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2012-2013学年第一学期高二数学阶段性考试(四)


2012-2013 学年第一学期高二数学阶段性考试(四)
命题人:张二生 一、选择题: (本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.)

9. 过椭圆左焦点 F,倾斜角为 60?的直线交椭圆于 A、B 两点,若 AF = 为( (A) )

3 FB ,则椭圆的离心

率 2

1 dx 等于( ) x A、 ?2 ln 2 B、 2 ln 2 C、 ? ln 2 D、 ln 2 a?i 2.已知复数 一 i 在复平面内对应的点在二、 四象限的角平分线上, 则实数 a 的值为 i
1.

?

4

2

10. 已知 M 点为椭圆上一点,椭圆两焦点为 F1,F2,且长轴长为 10,焦距为 6,点 I 为 ?MF 1F2 的 内心,延长 MI 交线段 F1F2 于一点 N,则 ( ) A.

2 3

(B)

2 3

(C)

2 5

(D)

2 5

MI IN

的值为(

)

A.-2

B.-1

C.0

D.2 ) D.-4

3.已知函数 f ( x) ? x2 ? 3x ? f ?(2) ,则 f ?(1) 的值为( A.-2 B.2 C.4 4. 下面使用类比推理恰当的 是 ( ) ...

5 4 3 C. D . 3 3 4 二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)
B. 11.某班共有 52 人,现根据学生的学号(01~52) ,用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本, 已知 29 号、3 号、42 号同学都在样本中,则样本中还有一位同学的学号为 . 2 y 2 12.设 P 为双曲线 x =1 上的一点,F1、F2 是双曲线的焦点,若|PF1|:|PF2|=3:2,则△PF1F2 的面 12 积为 ___________。 13. 若复数 z ?

5 4

A.“若 a 3 ? b 3 ,则 a ? b ”类推出“若 a 0 ? b 0 ,则 a ? b ” B.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ”类推出“若 (a b)c ? ac bc ” C.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ”类推出“若 (a ? b) / c ? a / c ? b / c(c ? 0) ” D.“若 (ab)n ? an bn ”类推出“若 (a ? b)n ? a n ? bn ” 5.程序框图如下:

a ? 3i (a ? R, i 是虚数单位) ,且 z 是纯虚数,则 | a ? 2i | 等于 1 ? 2i

.

14.已知函数 f ( x) ? 切线方程是

1 3 1 1 x ? (a ? ) x 2 ? x(a ? 0) , 则 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率最大时的 3 2 a
.

15.已知四棱锥 V ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 3 的正方形,侧棱 VA 与底面垂直,若异面直线 AC 与 VD 所成的角为 ? ,且 cos ? ?

3 2 ,则四棱锥 V ? ABCD 的体积为____________. 10

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 如果上述程序运行的结果为 s=132,那么判断框中应填入 A. B. C. ( ) D. ) 16. (本小题满分 12 分) 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出 80 名学生, 其数学成绩 (均 为整数)的频率分布直方图如图所示。 (Ⅰ)估计这次测试数学成绩的平均分; (Ⅱ)假设在[90,100]段的学生的数学成绩都不相同,且都在 94 分以上,现用简单随机抽样的 方法,从 95,96,97,98, 99,100 这 6 个数中任取 2 个数,求这两个数恰好是在[90,100]段 的两个学生的数学成绩的概率。

6.曲线 y ? x2 与直线 y ? x 所围成的平面图形绕 x 轴转一周得到旋转体的体积为(

1 D. ? 6 7. 已知定义在 R 上的可导函数 y ? f ( x) 满足: 当 x ? 2 时, f ? ( x) ? 0 ; 当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 . 则 2 1 下列结论:① f ?(2) ? 0; ② f (4) ? f (3) ? 0; ③ f ( ) ? f ( ) ? 0; ④ f (1) ? f (3) ? 2 f (2). 其中成 3 3
立的个数是( A.1 A. -1或-3 ) B.2 B. C.3
2
2

1 ? A. 30

1 B. ? 15

2 C. ? 15

D .4 ) D.

8.若存在过点 (1,1) 的直线与曲线 y ? x ? x 和 y ? ax ? x ? 1都相切,则 a 等于(

-2或3

C. -1或3

1或-3

17.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? BC, AB ? BC , PA ? AC ,点 O、D 分别是 AC、PC 的中 点, OP ? 平面 ABC , (1) 求证: OD //平面 PAB ; (2) 求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值; (3)

x2 y2 2 ? ? 1 (0 ? m ? n) 的长轴长为 2 2 ,离心率为 20.已知椭圆 C : ,点 M (?2,0) , m n 2
(1) 求椭圆 C 的方程; (2) 过点 M 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点( A 在 B 的左边)若 MA ? ? MB ,求 ? 的取值 范围.

M 是线段 PA 上的动点,当二面角 M ? BO ? D 的大小为 45 时,求 PM : MA 的值.

21. (本题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ax ? x ln x 的图象在点 x ? e ( e 为自然对数的底数)处的 切线斜率为 3. (1)求实数 a 的值; (2)若 k ? Z ,且 kx ? f ( x) ? k 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值.

18. (12 分)已知两点 F1 (? 2,0), F2 ( 2,0), 满足条件 PF 1 ? PF 2 ? 2 的动点 P 的轨迹是曲线 E, 直线 l: y= kx-1 与曲线 E 交于 A、B 两点. (Ⅰ )求 k 的取值范围; (Ⅱ )如果 AB ? 6 3, 求直线 l 的方程.

19.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2ax
4

2

a?R.

(1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)当 a ? x ? 2a 时,函数 f ( x ) 存在极小值,求 a 的取值范围;

2012-2013 学年第一学期高二数学阶段性考试(四)
参考答案
一、选择题 题号 答案 1 D 2 A 3 D 4 C 5 A 6 C 7 D 8 C 9 C 10 B

曲线 E 是以 F1 ? 2,0 , F2

?

? ?

2,0 为焦点的双曲线的右支,

?

且 c ? 2, a ? 1 ,易知 b ? 1 . 故曲线 E 的方程为 x2 ? y 2 ? 1? x ? 0?

? y ? kx ? 1 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题意建立方程组 ? 2 2 ?x ? y ? 1
消去 y ,得 1 ? k 2 x2 ? 2kx ? 2 ? 0 又已知直线与双曲线右支交于两点 A, B ,则

二、填空题 11. 16 12. 12 13. 2 10 14. y ?

1 3

15. 12

?

?

三、解答题 16 解: (1)利用组中值估算抽样学生的平均分:

4 5f1 ? 5 5 f2 ? 6 5 f3 ? 7f5 4 ?

8 f5 5?

┉ ┉ 9 f6 5┉┉┉┉┉┉2 分

= 45 ? 0.05 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.2 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 ┉ ┉ ┉ 4分 =72 所以,估计这次考试的平均分是 72 分。┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ 5分 (2)从 95,96,97,98,99,100 中抽 2 个数的全部可能的基本结果有: (95,96) , (95,97) , (95, 98) , (95,99) , (95,100) (96,97) , (96,98) , (96,99) , (96,100) (97,98) , (97,99) , (97,100) , (98,99) , (98,100) , (99,100) 共 15 种结果。 ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ 7分

? 1? k2 ? 0 ? 2 2 ?? ? ? 2k ? ? 8 ?1 ? k ? ? 0 ? ? ? x ? x ? ?2k ? 0 1 2 ? 1? k2 ? ?2 ? x1 x2 ? ?0 ? 1? k2 ?

解得 1 ? k ? 2 .

即 k 的取值范围是 1 ? k ? 2 (Ⅱ )∵ AB ? 1 ? k 2 ? x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ?
2 2

6分

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2
2

?2 ? ?2k ? ?2 ? 1? k ? ? ? 4? 2 ? 1? k2 ?1? k ?
依题意得 2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ?1 ? k ?
2 2 2

如果这两个数恰好是两个学生的成绩,则这两个学生的成绩在[90,100]段,而 [90,100]段的人数是 0.005×10×80=4(人)┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ 8分 不妨设这 4 个人的成绩是 95,96,97,98,则事件 A=“2 个数恰好是两个学生的成绩” ,包括的基 本结果有: (95,96) , (95,97) , (95,98) , (96,97) , (96,98) , (97,98)共 6 种基本结果。 ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ 10 分 ∴ P(A)=

?1 ? k ?? 2 ? k ? ? 6 ?1 ? k ?
2 2 2 2

3,

整理后得 28k 4 ? 55k 2 ? 25 ? 0 ,解得 k 2 ? 又1 ? k ? 2 , ∴k ?

5 5 或 k2 ? 7 4

5 2

故直线 AB 的方程为 ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ 12 分

5 x ? y ?1 ? 0 . 2
3

6 2 ? 。 15 5

19.解:(1)由题设知 f ?( x) ? 4x ? 4ax
2 令 f ?( x) ? 0 ,得 4 x( x ? a) ? 0 ,????????????????????2 分

17.(2)

21 ,(3) (2 3 ? 3) :1 7

当 a ? 0 时,得 x=0 时, x<0 时, f ?( x) ? 0 ;x>0 时, f ?( x) ? 0 ,

18.解: (Ⅰ )由双曲线的定义可知,

∴函数 f(x)的单调递减区间是(-∞,0);单调递增区间是(0,+∞).????5 分 (2)∵ a ? x ? 2a ,∴a>0. .......................6 分 当 a>0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x=0 或 x= ? a , 列表如下:

x

(-∞,- a ) - 递减

(- a , 0) + 递增

(0, a ) - 递减
2

( a ,+∞) + 递增

f ?( x) f ( x)

得 x=- a 或 x= a 时,f(x)极小= f(± a )= ? a ???????????9 分 取 x=- a ,由条件得 a ? ? a ? 2a ,无解. 取 x= a , 由条件得 a ? 综合上述:

a ? 2a ,解得

1 ? a ?1. 4

1 ? a ?1. 4

?????????????????????12 分

21. (1)解:因为 f ? x ? ? ax ? x ln x ,所以 f ? ? x ? ? a ? ln x ? 1. 因为函数 f ? x ? ? ax ? x ln x 的图像在点 x ? e 处的切线斜率为 3, 所以 f ? ? e? ? 3 ,即 a ? ln e ? 1 ? 3 .所以 a ? 1 .????????????4 分 (2)解:由(1)知, f ? x ? ? x ? x ln x , kx ? f ( x) ? k 所以 k ?

f ? x? x ?1

x ? x ln x 对任意 x ? 1 恒成立,即 k ? 对任意 x ? 1 恒成立.?7 分 x ?1

备选题:
17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 4 x ? 4(a ? R) 在 x ? 2 取得极值。 (Ⅰ)确定 a 的值并求函数的单调区间; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? b 至多有两个零点,求实数 b 的取值范围。 17. 解(Ⅰ)因为 f ( x) ? ax3 ? 4 x ? 4(a ? R) , 所以 f ( x) ? 3ax ? 4
' 2

有极小值,并且极小值为 f (2) ? ?

4 1 3 ;结合函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 的图象,要使关于 x 的方程 3 3

4? ? f ( x) ? b 至多有两个零点,则 b 的取值范围为 ? ??, ? ? 3? ?

? 28 ? , ?? ? 。 ? ?3 ?

21. (本小题满分 14 分) 设 ? 是 由 满 足 下 列 条 件 的 函 数 f ( x) 构 成 的 集 合 : “ ① 函 数 f ( x) 的 导 数 f ?( x) 满 足

0 ? f ?( x) ? 1 ;②方程 f ( x) ? x 有实数根” .
(I)判断函数 f ( x) ?

因为函数 f ( x ) 在 x ? 2 时有极值 , 所以 f ' (2) ? 0 ,即 3 ? 4a ? 4 ? 0 得

x sin x ? 是否是集合 ? 中的元素,并说明理由; 2 4

1 a? 3
'

1 3 , 经检验符合题意,所以 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 3
2

(II)集合 ? 中的元素 f ( x) 具有下面的性质:若 f ( x) 的定义域为 D,则对于任意 [ a, b] ? D, 都存在 x0 ? [ a, b] ,使得等式 f (b) ? f (a) ? (b ? a) f ?( x0 ) 成立” ,试用这一性质证明:方程

所以 f ( x) ? x ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 2) 令, f ( x) ? 0
' '

f ( x) ? x ? 0 只有一个实数根;
( III ) 设 x1 是 方 程 f ( x) ? x ? 0 的 实 数 根 , 求 证 : 对 于 f ( x) 定 义 域 中 任 意 的

得, x ? 2, 或 x ? ?2

当 x 变化时 f ( x) , f ( x ) 变化如下表:

x2 , x3 ,当 | x2 ? x1 |? 1, 且 | x3 ? x1 |? 1时, | f ( x3 ) ? f ( x2 ) |? 2 .

x
f ' ( x)
f ( x)

(??, ?2)

?2

(?2, 2)

2

(2, ??)

?
单调递增↗

0
极大值

?
单调递减↘

0
极小 值

?
单调递增↗

所以 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?2) , (2, ??) ;

f ( x) 的单调减区间为 (?2, 2) 。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x ? ?2 时, f ( x ) 有极大值,并且极大值为 f ( ?2) ?

28 ;当 x ? 2 时, f ( x ) 3

? x ? 0是f '( x) ? 0的根 又 f '( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c ? f '(0) ? 0
? c ? 0 ????????????2 分 又 f ( x) ? 0的根为? , 2, ?

? f (2) ? 0 ? 8 ? 4b ? d ? 0 又 f '(2) ? 0 ?12 ? 4b ? 0 ? b ? ?3 又d ? ?8 ? 4b ? d ? 4 ??????4 分
(2)

f (1) ? 1 ? b ? d

f (2) ? 0 ??????5 分

? d ? ?8 ? 46且b ? ?3 ? f (1) ? 1 ? b ? 8 ? 46 ??????6 分 ? ?7 ? 3b
? 2 ????????????8 分
(3)

f ( x) ? 0有三根? ,2,?

? f ( x) ? ( x ? ? )( x ? 2)( x ? ? ) ? x3 ? (? ? ? ? 2) x 2 ? 2?? ????????????10 分 ?? ? ? ? 2 ? ?b ? ?? d ?? ? ? ? ? 2
20.(本小题满分 14 分) 已 知

?| ? ? ? |2 ? (? ? ? ) 2 ? 4?? ? (b ? 2) 2 ? 2d ? b 2 ? 4b ? 4 ? 16 ? 8b ? b 2 ? 4b ? 12 ? (b ? 2) ? 16 又 b ? ?3 ?| ? ? ? |? 3
2

f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d在(??,0]上是增函数,在[0,2] 上 是 减 函 数 , 且

f ( x) ? 0有三个根? , 2, ? (? ? 2 ? ? ) .
(Ⅰ)求 c 的值,并求出 b 和 d 的取值范围; (Ⅱ)求证 f (1) ? 2 ; (Ⅲ)求 | ? ? ? | 的取值范围,并写出当 | ? ? ? | 取最小值时的 f ( x ) 的解析式. 20. 解. (1)

??????12 分

当且仅当b=-3时取最小值,此时d=4

? f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 4 ·??????????????????14 分

f ( x)在 ? ? ?, 0? 上是增函数,在 ? 0,2? 上是减函数


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