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三角函数的周期性12



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编号

第 五 章:任意角的三角函数 第 6 节:三角函数的周期性

教研组长 审批签字 授课班级 09 网络

授课时数

4

授课时间

/>5.19-20

三角函数周期性概念的教学是本节课的重点.概念教学是中学

教材分析

数学教学的一项重要内容, 不能因其易而轻视. 为学生创设探索的情境,
指引探索的途径,引导学生不断地提出新问题,解决新问题.

1.使学生理解函数周期性的概念,并运用它来判断一些简单、 常见的三角函数的周期性.

教学目标

2.使学生掌握简单三角函数的周期的求法. 3.培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力,提高学生的判 断能力和论证能力.

重点、难 点和关键

教学重点: 函数周期性的概念 教学难点: 函数周期性的概念

授课方式、 方法及手段

讲授法及教学挂图

课外作业

教材 P161. 1-4.

运用启发式教学原则,充分调动学生的学习积极性,引导学生积极

教学回顾

思考,发挥好学生的教学主体作用。坚持循序渐进的教学原则,深 入浅出地讲授教学内容。

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教学方法、过程及主要内容

教学意图

时 间

三角函数的函数周期性 教学目标 1. 使学生理解函数周期性的概念, 并运用它来判断一些简单、 常见的三角函数的周期性. 2.使学生掌握简单三角函数的周期的求法. 3.培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力,提高学生的 判断能力和论证能力. 教学重点与难点 函数周期性的概念. 教学过程设计 师:上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的 图象.今天我们将利用正弦函数图象,研究三角函数的一个重要 性质.请同学们观察 y=sinx,x∈R 的图象: (老师把图画在黑板左上方.)

师:通过观察,同学们有什么发现? 生:正弦函数的定义域是全体实数,值域是[-1,1].图象 有规律地不断重复出现. 师:规律是什么? 生:当自变量每隔 2π 时,函数值都相等.

2

教学方法、过程及主要内容
师:正弦函数的这种性质叫周期性.我们将会发现,不但正 弦函数具有这种性质,其它的三角函数和不少的函数也都具有这 样的性质,因此我们就把它作为今天研究的课题:函数的周期 性.(老师在黑板左上方写出课题) 师:我们先看函数周期性的定义.(老师板书) 定义 对于函数 y=f(x),如果存在一个不为零的常数 T, 使得当 x 取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那 么就把函数 y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数 T 叫做这个函 数的周期. 师:请同学们逐字逐句的阅读定义,找出定义中的要点. 生:首先 T 是非零常数,第二是自变量 x 取定义域内的每一 个值时都有 f(x+T)=f(x). 师:找得准!那么为什么要这样规定呢? 师:如果 T=0,那么 f(x+T)=f(x)恒成立,函数值当然不 变, 没有研究价值; 如果 T 为变数, 就失去了 “周期” 的意义了. “每 一个值”的含义是无一例外. 师:除这两条外,定义中还有一个隐含的条件是什么? 生:如果 x 属于 y=f(x)的定义域,则 T+x 也应属于此定义 域. 师:对.否则 f(x+T)就没有意义. 师:函数周期性的定义有什么用途? 生:它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据. 师:下面我们看例题. (老师板书) 例1 证明 y=sinx 是周期函数.

教学意图

时 间

生: 因为由诱导公式有 sin (x+2π ) =sinx. 所以 2π 是 y=sinx 是一个周期.故它就是周期函数.

3

教学方法、过程及主要内容
例2

教学意图

时 间

师:要想判断 T 是不是函数 y=f(x)的周期有什么方法?我 们现有的理论依据只有定义,如何使用定义?

对于定义域内的每一个 x,都有 f(x+T)=f(x),而不是有 (存在着)某一个 x,使 f(x+T)=f(x)成立.要想证明 T 不是 周期,只要找到一个 x0,使得 f(x0+T)≠f(x0)即可.所以乙是 正确的. 师:分析得好!同学对概念的学习应该做到真正能弄清每句 话的含义,而不能只停留在字面的意思读懂了.这样才可能透彻 地理解概念,为进一步的学习打下牢固的基础. 例3 已知 f(x+T)=f(x) (T≠0),求证 f(x+2T)=f(x).

师:此题用文字如何叙述?谁能给予证明? 生:若不等于零的常数 T 是 f(x)的一个周期,证明 2T 仍是 f(x)的周期. 因为 T 是 f(x)的周期,所以 f(x+T)=f(x),f[(x+T) +T]=f(x+T),即 f(x+2T)=f(x). 因此 2T 是 f(x)的周期.

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教学方法、过程及主要内容
师:这个命题推广可得到什么结论? 生:如果 T 是 f(x)的周期,那么 2T,3T,?,nT(n∈Z) 也都是 f(x)的周期. 师:这说明如果一个函数是周期函数,所有的周期就构成一 个无穷集合.这无数个周期中,我们有必要研究在它们中间是否 存在着最小正周期.这是为什么? 生甲:如果发现一个函数存在最小正周期,就可以确定这个 函数的所有周期. 生乙:更具有实用性.如果找到最小正周期,就可以在其定 义域的一个长度为最小正周期的范围内对函数进行研究. 师:这位同学思考问题有一定的深刻性.他不但弄清最小正 周期的实质,还进一步想到我们研究函数周期性的目的,那就是 要研究一个周期函数在整个定义域上的性质,只要研究它在一个 周期内的性质,然后经过周期延拓即可.如果能够确定最小正周 期,可使研究的范围缩小在最小正周期的范围内.这无疑给我们 研究周期函数的性质带来方便. (老师在函数的周期性定义下板书) 如果在所有的周期中存在着一个最小正周期,就把它叫做最 小正周期. 例4 证明 f(x)=sinx(x∈R)的最小正周期是 2π .

教学意图

时 间

师: 1 证明了 y=sinx 是周期函数, 例 并且找到了一个周期 T=2 π .例

是 2π .要想证明这个命题,只要证明什么? 生:只要证明任何比 2π 小的正数都不是它的周期. 师: 如何证?能否逐一证明比 2π 小的正数都不行呢?当然不 行.因为比 2π 小的正数是无限的.那这样的命题应如何证? 生:反证法.假设存在 T∈(0,2π )使得 y=sinx 对于任意

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教学方法、过程及主要内容
的 x∈R 都成立.推出矛盾即可. 师:你能具体的给予证明吗? 生:假设 T 是 y=sinx,x∈R 的最小正周期,且 0<T<2π , 那么根据周期函数的定义,当 x 为任意值时都有 sin(x+T)=sinx.

教学意图

时 间



cosT=1.

这与 T∈ (0, ) cosT<1 矛盾. 2π 时, 这个矛盾证明了 y=sinx, x∈R 的最小正周期是 2π . 师:请同学们在课堂练习本上证明 y=cosx 的最小正周期是 2 π. 师:通过上面的例题和练习我们得出这样的结论,正弦函数 y=sinx(x∈R)和余弦函数 y=cosx(x∈R)都是周期函数,2π k (k∈Z 且 k≠0)都是它的周期,最小正周期是 2π . 例5 求 y=3cosx 的周期.

师:以后求周期如果没有特殊要求,都求的是最小正周期 生:因为 y=cosx 的周期是 2π ,所以 y=3cosx 的周期也是 2 π. 师:好.好在他能利用我们总结出的结论,也就是新知识归 结到旧知识上去.你能再具体的证明吗? 生:可以从数和形两个角度来证明. 解(一) 因为对一切 x∈R,3cos(x+2π )=3cosx,所以 y=3cosx 的周期是 2π . 解(二) 因为 y=3cosx 图象是把 y=cosx 图象上的每点的横 坐标不变,纵坐标扩大 3 倍得到的,当自变量 x(x∈R)增加到 x+2π 且必须增加到 x+2π 时,函数 cosx 的值才重复出现,因而函
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教学方法、过程及主要内容
数 3cosx 的值也才重复出现,因此 y=3cosx 的周期是 2π . 师:数和形是我们研究数学问题的两个方面,他都想到了, 并且能完整的叙述清楚,若把此题推广,能得到什么结论? 生:y=Asinx,y=Acosx(A≠0,是常数)的周期都是 2π ,也 就是说函数周期的变化与系数 A 无关. 例6 求 y=sin2x 的周期.

教学意图

时 间

(请不同解法的三位同学在黑板上板演) 生甲: 解 因为 y=sin (2x+2π ) =sin2x, 对于任意 x∈R 都成立. 所 以 y=sin2x 的周期是 2π . 生乙: 解 因为 y=sin(2x+2π )=sin2(x+π )=sin2x,所以 y=sin2x 的周期是π . 生丁: 解 设 2x=u,因为 y=sinu 的周期是 2π ,所以 y=sin(u+2π )=sinu, 即 sin(2x+2π )=sin2(x+π )=sin2x,

所以 y=sin2x 的周期是π . 师:我们一起来分析三个同学的解法.解法一是错误的,错 误在对于周期函数定义中任意 x 都有 f(x+T)=f(x)的本质没 弄清楚,要证明 y=sin2x 是周期函数,应证明对于任意 x∈R,都 有 y=sin2x=sin2 (x+T) 而不是 y=sin2x=sin , (2x+T) 解法 . (二) , (三)是正确的.区别在于解法(三)经过换元,把要研究的新 问题 y=sin2x 的周期转化为已有的旧知识 y=sinu 的周期.这种 转换的意识、换元的思想是很重要的. 师:其实这个问题也可以从图象的变换来考虑.我们先看如 何由 y=sinx 的图象得到 y=sin2x 的图象.使 y=sinx 的图象上 的每点的纵坐标

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教学方法、过程及主要内容

教学意图

时 间

当自变量每增加 2π 且必须增加 2π 时,函数值重复出现,现 在就是当

sin2x 的周期是π . 师:通过这个例题我们看到,谁对函数的周期有影响?是 x 的系数.有怎样的影响?带着这个问题同学们做下面的题目. 例7

y=2sin(u+2π )=2sinu,

师:通过这个例题,进一步验证了我们的猜想,函数的周期 的变化仅与自变量 x 的系数有关.我们把例 7 写成一般式. 例 8 求 y=Asin(ω x+ 且 A≠0,ω >0,x∈R) 解 设 u=ω x+ )的周期. (其中 A,ω , 为常数,

.因为 y=sinu 的周期是 2π ,所以

sin(u+2π )=sinu,

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教学方法、过程及主要内容

教学意图

时 间

师:这样就证明了我们的猜想,不但函数的周期仅与自变量 的系数

(老师板书)

师:以后再求正弦函数或余弦函数的周期,可由上面的结论 直接写出它的周期. 师:(总结)通过今天的课,同学们应明确以下几个问题. (一)研究函数周期的意义是什么? 周期函数是反映现实世界中具有周期现象的数学模型.如果 能找到函数的最小正周期 T,那么只要在以 T 为氏度的区间内.就 可以研究函数的图象与性质,然后推断出函数在整个定义域的图 象和性质.这给我们研究函数带来了方便. (二)对于函数周期的定义应注意: 1.f(x+T)=f(x)是反映周期函数本质属性的条件.对于 任意常数 T(T≠0),如果在函数定义域中至少能找到一个 x,使 f(x+T)=f(x)不成立,我们就断言 y=f(x)不是周期函数.对 于某个确定的常救 T≠0.如果在函数定义域中至少能找到一个 x, 使 f(x+T)=f(x)不成立.我们能断言 T 不是函数 y=f(x) 的周期,但不能说明 y=f(x)不是周期函数.

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教学方法、过程及主要内容
2.定义中的“每一个值”是关键词.

教学意图

时 间

此函数对于任意确定的常数 T≠0,尽管 f(x+T)=f(x)对 函数定义域(-∞,+∞)中几乎所有 x 都成立.但仅仅由于 x 的 个别值 x=0,x=-T 时,等式不成立.因此函数 f(x)不是周期函 数. (三)周期函数的周期与最小正周期的区别与联系. 1.周期函数的周期一定存在,但最小正周期不一定存在,最 小正周期如果存在必定唯一.周期函数的周期有无数个. 如:f(x)=c(常数),任意非零实数都是它的周期,但由 于不存在不等于零的最小正实数, 所以 f x) 没有最小正周期. ( =c 这 个例子也同时说明不是只有三角函数才具有周期性. 2. 周期函数的最小正周期一定是这个函数的周期, 反之不然. 例如,2π 是 y=sinx 的最小正周期,也是函数的周期;4π 是 函数的周期,但不是最小正周期. 作业:课本 P161. 课堂教学设计说明 此教学方案是按照 “教师为主导, 学生为主体, 课本为主线. ” 的原则而设计的.教师的主导作用在于激发学生的求知欲,为学 生创设探索的情境,指引探索的途径,引导学生不断地提出新问 题,解决新问题. 函数周期性概念的教学是本节课的重点.概念教学是中学数学教 学的一项重要内容, 不能因其易而轻视.也不能因其难而回避.概 念教学应面向全体学生,但由于函数的周期的概念比较抽象,所 以学生对它的认识不可能一下子就十分深刻.因此,进行概念教 学时,除了逐字逐句分析,还要通过不同的例题,让学生暴露出 问题,通过老师的引导,使学生对概念的理解逐步深入.
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1-4.

教学方法、过程及主要内容

教学意图

时 间

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教学方法、过程及主要内容
板书设计

教学意图

时 间

第 五 章:任意角的三角函数 第 6 节:三角函数的周期性

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正弦函数的周期性 余弦函数的周期性 课堂小结 作业

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