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【高中教学案】2018数学人教A版选修2-3:1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 Word版含解析


1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 预习课本 P32~36,思考并完成以下问题 1.杨辉三角具有哪些特点? 2.二项式系数的性质有哪些? [新知初探] 1.杨辉三角的特点 (1)在同一行中,每行两端都是 1,与这两个 1 等距离的项的系数相等. r (2)在相邻的两行中, 除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和, 即 Cr n+1=Cn -1 +Cr n. 2.二项式系数的性质 m (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即 Cn =Cn n -m ). n+1 (2)增减性与最大值:当 k< 时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是 2 逐渐减小的,且在中间取得最大值; n 当 n 是偶数时,中间一项 C n 取得最大值; 2 n -1 n+1 当 n 是奇数时,中间两项 C 相等,同时取得最大值. n,C 2 2 n (3)各二项式系数的和: 1 2 n n ①C0 n+Cn+Cn+?+Cn=2 , 2 4 1 3 5 n 1 ②C0 . n+Cn+Cn+?=Cn+Cn+Cn+?=2 - [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列.( (2)二项式展开式的二项式系数和为 2 n C1 n+Cn+?+Cn.( ) ) ) (3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.( 答案:(1)√ (2)× (3)× 2.已知(ax+1)n 的展开式中,二项式系数和为 32,则 n 等于( ) A.5 C.7 答案:A B.6 D.8 3.(1+x)2n(n∈N*)的展开式中,系数最大的项是( n A.第 +1 项 2 C.第 n+1 项 答案:C B.第 n 项 ) D.第 n 项与第 n+1 项 4.在(a+b)n 的展开式中,第 2 项与第 6 项的二项式系数相等,则 n=( A.6 C.8 答案:A B.7 D.9 ) 与杨辉三角有关的问题 [典例] (1)杨辉三角如图所示,杨辉三角中的第 5 行除去两端数字 1 以外,均能被 5 整除,则具有类似性质的行是( ) A.第 6 行 C.第 8 行 B.第 7 行 D.第 9 行 (2) 如图,在杨辉三角中,斜线 AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列: 1,2,3,3,6,4,10,?,记这个数列的前 n 项和为 S(n),则 S(16)等于( ) A.144 C.164 B.146 D.461 [解析](1)由题意,第 6 行为 1 6 15 20 15 6 1,第 7 行为 1 7 21 35 35 21 7 1,故第 7 行除 去两端数字 1 以外,均能被 7 整除. 1 2 1 (2)由题干图知,数列中的首项是 C2 2,第 2 项是 C2,第 3 项是 C3,第 4 项是 C3,?, 1 1 2 1 2 1 2 第 15 项是 C2 9,第 16 项是 C9.所以 S(16)=C2+C2+C3+C3+?+C9+C9 1 1 2 2 2 =(C1 2+C3+?+C9)+(C2+C3+?+C9) 1 1 1 2 3 2 2 =(C2 2+C2+C3+?+C9-C2)+(C3+C3+?+C9) 3 =C2 10+C10-1=164. [答案] (1)B (2)C 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 (1)观察:对题目进行多角度观察,找出每一行的数与数之间,行与行之间的数的规律. (2)表达:将发现的规


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