义一种运算“*”,对于任意给定的 a,b∈R,a*b 为唯一确定的实数,且具有性质; (1)对任意 a,b∈R,a*b=b*a;(2)对任意 a∈R,a*0=a; (3)对任意 a,b∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.

关于函数 f ( x ) = (2 x )*

1 的性质,有如下说法: 2x
1 1 ),( , +∞) . 2 2
C、2 D、3

①函数 f(x)的最小值为 3;②函数 f(x)为奇函数; ③函数 f(x)的单调递增区间为(?∞ , ? 其中所有正确说法的个数为 A、0 B、1 二、填空题(30 分) (一)必做题(9-13 题) 9、函数 f ( x) ? ?

? x ? 1, x ? 0
x ?2 ? x, x ? 0

,则 f(f(0))的值为____

10、 (2 x ? 1)5 的展开式中 x3 的项的系数是____(用数字作答)。

11、已知双曲线 C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的长轴的端点、焦点,则双曲线 C 的方 25 16

程是____ 12、已知集合 A={x|x2-2x-3>0 },B={x|ax2+bx+c≤0},若 A∩B={x|3<x≤4},

b2 a ? 的最小值为____ A∪B=R,则 a c2
13、已知函数 f(x)=x-[x],其中[x]表示不超过实数 x 的最大整数,若关于 x 的方程 f(x) =kx+k 有三个不同的实根,则实数 k 的取值范围是____ (二)选题题(14-15 题,只能选做一题) 14 (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xoy 中, 直线 l 的参数方程是 ?

?x ? t ? 3 (参数 t ? R) , ?y ? 3?t

圆 C 的参数方程是 ?

? x ? 2cos ? (参数θ ? R),则圆 C 的圆心到直线 l 的距离为____________. ? y ? 2sin ? ? 2

15.(几何证明选讲选做题)如右图,从圆 O 外一点 P 引圆 O 的割线 PAB 和 PCD,PCD 过圆心 O, 已知 PA=1,AB=2,PO=3,则圆 O 的半径等于____

三、解答题(共 80 分)

16、(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 示。 (1)求函数 f(x)的解析式,并写出 f(x)的单调减区间; (2)△ABC 的内角分别是 A,B,C,若 f(A)=1,cosB=

?
2

) 的部分图象如图所

4 ,求 sinC 的值。 5

17、(本小题满分 12 分)某班共有学生 40 人,将一次数学考试成绩(单位:分)绘制成频率分布 直方图,如图所示. (1)请根据图中所给数据,求出 a 的值; (2)从成绩在[50,70)内的学生中随机选 3 名学生,求这 3 名学生的成绩都在[60,70)内的概率; (3)为了了解学生本次考试的失分情况,从成绩在[50,70)内的学生中随机选取 3 人的成绩进行 分析,用 X 表示所选学生成绩在[60,70)内的人数,求 X 的分布列和数学期望.

18、(本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为平 形, BC⊥平面 PAB, AB=BC=

行四边

1 PB, ∠APB=30°, M 为 PB 的中点。 2

(1)求证:PD∥平面 AMC; (2)求锐二面角 B-AC-M 的余弦值。

19、(本小题满分 14 分)设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn,已知 an?1 ? 2Sn ? 2(n ? N*) 。 (1)求数列{ an }的通项公式;

(2)在 an 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成一个公差为 d 的等差数列。 (I)在数列{ dn }中是否存在三项 dm , dk , d p (其中 m,k,p 是等差数列)成等比数列?若存在,求 出这样的三项;若不存在,说明理由; (II)求证:

20、(本小题满分 14 分)如图,椭圆 x ?
2

y2 ? 1(0 ? m ? 1) 的左顶点为 A,M 是椭圆 C 上异点 A 的 m

任意一点,点 P 与点 A 关于点 M 对称。 (1)若点 P 的坐标为 ( ,

9 4 3 ) ,求 m 的值; 5 5

(2)若椭圆 C 上存在点 M,使得 OP⊥OM,求 m 的取值范围。

21、(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=ax2+ln(x+1)。 (1)当 a=-

1 ,求函数 f(x)的单调区间; 4

(2)当 x ? [0, ??) 时,函数 y=f(x)图象上的点都在 ? 的取值范围。 (3)求证:

?x ? 0 所表示的平面区域内,求实数 a ?y ? x ? 0

e 为自然对数的底数)

梅州市总复习高三质检试卷(2014.03) 数学(理科)参考答案
一、 选择题:(本题共有 8 小题,每题 5 分,共计 40 分)

DBBCC ABB 解析:8.在(3)中,令 c=0,则 a ? b ? ab ? a ? b ? f ( x ) ? 1 ? 2 x ? 正 确 , 而 f ?( x) ? 2 ?

1 , 容易知道①、②不 2x

1 1 ? 0 ? x ? ? , 易 知 函 数 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 2 2x 2

1 1 (?? ,? ), ( ,?? ) ,选 B. 2 2
二、 填空题:(本题共有 6 小题,每题 5 分,共计 30 分) (一)必做题(9~13题) 9.1 10. 80 11.

x2 y 2 ? ?1 9 16

12.

3 2

13. ? ?1, ? ? ? ? , ? 2 4 3

? ?

1? ?

?1 1 ? ? ?

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. 2 2 15. 6

解析: 13. 关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? k 有三个不同的实数根,转化为 y ? f ( x) ,

y ? kx ? k ? k ? x ?1? ,两个函数图像有三
个不同的交点,函数 y ? f ( x) 的图像如图, 函数 y ? k ? x ? 1? 恒过定点为 ? ?1,0? ,观察图像易得: k ? ? ?1, ? ? ? ? , ? . 2 4 3

? ?

1? ?

?1 1 ? ? ?

15. 设 半 径 为 r , 则 PC ? PO? PC?3 ? r , PD ? PO ? OD ? 3 ? r . 根 据 割 线 定 理 可 得

PA? PB? PC? PD ,即 1? (1 ? 2) ? (3 ? r )(3 ? r ) ,所以 9 ? r 2 ? 3, r 2 ? 6 ,所以 r ? 6 .
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 解:(1)由图象最高点得 A=1, ?????1 分

1 2? ? 1 2? ? ? ?, ?T ? ? ? , ?? ? 2 . 2 3 6 2 ? ? ? 当 x ? 时, f ( x) ? 1 ,可得 sin(2 ? ? ? ) ? 1 , 6 6 ? ? 因为 | ? |? ,所以 ? ? . 2 6
由周期 T ?

????2 分

? f ( x) ? sin( 2 x ?

?

6

) .

????4 分

由图象可得 f ( x) 的单调减区间为 [k? ? (2)由(I)可知,

?
6

, k? ?

sin( 2 A ?

?
6

2? ], k ? Z . 3

??6 分

) ? 1,

?0 ? A ? ? , ?

?
6

? 2A ?
.

?
6

?

?2A ?

?
6

?

?
2

,A?

?
6

13? , 6
????8 分 ?????9 分 ????10 分 . ??12 分

3 . 5 ? sin C ? sin(? ? A ? B) ? sin( A ? B) ? 0 ? B ? ? ,? sin B ? 1 ? cos 2 B ?

? sin A cos B ? cos A sin B

?

1 4 3 3 4?3 3 . ? ? ? ? 2 5 2 5 10

17.(本小题满分 12 分) 解:(1)根据频率分布直方图中的数据,可得

1 ? (0.005 ? 0.0075 ? 0.0225 ? 0.035) ?10 ? 0.1 ? 0.07 ? 0.03 , 10 所以 a ? 0.03 . ???????2 分 a?
(2)学生成绩在 [50,60) 内的共有 40×0.05=2 人,在 [60,70) 内的共有 40×0.225=9 人, 成绩在 [50,70) 内的学生共有 11 人. ?????4 分

设“从成绩在 [50,70) 的学生中随机选 3 名,且他们的成绩都在 [60,70) 内”为事件 A, 则 P( A) ?
3 C9 28 . ? 3 C11 55

所以选取的 3 名学生成绩都在 [60,70) 内的概率为 (3)依题意, X 的可能取值是 1,2,3.

28 . 55

???6 分

??????7 分

P( X ? 1) ?

CC 3 ; ? 3 C11 55

2 2

1 9

1 2 C2 C9 24 ; ? 3 C11 55 28 P( X ? 3) ? P( A) ? . 55 所以 X 的分布列为 1 X 3 P 55 3 24 28 27 EX ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 55 55 55 11

P( X ? 2) ?

?????10 分

2

3

24 55

28 55

???????12 分

18.(本小题满分 14 分)

解:(1)证明:连接 BD ,设 BD 与 AC 相交于点 O ,连接 OM , 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 , ∴ 点 O 为 BD 的 中 点 . ? ? ?? 2 分

∵ M 为 PB 的中点,∴ OM 为 ?PBD 的中位线, ∴ OM ?? PD . ???? 4 分

P

∵ OM ? 平面AMC , PD ? 平面AMC , ∴ PD ?? 平面AMC . ?????6 分 D O C G B F M A

(2)不妨设 AB ? BC ? 2, 则 PB ? 4 . 在 ?PAB 中,

2 4 ? , ? sin ?PAB sin 30

得 sin ?PAB ? 1,? ?PAB ? 90? , 即 PA ? AB ,且 PA ? 2 3 . ∵ BC ? 平面 PAB , PA ? 平面 PAB , 且 BC ? AB ? B , ∴ PA ? 平面ABCD . 取 AB 的中点 F ,连接 MF ,则 MF ?? PA ,且 MF ?

?????????8 分 故 PA ? BC ,

1 PA ? 3 .????10 分 2

∴ MF ? 平面ABCD . AC ? 平面 ABCD ,? MF ? AC . 作 FG ? AC ,垂足为 G ,连接 MG , MF ∴ AC ? 平面MGF ,∴ AC ? MG . ∴ ? MGF 为二面角 B ? AC ? M 的平面角. 在 Rt ?AFG 中, ?BAC ? 45 ,得 GF ?
?

FG ? F ,

??????12 分

2 . 2
2 2 3? 1 2

在 Rt ?MGF 中, cos?MGF ?

GF ? MG

?

7 . 7

二面角 B ? AC ? M 的余弦值为

7 . 7

???? 14 分

19.(本小题满分 14 分) 解:(1)由 an?1 ? 2Sn ? 2(n ? N ) ,
*

可得: an ? 2Sn?1 ? 2(n ? N *,n ? 2) , 两式相减: an?1 ? 3an (n ? N *,n ? 2) . 又 a2 ? 2a1 ? 2 , 因为数列 ?an ? 是等比数列,所以 a2 ? 2a1 ? 2 ? 3a1 ,故 a1 ? 2 . 所以 an ? 2 ? 3n?1 . ??????4 分 ??????2 分

(2)由(1)可知 an ? 2 ? 3n?1 , an?1 ? 2 ? 3n 因为: an?1 ? an ? (n ? 2 ?1)dn ,故: d n ?

4 ? 3n ?1 . n ?1

??????6 分

(Ⅰ)假设在数列 {dn } 中存在三项 dm , dk , d p (其中 m, k , p 成等差数列)成等比数列, 则: ? d k ?
2

? 4 ? 3k ?1 ? 4 ? 3m ?1 4 ? 3 p ?1 ? d m d p ,即: ? ? , ? ? m ?1 p ?1 ? k ?1 ?
16 ? 32 k ? 2

2

? k ? 1?

2

16 ? 3m ? p ? 2 ? ? m ? 1? ? ? p ? 1?

(*)

????8 分

因为 m, k , p 成等差数列,所以 m ? p ? 2k ,
2 (*)可以化简为 k ? mp ,故 k ? m ? p ,这与题设矛盾.

所以在数列 {dn } 中不存在三项 dm , dk , d p (其中 m, k , p 成等差数列)成等比数列.?10 分 (Ⅱ)令 Tn ?

1 1 1 1 ? ? ? ...... ? , d1 d 2 d3 dn
Tn ? 2 3 4 n ?1 ? ? ? ...... ? , 0 1 2 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n ?1 1 2 3 4 n ?1 Tn ? ? ? ? ... ? , 1 2 3 3 4 ?3 4 ? 3 4?3 4 ? 3n

????11 分

两式相减:

2 2 1 1 1 n ?1 Tn ? ? ? ? ...... ? ? 0 1 2 n ?1 3 4?3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n 1? 1 ? 1 ? n ?1 ? ? 1 1 3 3 ? n ?1 ? ? ? ? ? 1 2 4 4 ? 3n 1? 3 5 2n ? 5 ? ? 8 8 ? 3n
????13 分

15 3(2n ? 5) 15 Tn ? ? ? .. 16 16 16 ? 3 n
20.(本小题满分 14 分) 解:(1)依题意, M 是线段 AP 的中点, 因为 A ? ?1, 0 ? , P ? ,

??????14 分

?9 4 3? ?5 5 ? ?, ? ? ?2 2 3? , ? ? . ???2 分 5 5 ? ?

所以 点 M 的坐标为 ? ? 由点 M 在椭圆 C 上, 所以

4 12 4 ? ? 1 ,解得 m ? . 25 25m 7
2

????4 分

(2)设 M ? x0 , y0 ? ,则 x0 ?

y0 2 ? 1 ,且 ?1 ? x0 ? 1. m



???5 分

因为 M 是线段 AP 的中点, 所以 P ? 2x0 ?1,2 y0 ? . 因为 OP ? OM , 所以 x0 ? 2x0 ?1? ? 2 y0 ? 0 .
2

??????7 分



??????9 分

2 x0 2 ? x0 由 ①,② 消去 y0 ,整理得 m ? . 2 x0 2 ? 2
所以 m ? 1 ?

??????11 分

1 6 2 ? x0 ? 2 ? ? ?8 x0 ? 2

?

1 3 , ? 2 4

??13 分

当且仅当 x0 ? ?2 ? 3 时,上式等号成立.

所以

m 的取值范围是 ? ? 0, ?
?

?

1 2

3? ?. 4 ?

?????14 分

21.(本小题满分 14 分) 1 1 解:(1)当 a ? ? 时, f ( x) ? ? x2 ? ln( x ? 1) ( x ? ?1 ), 4 4
1 1 ( x ? 2)( x ? 1) f ?( x) ? ? x ? ?? ( x ? ?1 ), 2 x ?1 2( x ? 1)

???1 分

由 f ?( x) ? 0 解得 ?1 ? x ? 1 ,由 f ?( x) ? 0 解得 x ? 1 . 故函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( ?1,1) ,单调递减区间为 (1, ??) . ???3 分

? x ? 0, (2)因函数 f ( x) 图象上的点都在 ? 所表示的平面区域内,则当 x ? [0, ??) 时, ?y ? x ? 0

不等式 f ( x) ? x 恒成立,即 ax2 ? ln( x ? 1) ? x ? 0 恒成立, 设 g ( x) ? ax2 ? ln( x ? 1) ? x ( x ? 0 ),只需 g ( x)max ? 0 即可. 由 g ?( x) ? 2ax ? ?? 4 分

1 x[2ax ? (2a ? 1)] , ?1 ? x ?1 x ?1 ?x (ⅰ)当 a ? 0 时, g ?( x) ? ,当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 , x ?1 函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立. ???5 分 1 x[2ax ? (2a ? 1)] (ⅱ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? ?1 , ? 0 ,因 x ? [0, ??) ,所以 x ? 2a x ?1 1 1 ① ? 1 ? 0 ,即 a ? 时,在区间 (0, ??) 上, g ?( x) ? 0 ,则函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 2a 2 g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值(或:当 x ? ?? 时, g ( x) ? ?? ),此时不满足条件; 1 1 1 ②若 ? 1 ? 0 ,即 0 ? a ? 时,函数 g ( x) 在 (0, ? 1) 上单调递减, 2a 2 2a 1 在区间 ( ? 1, ??) 上单调递增,同样 g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值,不满足条件. ???8 分 2a x[2ax ? (2a ? 1)] (ⅲ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? ,∵ x ? [0, ??) ,∴ 2ax ? (2a ? 1) ? 0 , x ?1 ∴ g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 在 [0, ??) 上单调递减,故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立.
综上所述,实数 a 的取值范围是 (??,0] . (3)据(2)知当 a ? 0 时, ln( x ? 1) ? x 在 [0, ??) 上恒成立. (或另证 ln( x ? 1) ? x 在区间 ( ?1, ?? ) 上恒成立), 又
2n 1 1 ? 2( n ?1 ? ), (2n ?1 ? 1)(2n ? 1) 2 ? 1 2n ? 1 2 4 8 )(1 ? )(1 ? )? 2?3 3? 5 5?9 ? [1 ? 2n ]} (2n ?1 ? 1)(2n ? 1) ? ln[1 ? 2n ] (2n ?1 ? 1)(2n ? 1)

???10 分

???11 分

∵ ln{(1 ?
? ln(1 ?

2 4 8 ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? )? 2?3 3? 5 5? 9

?

2 4 8 2n ? ? ? ? n ?1 2 ? 3 3? 5 5? 9 (2 ? 1)(2 n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( n?1 ? n )] 2 3 3 5 5 9 2 ?1 2 ?1 1 1 ? 2[( ? n )] ? 1 , 2 2 ?1

2 4 8 2n ? (1 ? )(1 ? )(1 ? )...[ 1 ? n?1 ] ? e. 2?3 3? 5 5?8 (2 ? 1)(2 n ? 1)

???14 分


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