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两直线平行与垂直的判定


3.1.2《两直线平行与垂直的判定》
【学习目标】 知识与技能:理解直线的倾斜角和斜率的概念.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件, 能用直线的倾斜角与斜率的关系来判定两条直线平行与垂直。 过程与方法:通过两条直线的位置去研究它们的倾斜角与斜率的关系,实现用代数方法解 决几何问题 情感态度与价值观:(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭 示,培养

学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力. (2) 通过 斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩 证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 【重点难点】 学习重点:两条直线平行和垂直的判定,要求学生能熟练掌握,并灵活运用. 学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系,求直线的倾斜角和斜率的范围 【学法指导】 1、认真研读教材 95--98 页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一 道习题,不会的先绕过,做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以 及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习记忆.(尤其是正切的三角函数值,斜率的计 算公式必须牢记) 【知识链接】 : 1.直线的倾斜角的范围: ,直线的斜率 k= ,其取值范围为 2. 过 P(x1,y1)和 Q(x2,y2)的直线的斜率公式: 3.k=0 时,直线与 x 轴 _______ ,当 x1 = x2 时,直线斜率 ,k 增大,直线的 。

;k>0 时,直线的倾斜角为

倾斜角也 ;k<0 时,直线的倾斜角为 ,k 值增大,直线的倾斜角也 【学习过程】: 【预习导学】 1.两条直线平行的判定 两条不重合的直线平行的条件是:(斜率都存在)_______________________. 即:α 1=α 2?l1∥l2?k1=k2. 上述结论的前提是两条直线不重合并且斜率都存在. 例如:已知两不重合直线的倾斜角都为 0°,则这两直线________. 已知两不重合直线的倾斜角都为 90°,则这两直线________.

2.两条直线垂直的判定 探究两直线 l1,l2 垂直时,它们的斜率 k1,k2 的关系. (1)l1,l2 的倾斜角 α 1=90°,α 2=0°时,斜率 k1 不存在;k2=0,此时两直线______. (2)两直线的斜率都存在时, 两直线垂直, 则它们的斜率 k1, k2 的乘积 k1k2=-1.反之亦然, 即:__________________. 例如:已知直线 l1 的斜率为 3,l2 的斜率为 ?

1 ,则________. 3

【预习疑难】 1.当两条直线的斜率相等时,两条直线一定平行吗?

2.当直线 l1⊥l2 时,它们的倾斜角 α 1,α 2 的关系是什么?(α 1<α 2)

【自测自评】 1.已知 A(2,0),B(3,3),直线 l∥AB,则直线 l 的斜率 k 等于( A.-3 B.3 C. ?

)

1 3

D.

1 3
) )

2.过点 A(1,2)和 B(-3,2)的直线与直线 y=0 的位置关系是( A.相交 B.平行 C.重合 D.垂直 3.直线 l1 的倾斜角为 60°,直线 l1⊥l2,则直线 l2 的斜率为( A.

3

B. ? 3

C.
2

3 3

D. ?

3 3

4. 如果直线 l1,l2 的斜率分别是一元二次方程 x -4x-1=0 的两根,那么直线 l1,l2 的位置关系 是( ) A.平行 B.垂直 C.重合 D.以上均不正确 5. 下列说法 ①如果两条不重合的直线斜率相等,则它们平行; ②如果两直线平行,则它们的斜率相等; ③如果两直线的斜率之积为-1,则它们垂直; ④如果两直线垂直,则它们的斜率之积为-1. 其中正确的为( ) A.①②③④ B.①③ C.②④ D.以上全错 6. 经过点(m,3)和(-2,m)的直线 l 与斜率为-4 的直线互相垂直,则 m 的值是________. 【典例精析】 例 1.判定下列各小题中的直线 l1 与 l2 是否平行或垂直? (1)l1 经过点 A(-1,-2),B(2,1),l2 经过点 M(3,4),N(-1,-1) (2)l1 的斜率为 1,l2 经过点 A(1,1),B(2,2) (3)l1 的斜率为-10,l2 经过点 A(10,2),B(20,3) (4)l1 经过点 A(3,4),B(3,100),l2 经过点 M(-10,40),N(10,40).

变式 1.已知直线 l1 经过点 A(3,a),B(a-1,2),直线 l2 经过点 C(1,2),D(-2,a+2). (1)若 l1∥l2,求 a 的值;(2)若 l1⊥l2,求 a 的值.

例 2. 已知 A (1, -1) , B (2,2) , C (3,0) 三点, 求点 D 的坐标, 使直线 CD ? AB, 且 CB//AD.

变式 2.已知四边形 ABCD 的顶点为 A(2,2+2),B(-2,2),C(0,2-2),D(4,2),求证四边 形 ABCD 为矩形.

【课时训练】 1.下列命题正确的个数是 ( ) 0 ? ? ? ? 180? 1)若 ? 是直线 L 的倾斜角,则 2)若 k 是直线的斜率,则 k ? R 3)任一直线都有倾斜角,但不一定有斜率 4)任一直线都有斜率,但不一定有倾斜角 A.1 B.2 C.3 D.4 2.直线 L 过 ( a, b) , (b, a ) 两点,其中 a ? b, ab ? 0 则 A.L 与 x 轴垂直 B. L 与 y 轴垂直 ( ) D.L 的倾斜角为 135 ?

C.L 过原点和一, 三象限

3.已知点 A(1,1 ? 2 3), B(?1,1) ,直线 L 的倾斜角是直线 AB 的倾斜角的一半,则 L 的斜率为

A.1

B.

3 3

C. 3

D.不存在 ( )

4.直线 L 经过二、三、四象限,L 的倾斜角为 ? ,斜率为 k,则

A.k sin ? ? 0

B..k cos ? ? 0

C.k sin ? ? 0

D.k cos ? ? 0

5.若直线 l1 的斜率为 a,l1⊥l2,则直线 l2 的斜率为( ) 1 1 1 A. B.a C. ? D. ? 或不存在 a a a 6.若三点 A(3,1),B(-2,k),C(8,1)能够成三角形,则实数 k 的取值范围为 2 7.直线 l1,l2 的斜率 k1,k2 是关于 k 的方程 2k -3k-b=0 的两根,若 l1⊥l2,则 b= 若 l1∥l2,则 b= . 8.已知直线 L 的倾斜角为 a , cos a ? 。 ;

12 ,则此直线的斜率为 13



9.若 A(1 ? a,?5), B(a,2a),C (0,?a) 三点共线,则 a=

10.已知 A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接这四点,则四边形 ABCD 的形状为 . 11.直线 l1,l2 满足 l1⊥l2,若直线 l1 的倾斜角为 30°,则直线 l2 的斜率为 . 12.直线 l1 过点 A(0,3),B(4,-1),直线 l2 的倾斜角为 45°,则直线 l1 与 l2 的位置关系 是 . 13.直线 l1 过 A(-2,m)和 B(m,4),直线 l2 的斜率为-2,且 l1∥l2,则 m= . 14.已知定点 A(-1,3),B(4,2),以 AB 为直径作圆与 x 轴有交点 C,求交点 C 的坐标.

15.已知 ABC 的三个顶点坐标分别为 A(-1,0),B(2,0),C(2,3) ,试分别求 ABC 的三条边的高 所在直线的斜率。

16.已知四边形 ABCD 的顶点为 A(m, n), B(6,1),C (3,3), D(2,5) ,求 m 和 n 的值, 使四边形 ABCD 为直角梯形。

【学习反思】 1.对垂直与平行关系的理解应注意,当两直线的斜率相等时,并不一定两直线平行,还要 注意判断一下两直线是否重合. 2.无论是判断两条直线平行还是垂直,都需注意对特殊情况的讨论,即注意分类讨论思想 方法的运用. 3.利用这两个关系判断三角形或四边形形状时首先根据各点坐标得出各边斜率,再根据斜 率判断各边所在直线的位置关系,进而得知形状.在求斜率、求点的坐标等问题时经常用 到这两类关系. 【励志良言】成功的人找方法,失败的人找借口;要成功就没有借口,要借口就不可能会 成功。


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