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陕西省西安市第八十三中学2016届高三上学期第一次阶段测试数学(理)试题


西安市第八十三中学 2016 届高三年级第一次阶段测试数学(理科)试题

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1. 集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x2 ? 4} ,则 M ? N ? ( ) A. (1, 2) B. (1, 2] C.

[1, 2) D. [1, 2] 2. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) 1 A. y ? x ? 1 B. y ? ? x 3 C. y ? D. y ? x | x | x 3. 已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1,2,3?, B ? ?2,4? ,则(?UA) ? B 为( A. ?1, 2, 4? 4.命题“若 α = B. ?2,3,4? C. ?0,2,4? D. ?0,2,3,4?



? ,则 tanα =1”的逆否命题是( ) 4 ? ? A. 若 tanα ≠1,则 α ≠ B. 若 α = ,则 tanα ≠1 4 4 ? ? C. 若 α ≠ ,则 tanα ≠1 D. 若 tanα ≠1,则 α = 4 4
? ?

5. 在极坐标系中, 曲线 C 的方程是 ? ? 4sin ? , 过点 M ? 4, ? 作曲线 C 的切线, 则切线长为( 6
?

??

)

A.4

B. 7

C. 2 2

D.2 3 )

6. 若直线的参数方程为 ? A.
2 3

? x ? 1 ? 2t , (t 为参数),则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t

B.-

2 3

C.

3 2

D.-
π 2

3 2

7. 设命题 p:函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为 ;命题 q:函数 y ? cos x 的图象关于直线 x ? 对 称,则下列判断正确的是( A. p 为真 8.函数 f ? x ? ? 则 a 等于( A.0 B.1 B. ?q 为假 ) C. p ? q 为假 D. p ? q 为真

π 2

x2 ? ?1 ? a 2 ? x ? a x


是奇函数,且在 ? 0, ??? 上单调递增,

C.-1

D. ?1

9.设 a , b 是平面 ? 内两条不同的直线,l 是平面 ? 外的一条直线,则“ l ? a ,l ? b ”是“ l ? ? ” 的( )

A. 充分而不必要的条件 C. 充要条件

B. 必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件 )

10.设 a、b、c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是( 1 1 (A)|a-b| ? |a-c|+|b-c| (B)a2+ 2 ? a+

a

a

1 (D) a+3 - a+1 ? a+2 - a ?2 a-b 11. 设函数 f ( x) ? xe x ,则( ) A. x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点[ B. x ? 1 为 f ( x) 的极小值点 C. x ? ?1 为 f ( x) 的极大值点 D. x ? 1 为 f ( x) 的极大值点 12.已知函数 y ? f ( x) 的周期为 2,当 x ? [0, 2] 时, f ( x) ? ( x ?1)2 , (C)|a-b|+ 如果 g ? x ? ? f ? x ? ? log5 x ?1 ,则函数 y ? g ? x ? 的所有零点之和为( A.2 B.4 C.6 D.8 )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上. 13. 若关于 x 的不等式 | a |? | x ? 1| ? | x ? 2 | 存在实数解, 则实数 a 的取值范围是 .

14. 直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 A,B 分 ? x ? 3 ? cos? 别在曲线 C1 : ? ( ? 为参数)和曲线 C2 : ? ? 1 上, ? y ? 4 ? sin ? 则 | AB | 的最小值为 . 15.设奇函数 f(x)的定义域为 R,且周期为 5,若 f(1)<-1,f(4)=loga2(a>0,且 a≠1),则 实数 a 的取值范围是________.
x ? ?2 ? x ? A ?, 16.设集合 A ? {x 0 ? x<1},B ? ?x |1 ? x ? 2?, 函数 f (x) ? ? x0 ? A , ? ?4-2x ? x ? B ?, . 且f ? f (x0 )? ? A, 则 x0 取值区间是

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)
x ? ?1, ? x ? 1, ? 2 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ? x , ?1 ? x ? 2, ? 2 x, x ? 2, ?

(1)若 f (a) ? 3 ,求实数 a 的值. (2)分别写出函数 f ( x) 的单调递增区间和单调递减区间。 18. (本小题满分 12 分)已知二次函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交于 A,B 两点,且 AB ? 2 3 ,它在 y 轴上的截距为 4,又对任意的 x 都有 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) . (1)求二次函数的表达式;? (2)若二次函数的图像都在直线 l:y=x+c 的下方,求 c 的取值范围. 19. (本小题满分 10 分)

设函数 f ? x ? = x ? 1 ? x ? a (a ? 0) a (1)证明: f ? x ? ≥ 2; (2)若 f ? 3? ? 5 ,求 a 的取值范围. 20.(本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极 坐标方程为 ? ? 2cos? , ? ? ?0, ? ? ? ? 2? ? (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直, 根据(1)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标. 21.(本小题满分 13 分) 函数 f (x)的定义域 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D.有 f (x1· x2)=f (x1)+f (x2). (1)求 f (1)的值; (2)判断 f (x)的奇偶性并证明; (3)如果 f (4)=1,f (3x+1)+f (2x-6)≤3,且 f (x)在(0,+∞)上单调递增, 求 x 的取值范围. 22. (本小题满分 13 分)设函数 f ? x ? ?
3x 2 ? ax ?a ? R? ex

(1)若 f ? x ? 在 x ? 0 处取得极值,确定 a 的值,并求此时曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的 切线方程; (2)若 f ? x ? 在 ?3, ?? ? 上为减函数,求 a 的取值范围。

西安市第八十三中学
高三年级第一次阶段测试数学(理)答题卡
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 题 号 答 案 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13._______________ 15. _______________

14._____________ 16._____________

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17、(12 分)

18 、 (12 分)

19、 (10 分)

20 、 (10 分)

21、 (13 分)

22、 (13 分)

2016 届高三第一次阶段考试数学(理科)试题答案
题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 A 14. 3 5 C 15 6 D 7 C 8 B 9 B 10 C 11 A 12 D

13. (??, ?3] ? [3, ??) 17.解:由已知 f (a) ? 3 ,

(1,2)

16 ? log 2

? ?

3 ? ,1? 2 ?

①当 a ? ?1 时, f (a) ? a ? 1 ? 3 ,解得 a ? 2 ,这与 a ? ?1 前提矛盾;
2 ②当 ? 1 ? a ? 2 时, f (a) ? a ? 3 ,解得 a ? ? 3 ,由于 ? 1 ? a ? 2 ,则有 a ?

3;

③当 a ? 2 时, f (a) ? 2a ? 3 ,解得 a ?

3 ,这与 a ? 2 前提矛盾;综上,实数 a 的值为 3 . 2 递增区间是 ? ??, ?1? , ?0, ??? ,递减区间是 ? ?1,0?

18. 解: (1)方法一 ∵ f ? x ? 1? ? f ?1 ? x ? ,∴y=f(x)的对称轴为 x=1, 又 f(x)为二次函数,可设 f(x)=a(x-1) +k (a≠0),又当 x=0 时,y=4,∴a+k=4, 得 f(x)=a(x-1) -a+4,令 f(x)=0,得 a(x-1) =a-4. ∴x=1±
2 2 2

a?4 , a
2

AB ? 2

a?4 . ∵|AB|=2 a

3 ,∴a=-2.f(x)=-2(x-1) +6=-2x +4x+4.

2

方法二 令二次函数 y=f(x)的图像与 x 轴交于 A(x1,0) ,B(x2,0) , (x2>x1), ∵f(x+1)=f(1-x) ,|AB|=2 3 .∴x1+x2=2,x2-x1=2 3 ,得 x1=1- 3 ,x2=1+ 3 . 设二次函数 f(x)=a[x-(1- 3 )] [x-(1+ 3 )].又 f(0)=4,则 a=-2. 2 2 即 f(x)=-2(x-1) +6=-2x +4x+4. 2 2 (2)由条件知-2x +4x+4<x+c 在 x∈R 上恒成立.即 2x -3x-4+c>0 对 x∈R 恒成立. Δ=9+8(4-c)<0,得 c> 19(I)由 a ? 0 ,有 f ( x ) ? x ? (Ⅱ) f (3) ? 3 ?
41 , 8

∴c 的取值范围是(

41 ,+∞). 8

1 1 1 ? x ? a ? x ? ? ( x ? a) ? ? a ? 2 .所以 f ( x) ≥2. a a a

1 5 ? 21 1 。 ? 3 ? a .当 a>3 时, f (3) = a ? ,由 f (3) <5 得 3<a< a 2 a

1 1? 5 ,由 f (3) <5 得 <a≤3. a 2 1 ? 5 5 ? 21 综上,a 的取值范围是( , ). 2 2 20 解: (I)C 的普通方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1(0 ? y ? 1) .可得 C 的参数方程为 ? x ? 1 ? cos t , (t 为参数, 0 ? t ? ? ) ? ? y ? sin t , (Ⅱ)设 D (1 ? cos t ,sin t ) .由(I)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆。
当 0<a≤3 时, f (3) = 6 ? a ? 因为 C 在点 D 处的切线与 t 垂直, 所以直线 GD 与 t 的斜率相同, 故 D 的直角坐标为 (1 ? cos

tan t ? 3, t ?

?
3

.

?

? 3 3 ,sin ) ,即 ( , ) 。 3 3 2 2

21.解:(1)令 x1=x2=1,有 f(1×1)=f(1)+f(1),解得 f(1)=0.[2 分] (2)f(x)为偶函数,证明如下:[4 分] 令 x1=x2=-1,有 f[(-1)× (-1)]=f(-1)+f(-1),解得 f(-1)=0. 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x),∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数.[7 分] (3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3.[8 分] 由 f(3x+1)+f(2x-6)≤3,变形为 f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64).(*) ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|).∴不等式(*)等价于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64).[9 分] 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴|(3x+1)(2x-6)|≤64,且(3x+1)(2x-6)≠0. 7 1 1 解得- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5. 3 3 3 7 1 1 ∴x 的取值范围是{x|- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5}.[12 分] 3 3 3 22. 解:(1)对 f ( x ) 求导得 f ?( x) ?

? 6 x ? a ? e x ? ?3x2 ? ax ? e x

?e ?

x 2

?3x 2 ? ? 6 ? a ? x ? a ? ex

因为 f ( x ) 在 x = 0 处取得极值,所以 f ?(0) ? 0 ,即 a = 0 .

当 a = 0 时, f ( x )= 程为 y -

3 3 3x 2 ?3x 2 ? 6 x ? , f ( x ) ? ,故 f (1)= , f ?(1) ? ,从而 f ( x ) 在点 处的切线方 ( 1,f (1)) x x e e e e

3 3 = ( x - 1) ,化简得 3x - ey = 0 e e

(2)由(1)得, f ?( x) ?

?3x 2 ? ? 6 ? a ? x ? a , 令 g( x) = - 3x2 +( 6 - a) x + a x e


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