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17周5次18周1次河北省衡水市故城高中2014-2015学年高二下学期期末数学试卷(文科)


东方中学 2015-2016 学年第二学期高二年级第 17 周 数学学科限时练试卷(文科)

5 次

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1. (5 分)复数 A. 的模长为() B.
4 4

C.
4

D

.2
4 2 2 2 2

2. (5 分) 命题“对于任意角 θ, cos θ﹣sin θ=cos2θ”的证明: “cos θ﹣sin θ= (cos θ﹣sin θ) (cos θ+sin θ) 2 2 =cos θ﹣sin θ=cos2θ”过程应用了() A.分析发 B. 综合法 C. 综合法、分析法结合使用 D.间接证法 3. (5 分)有关线性回归的说法,不正确的是() A.具有相关关系的两个变量不一定是因果关系 B. 散点图能直观地反映数据的相关程度 C. 回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D.任一组数据都有回归方程 4. (5 分)在极坐标系中,点(2, )到圆 ρ=2cosθ 的圆心的距离为()

A .2

B.

C.

D.

5. (5 分)若点 P 是正四面体 A﹣BCD 的面 BCD 上一点,且 P 到另三个面的距离分别为 h1,h2,h3, 正四面体 A﹣BCD 的高为 h,则() A.h>h1+h2+h3 B. h=h1+h2+h3 C. h<h1+h2+h3 D.h1,h2,h3 与 h 的关系不定 6. (5 分)已知一组数据 x1,x2,x3,x4,x5 的平均数是 2,方差是 ,那么另一组数据 3x1﹣2,3x2 ﹣2,3x3﹣3,3x4﹣2,3x5﹣2 的平均数和方差分别为() A . 2, B.4,3
2 2

C.4,
3 3 4 4 5

D.2,1
5 10 10

7. (5 分)观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,…,则 a +b =()
1

A.28

B.76

C.123

D.199

8. (5 分)甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分 别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表: 甲 乙 丙 丁 R 0.82 0.78 0.69 0.85 M 106 115 124 103 则哪 位同学的试验结果体现 A、B 两变量有更强的线性相关性() A .甲 B. 乙 C. 丙 D.丁 9. (5 分)设 n∈N ,f(n)=1+ + +…+ ,计算知 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3, f(32)> ,由此猜测() A.f(2n)> B.f(n )≥
2 *

C.f(2 )≥

n

D.以上都不对

10. (5 分)如果执行如图的程序框图,若输入 n=6,m=4,那么输出的 p 等于()

A.720

B.360

C.240

D.120

11. (5 分)若直线 l 的参数方程为

,则直线 l 倾斜角的余弦值为()

A.

B.

C.

D.

12. (5 分)p= A . p≥ q

+

,q= B.p≤q

?

(m、n、a、b、c、d 均为正数) ,则 p、q 的大小为() C.p>q
2

D.不确定

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若(a+i) (1+i)=bi,则 a+bi=. 14. (5 分)在极坐标系中,O 是极点,设点 A(4, ) ,B(5,﹣ ) ,则△ OAB 的面积是.

15. (5 分)已知 a,b,μ∈(0,+∞)且 + =1,则使得 a+b≥μ 恒成立的 μ 的取值范围是 . 16. (5 分)下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变; ②回归方程 =bx+a 必过点( , ) ;
2

③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系; ④在一个 2×2 列联表中,由计算得 K =13.079,则其两个变量间有关系的可能性是 90%. 其中错误的是 .

3

东方中学 2015-2016 学年第二学期高二年级第 18 周 数学学科限时练试卷(文科)

1 次

三、解答题(本大题共 6 小题,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知复数 x +x﹣2+(x ﹣3x+2)i(x∈R)是 4﹣20i 的共轭复数 ,求 x 的值.
2 2

18. (12 分)用秦九韶算法求多项式 f(x)=8x +5x +3x +2x+1,当 x=2 时的值.

7

6

4

19. (12 分)已知数列{an}的各项均为正数,观察程序框图,若 k=5,k=10 时,分别有 (1)试求数列{an}的通项; an (2)令 bn=2 ,求 b1+b2+…+bm 的值.



4

20. (12 分) (选修 4﹣4:坐标系与参数方程) 已知曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立

极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ. (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)

5

21. (12 分)某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:cm)的值落在= =4, S′ = ×, = ×=9× =3. 故选 B. 点评: 本题考查的是方差和平均数的性质.设平均数为 E(x) ,方差为 D(x) .则 E(cx+d)=cE 2 (x)+d;D(cx+d)=c D(x) . 7. (5 分)观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,…,则 a +b =() A.28 B.76 C.123 D.199 考点: 归纳推理. 专题: 阅读型. 分析: 观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,…,所求值为数列中的第十项.根据数列的递 推规律求解. 解答: 解:观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,…,其规律为从第三项起,每项等于其前 相邻两项的和,所求值为数列中的第十项. 继续写出此数列为 1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,…,第十项为 123,即 a +b =123, . 故选 C. 点评: 本题考查归纳推理,实际上主要为数列的应用题.要充分寻找数值、数字的变化特征,构 造出数列,从特殊到一般,进行归纳推理. 8. (5 分)甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分 别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表: 甲 乙 丙 丁 R 0.82 0.78 0.69 0.85 M 106 115 124 103 则哪位同学的试验结果体现 A、B 两变量有更强的线性相关性() A .甲 B. 乙 C. 丙 D.丁 考点: 两个变量的线性相关. 专题: 计算题;图表型;规律型. 分析: 在验证两个变量之间的线性相关关系中,相关系数的绝对值越接近于 1,相关性越强,残差 平方和越小,相关性越强,得到结果. 解答: 解:在验证两个变量之间的线性相关关系中,相关系数的绝对值越接近于 1,相关性越强, 在四个选项中只有丁的相关系数最大, 残差平方和越小,相关性越强,
6
10 10 2 2 3 3 4 4 5 5 10 10 2

只有丁的残差平方和最小, 综上可知丁的试验结果体现 A、B 两变量有更强的线性相关性, 故选 D. 点评: 本题考查两个变量的线性相关,本题解题的关键是了解相关系数和残差平方和两个量对于 线性相关的刻画. 9. (5 分)设 n∈N ,f(n)=1+ + +…+ ,计算知 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3, f(32)> ,由此猜测() A.f(2n)> B.f(n )≥
2 *

C.f(2 )≥

n

D.以上都不对

考点: 类比推理. 专题: 归纳猜想型. 分析: 本题考查的知识点是归纳推理,我们可以根据已知条件中的不等式 f(2)= ,f(4)>2, f(8)> ,f(16)>3,f(32)> ,分析不等式左边的自变量,及右边数的与项的关系,我们易 得左边的自变量值为 2 ,右边的分母都为 2,分子为 n+2,由此归纳推理后,不难等到第 n 个不等式. 解答: 解:由已知 f(2)=f(2 )= , f(4)=f(2 )> , f(8)=f(2 )> , f(16)=f(2 )> , f(32)=f( 2 )> , … 故猜测 f(2 )≥
n 5 4 3 2 1 n



故选 C 点评: 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性 质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) . 10. (5 分)如果执行如图的程序框图,若输入 n=6,m=4,那么输出的 p 等于()
7

A.720

B.360

C.240

D.120

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,写出每次循环得到的 k,ρ 的值,当有 k=4,ρ=360 时不满足条件 k<m,输 出 p 的值为 360. 解答: 解:执行程序框图,有 n=6,m=4 k=1,ρ=1 第一次执行循环体,ρ=3 满足条件 k<m,第 2 次执行循环体,有 k=2,ρ=12 满足条件 k<m,第 3 次执行循环体,有 k=3,ρ=60 满足条件 k<m,第 4 次执行循环体,有 k=4,ρ=360 不满足条件 k<m,输出 p 的值为 360. 故选:B. 点评: 本题主要考察程序框图和算法,属于基础题.

11. (5 分)若直线 l 的参数方程为

,则直线 l 倾斜角的余弦值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 直线的参数方程. 专题: 计算题. 分析: 先求直线 L 的普通方程,由方程可得直线的斜率 k,即 tanθ 的值,结合 θ 的范围,根据同 角基本关系可求 cosθ
8

解答: 解:∵直线 l 的参数方程为





,即



∴直线 L 的普通方程为 4x+3y﹣10=0 直线的斜率 k= ∴ ∴ = = 即

故选:B 点评: 本题目主要考查了直线方程的参数方程转化为普通方程,直线的倾斜角与斜率的关系及同 角基本关系的应用,解题中在由 tanθ 求 cosθ 时要注意倾斜角 θ 的范围 12. (5 分)p= A . p≥ q 考点: 专题: 分析: 解答: ∴q= ∴q ﹣p =
2 2

+

,q= B.p≤q

?

(m、n、a、b、c、d 均为正数) ,则 p、q 的大小为() C.p>q D.不确定

不等式的基本性质. 不等式的解法及应用. 平方作差利用基本不等式的性质即可得出. 解:∵m、n、a、b、c、d 均为正数, . ﹣2 ≥ =0,

∴q≥p. 故选:B. 点评: 本题考查了基本不等式的性质、平方作差比较两个数的大小方法,考查了计算能力,属于 基础题. 二 、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若(a+i) (1+i)=bi,则 a+bi=1+2i.
9

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的乘法展开等式的左边,通过复数的相等,求出 a,b 的值即可得到结果. 解答: 解:因为(a+i) (1+i)=bi, 所以 a﹣1+(a+1)i=bi, 所以 ,解得 a=1,b=2,

所以 a+bi=1+2i. 故答案为:1+2i. 点评: 本题考查复数代数形式的混合运算,复数相等条件的应用,考查计算能力. ) ,则△ OAB 的面积是 5.

14. (5 分)在极坐标系中,O 是极点,设点 A(4,

) ,B(5,﹣

考点: 极坐标系. 专题: 计算题. 分析: 欲求△ OAB 的面积,根据极角可得三角形的内角∠AOB,由极径得边 OA,OB 的长,根据 三角形的面积公式即可求得. 解答: 解:如图△ OAB 中,

(平方单位) ; 故答案为 5.

点评: 本题考查点的极坐标的应用,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和 平面直角坐标系中刻画点的位置的区别. 15. (5 分)已知 a,b,μ∈(0,+∞)且 + =1,则使得 a+b≥μ 恒成立的 μ 的取值范围是 0,16. 考点: 基本不等式.
10

专题: 计算题. 分析: 先利 + =1,使 a+b=(a+b) ( + )展开后利用均值不等式求得 a+b 的最小值,进而根据 a+b≥μ 恒成立求得 μ 的取值范围 解答: 解:∵a,b∈(0,+∞)且 + =1, ∴a+b=(a+b) ( + )=10+( + )≥10+2 =16,

∴a+b 的最小值为 16. ∴要使 a+b≥μ 恒成立,需 16≥μ,∴0<μ≤16. 故答案为: (0,16] 点评: 本题主要考查了基本不等式.考查了学生对基本不等式的理解和运用. 16. (5 分)下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变; ②回归方程 =bx+a 必过点( , ) ;
2

③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系; ④在一个 2×2 列联表中,由计算得 K =13.079,则其两个变量间有关系的可能性是 90%. 其中错误的是 ③④. 考点: 线性回归方程;两个变量的线性相关;独立性检验. 专题: 阅读型. 分析: 方差反映一组数据的波动大小,将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方 差恒不变;线性回归方程 = x+ 必过样本中心点,曲线上的点与该点的坐标之间具有一一对应关
2

系,有一个 2×2 列联表中,由计算得 K =13.079,则其两个变量间有关系的可能性是 99.9%,选出正 确的,得到结果. 解答: 解:①、方差反映一组数据的波动大小,将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常 数后,方差恒不变,①正确; ②、线性回归方程 = x+ 必过样本中心点,故②正确.
2

③、曲线上的点与该点的坐标之间具有一一对应关系,故③不正确, ④、有一个 2×2 列联表中,由计算得 K =13.079,则其两个变量间有关系的可能性是 99.9%,故④ 不正确, 故①正确,②正确.③④不正确.综上可知有两个说法是正确的, 故答案为:③④.
11

点评: 本题考查线性回归方程、独立性检验、方差的变化特点、相关关系,注意分析,本题不需 要计算,只要理解概念就可以得出结论. 三、解答题(本大题共 6 小题,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 2 2 17. (10 分)已知复数 x +x﹣2+(x ﹣3x+2)i(x∈R)是 4﹣20i 的共轭复数,求 x 的值. 考点: 专题: 分析: 解答:
2

复数的基本概念. 数系的扩充和复数. 利用复数相等可得方程组,解之即可. 解:∵复数 4﹣20i 的共轭复数为 4+20i,
2

∴x +x﹣2+(x ﹣3x+2)i=4+20i, 根据复数相等的定义,得 ,

解得 x=﹣3. 点评: 本题考查复数的相关知识,注意解题方法的积累,属于中档题. 18. (12 分)用秦九韶算法求多项式 f(x)=8x +5x +3x +2x+1,当 x=2 时的值. 考点: 算法的概念. 专题: 计算题. 分析: 利用秦九韶算法一步一步地代入运算,注意本题中有几项不存在,此时在计算时,我们应 3 3 该将这些项加上,比如含有 x 这一项可看作 0?x . 解答: 解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式 f(x)=8x +5x +0?x + 3?x +0?x +0?x +2x+1 =( ( ( ( ( (8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1 v0=8,v1=8×2+5=21 v2=21×2+0=42,v3=42×2+3=87 v4=87×2+0=174,v5=174×2+0=348 v6=348×2+2=698,v7=698×2+1=1397. ∴当 x=2 时,多项式的值为 1397. 点评: 一般地,一元 n 次多项式的求值需要经过 要 n 次乘法和 n 次加法. 19. (12 分)已知数列{an}的各项均为正数,观察程序框图,若 k=5,k=10 时,分别有 (1)试求数列{an}的通项; an (2)令 bn=2 ,求 b1+b2+…+bm 的值.
12
7 6 5 4 3 2 7 6 4

次乘法和 n 次加法,而秦九韶算法只需



考点: 数列的求和;数列的概念及简单表示法;程序框图. 专题: 计算题. 分析: (1)经过分析,程序框图为当型循环结构,按照框图题意分析求出{an}的通项. an 2n﹣1 (2)根据(1)的结论,得到 bn=2 =2 ,然后代入求 b1+b2+…+bm 的值即可 解答: 解: (1)由框图可知

∵ai+1=ai+d,∴{an}是等差数列,设公差为 d,则有

∴ 由题意可知,k=5 时,

=



13







(舍去)

故 an=a1+(n﹣1)d=2n﹣1 an 2n﹣1 (2)由(1)可得:bn=2 =2 1 3 2m﹣1 ∴b1+b2++bm=2 +2 ++2 = = 点评: 本题考查程序框图,数列的概念及简单表示方法,数列的求和,通过对知识的熟练把握, 分别进行求值,属于基础题. 20. (12 分) (选修 4﹣4:坐标系与参数方程) 已知曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立

极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ. (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π) 考点: 参数方程化成普通方程;极坐标刻画点的位置;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 压轴题;直线与圆. 分析: (Ⅰ) 对于曲线 C1 利用三角函数的平方关系式 sin t+cos t=1 即可得到圆 C1 的普通方程; 再 利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到 C1 的极坐标方程; (Ⅱ)先求出曲线 C2 的极坐标方程;再将两圆的方程联立求出其交点坐标,最后再利用极坐标与直 角坐标的互化公式即可求出 C1 与 C2 交点的极坐标. 解答: 解: (Ⅰ)曲线 C1 的参数方程式 得(x﹣4) +(y﹣5) =25 即为圆 C1 的普通方程, 2 2 即 x +y ﹣8x﹣10y+16=0. 将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入上式,得. ρ ﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0,此即为 C1 的极坐标方程; 2 2 (Ⅱ)曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ 化为直角坐标方程为:x +y ﹣2y=0, 由 ,解得 或
14
2 2 2 2 2

(t 为参数) ,



∴C1 与 C2 交点的极坐标分别为(



) , (2,

) .

点评: 本题主要考查了参数方程化成普通方程,点的极坐标和直角坐标的互化.熟练掌握极坐标 与直角坐标的互化公式、两圆的位置关系是解题的关键. 21. (12 分)某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:cm)的值落在 专题: 概率与统计. 分析: (1)利用优质品数除以样本容量,即可估计零件的优质品率; (2)利用统计数据可填写 2×2 列联表,再利用公式,求出 k,利用给出的数据,即可得出结论. 解答: 解: (1)甲厂抽查的产品中有 360 件优质品,从而甲厂生产的零件的优质品率估计为 =72%; 乙厂抽查的产品中有 320 件优质品,从而乙厂生产的零件的优质品率估计为 (2) 甲厂 乙厂 合计 优质品 360 320 680 非优质品 140 180 320 合计 500 500 1000 ≈7.35>6.635, 所以有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”. 点评: 本题重点考查独立性检验的应用,解题的关键是正确统计,运用好公式,属于基础题. 22. (12 分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin 13°+cos 17°﹣sin 13°cos 17°; 2 2 ②sin 15°+cos 15°﹣sin 15°cos 15°; 2 2 ③sin 18°+cos 12°﹣sin 18°cos 12°; 2 2 ④sin (﹣18°)+cos 48°﹣sin(﹣18°)cos (﹣48°) ; 2 2 ⑤sin (﹣25°)+cos 55°﹣sin(﹣25°)cos (﹣55°) . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;归纳推理. 专题: 归纳法;三角函数的求值. 分析: 方法一: (1)选择②式,由倍角公式及特殊角的三角函数值即可得解. (2)发现推广三角 恒等式为 sin α+cos (30°﹣α)﹣sin αcos(30°﹣α)= ,由三角函数中的恒等变换应用展开即可证 明.
15
2 2 2 2

=64%.

方法二: (1)同方法一. (2)发现推广三角恒等式为 sin α+cos (30°﹣α)﹣sin αcos(30°﹣α)= .由 降幂公式,三角函数中的恒等变换应用展开即可证明. 解答: (本小题满分 12 分) 解:方法一: (1)选择②式,计算如下: sin 15°+cos 15°﹣sin 15°cos 15°=1﹣ sin 30°=1﹣ = …(4 分) (2)三角恒等式为 sin α+cos (30°﹣α)﹣sin αcos(30°﹣α)= . 证明如下: sin α+cos (30°﹣α)﹣sin αcos(30°﹣α) 2 2 =sin α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α) ﹣sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α) =sin α+ cos α+
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

sin αcos α+ sin α﹣

2

sin αcos α﹣ sin α

2

= sin α+ cos α= …(12 分) 方法二: (1)同方法一. (2)三角恒等式为 sin α+cos (30°﹣α)﹣sin αcos(30°﹣α)= . 证明如下 : sin α+cos (30°﹣α)﹣sin αcos(30°﹣α) = + ﹣sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α) sin αcos α﹣ sin α
2 2 2 2 2

= ﹣ cos 2α+ + (cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)﹣ = ﹣ cos 2α+ + cos 2α+ sin 2α﹣

sin 2α﹣ (1﹣cos 2α)

=1﹣ cos 2α﹣ + cos 2α= …(12 分) 点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,归纳推理,属于基本知识的考查.

16


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