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【三维设计】2014届高考数学 (基础知识+高频考点+解题训练)函数的图象及三角函数模型的简单应用教学案


第四节

函数 y=sin(ω x+φ )的图象及三角函数模型的 简单应用

[知识能否忆起] 一、y=Asin(ω x+φ )的有关概念

y=Asin(ω x+φ )(A>0,
ω >0),

振幅

周期 2π ω

频率 1 ω

r />
相位 ω x+ φ

初相

x∈[0,+∞)表示一个振动量


A

T=

f= = T 2π

φ

二、用五点法画 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示:

x
ω x+φ

φ - ω 0



φ π + ω 2ω π 2

π -φ ω π

3π φ - 2ω ω 3π 2 -A

2π -φ ω 2π

y=Asin(ω x
+φ )

0

A

0

0

三、函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ω x+φ )的图象的步骤

1

[小题能否全取] 1.函数 y=sin 的图象的一条对称轴的方程是( 2 A.x=0 C.x=π π B.x= 2 D.x=2π

x

)

x π x 解析:选 C 由 = +kπ 得 x=π +2kπ (k∈Z).故 x=π 是函数 y=sin 的一条对 2 2 2
称轴. π? ?π ?? 2.(教材习题改编)已知简谐运动 f(x)=2sin? x+φ ??|φ |< ?的图象经过点(0,1), 2? ?3 ?? 则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为( π A.T=6,φ = 6 π C.T=6π ,φ = 6 )

π B.T=6,φ = 3 π D.T=6π ,φ = 3

2π 解析:选 A 最小正周期为 T= =6; π 3 1 π 由 2sin φ =1,得 sin φ = ,φ = . 2 6 3.(2012·安徽高考)要得到函数 y=cos(2x+1)的图象,只要将函数 y=cos 2x 的图 象( ) A.向左平移 1 个单位 1 C.向左平移 个单位 2 B.向右平移 1 个单位 1 D.向右平移 个单位 2

? 1? 解析:选 C ∵y=cos(2x+1)=cos 2?x+ ?, ? 2?
1 ∴只要将函数 y=cos 2x 的图象向左平移 个单位即可. 2

? π? 4.用五点法作函数 y =sin ?x- ? 在一个周期内的图象时,主要确定的五个点是 6? ?
________、________、________、________、________. 答案:?

?π ,0? ?2π ,1? ?7π ,0? ?5π ,-1? ?13π ,0? ? ? 3 ? ? 6 ? ? 3 ? ? 6 ? ?6 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

5.函数 y=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 为常数,A>0,ω >0)在闭区间[-π ,0]上的图 象如图所示,则 ω =________.

2

2π 解析:观察函数图象可得周期 T= , 3 2π 2π 则 T= = ,所以 ω =3. 3 ω 答案:3

1.确定 y=Asin(ω x+φ )+k(A>0,ω >0,|φ |<π )中的参数的方法: 在由图象求解析式时,若最大值为 M,最小值为 m,则 A=

M-m
2

,k=

M+m
2

,ω 由周期

T 确定,即由

2π =T 求出,φ 由特殊点确定. ω

2.由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin(ω x+φ )的图象,两种变换的区别:先相位变 换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ |个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换, |φ | 平移的量是 (ω >0)个单位. 原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而言, x 本身加 即 ω 减多少值,而不是于 ω x 加减多少值.

函数 y=Asin(ω x+φ )的图象

典题导入

?1 π ? [例 1] 已知函数 f(x)=3sin? x- ?,x∈R. 4? ?2
(1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sin x 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象? [自主解答] (1)列表取值:

x
1 π x- 2 4

π 2 0 0

3 π 2 π 2 3

5 π 2 π 0

7 π 2 3 π 2 -3

9 π 2 2π 0

f(x)

描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图.

3

π (2)先把 y=sin x 的图象向右平移 个单位,然后把所有点的横坐标扩大为原来的 2 4 倍,再把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍,得到 f(x)的图象.

由题悟法 函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象的作法 (1)五点法:用“五点法”作 y=Asin(ω x+φ )的简图,主要是通过变量代换,设 z= π 3 ω x+φ ,由 z 取 0, ,π , π ,2π 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点坐标, 2 2 描点后得出图象. (2)图象变换法:由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=Asin(ω x+φ )的图象,有 两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 以题试法

? π? 1.(2012·江西省重点中学联考)把函数 y=sin?x+ ?图象上各点的横坐标缩短为原 6? ?
1 π 来的 倍(纵坐标不变),再将图象向右平移 个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为 2 3 ( ) π A.x=- 2 π C.x= 8 解析:选 A π B.x=- 4 π D.x= 4 依题意得,经过图象变换后得到的图象相应的解析式是 y=

π? π ? ? π? π? ? sin?2?x- ?+ ?=sin?2x- ?=-cos 2x,注意到当 x=- 时,y=-cos(-π )=1, 3? 6? 2? 2 ? ? ? π 此时 y=-cos 2x 取得最大值,因此直线 x=- 是该图象的一条对称轴. 2 求函数 y=Asin(ω x+φ )的解析式

典题导入 [例 2] (2011·江苏高考)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A, , ω φ 为常数, >0, >0)的部分图象如图所示, f(0)的值是________. A ω 则

4

T 7π π π 2π [自主解答] 由图可知:A= 2, = - = ,所以 T=π ,ω = =2,又函数 4 12 3 4 T
图象经过点 ?

?π ,0? ,所以 2× π +φ =π ,则 φ = π ,故函数的解析式为 f(x)= 2 ? 3 3 ?3 ?

π? ? sin?2x+ ?, 3? ? π 6 所以 f(0)= 2sin = . 3 2 [答案] 6 2

若本例函数的部分图象变为如图所示,试求 f(0). 解:由图知 A=5,

T 5π 3π 由 = -π = ,得 T=3π , 2 2 2
2π 2 ∴ω = = . T 3

?2 此时 y=5sin? x+φ ?3

?. ? ?

?π ? ?2 ? 将最高点坐标? ,5?代入 y=5sin? x+φ ?, ?4 ? ?3 ? ?π ? 得 5sin? +φ ?=5, ?6 ?
∴ π π π +φ =2kπ + ,∴φ =2kπ + (k∈Z). 6 2 3

π 5 3 ?2 π ? ∴f(x)=5sin? x+ ?,f(0)=5sin = . 3 3? 3 2 ?

由题悟法 确定 y=Asin(ω x+φ )+b(A>0,ω >0)的步骤和方法 (1)求 A,b,确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A= 2π (2)求 ω ,确定函数的周期 T,则可得 ω = .

M-m
2

,b=

M+m
2

.

T

(3)求 φ ,常用的方法有: ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时 A,ω ,b 已知)或代入图象与直线 y=b

5

的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上). ②五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.具体如下: “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时 ω x+φ =0;“第二点”(即图象的“峰 π 点”)时 ω x+φ = ;“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时 ω x+φ =π ;“第四 2 3π 点”(即图象的“谷点”)时 ω x+φ = ;“第五点”时 ω x+φ =2π (如例 2). 2 以题试法 π? ? 2. (2012·浙江金华模拟)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,|φ |< ?的 (1) 2? ? 图象与 y 轴交于点(0, 3), y 轴右边到 y 轴最近的最高点坐标为? 在 的解集是( )

?π ,2?, ? 则不等式 f(x)>1 ?12 ?

π 5 ? ? A.?kπ - ,kπ + π ?,k∈Z 6 6 ? ? π 5 ? ? B.?kπ - ,kπ + π ?,k∈Z 12 6 ? ? π π? ? C.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 16 4? ? π π? ? D.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 12 4? ? π 解析:选 D 依题意 A=2,2sin φ = 3且|φ |< , 2 π 则φ = , 3 由 2sin?

?π ω +π ?=2 得π ω +π =π ,则 ω =2, 3? 12 3 2 ? 12 ?

π? π π 5π π ? 由 f(x)=2sin?2x+ ?>1, 2kπ + <2x+ <2kπ + (k∈Z), 得 所以 kπ - <x<kπ 3? 6 3 6 12 ? π + (k∈Z). 4

(2)(2012·长春调研)函数 y =cos(ω x +φ )(ω >0,0<φ <π )为 奇函数,该函数的部分图象如图所示,A、B 分别为最高点、最低点, 且 AB=2 2,则该函数图象的一条对称轴为( A.x= 2 π ) π B.x= 2 D.x=1
6

C.x=2

π 解析:选 D 由 y=cos(ω x+φ )为奇函数知 φ =kπ + ,其中 k∈Z.又 0<φ <π ,所 2 π? π ? 以 φ = ,则 y=cos?ω x+ ?=-sin ω x.由 AB=2 2知 2? 2 ?

?T?2+22=2 2,所以 T=4 ?2? ? ?

2π π πx π ×1 = ,得 ω = ,y=-sin .结合选项知当 x=1 时,y=-sin =-1,此时函 ω 2 2 2 πx 数 y=-sin 取得最小值,因此该函数图象的一条对称轴为 x=1. 2

函数 y=Asin(ω x+φ )的图象与性质的综合应用

典题导入 π? ? [例 3] 已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,|φ |< ?的图象与 y 轴的交点为 2? ? (0,1), 它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π , -2).

(1)求 f(x)的解析式及 x0 的值; (2)求 f(x)的增区间; (3)若 x∈[-π ,π ],求 f(x)的值域.

T 1 [自主解答] (1)由图象知 A=2,由 =2π 得 T=4π ,所以 ω = . 2 2

?1 ? ∴f(x)=2sin? x+φ ?, 2 ? ?
π ∴f(0)=2sin φ =1,又∵|φ |< , 2 π ?1 π ? ∴φ = ,∴f(x)=2sin? x+ ?, 6? 6 ?2 π? ?1 由 f(x0)=2sin? x0+ ?=2, 6? ?2 1 π π ∴ x0+ = +2kπ , 2 6 2

x0=4kπ +

2π ,k∈Z, 3

又(x0,2)是 y 轴右侧的第一个最高点,

7

2π ∴x0= . 3 π 1 π π 4π 2π (2)由- +2kπ ≤ x+ ≤ +2kπ ,∈Z 得- +4kπ ≤x≤ +4kπ , k 所以 f(x) 2 2 6 2 3 3 2π ? 4π ? 的增区间为?- +4kπ , +4kπ ?,k∈Z. 3 ? 3 ? (3)∵-π ≤x≤π , π 1 π 2π ∴- ≤ x+ ≤ , 3 2 6 3 ∴- 3 ?1 π ? ≤sin? x+ ?≤1, 6? 2 ?2

∴- 3≤f(x)≤2,所以 f(x)的值域为[- 3,2]. 由题悟法 1 利用三角函数图象与 x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的 个最小正周期,可 2 求解参数 ω 的值,利用图象的最高点、低点为三角函数最值点,可求解参数 A 的值.在求 函数值域时,由定义域转化成 ω x+φ 的范围,即把 ω x+φ 看作一个整体,再结合三角函 数的图象求解. 以题试法 π? ? 3.函数 f(x)=Asin?ω x- ?+1(A>0,ω >0)的最大值为 3,其图象相邻两条对称轴之 6? ? π 间的距离为 . 2 (1)求函数 f(x)的解析式;

? π? ?α ? (2)设 α ∈?0, ?,则 f? ?=2,求 α 的值. 2? ? ?2?
解:(1)因为 A+1=3,所以 A=2.又因为函数图象相邻对称轴之间的距离为半个周期,

T π 2π 所以 = ,得 T=π ,所以 ω = =2, 2 2 T
π? ? 所以 f(x)=2sin?2x- ?+1. 6? ? π? ?α ? ? (2)因为 f? ?=2sin?α - ?+1=2, 6? ?2? ? π? 1 ? 所以 sin?α - ?= . 6? 2 ? π 因为 0<α < , 2

8

π π π π π π 所以- <α - < ,所以 α - = ,所以 α = . 6 6 3 6 6 3

π 1. 函数 y=cos x(x∈R)的图象向左平移 个单位后, 得到函数 y=g(x)的图象, g(x) 则 2 的解析式应为( A.-sin x C.-cos x ) B.sin x D.cos x

? π? 解析:选 A 由图象的平移得 g(x)=cos?x+ ?=-sin x. 2? ?
π 2.(2012·潍坊模拟)将函数 y=cos 2x 的图象向右平移 个单位长度,得到函数 y= 4

f(x)·sin x 的图象,则 f(x)的表达式可以是(
A.f(x)=-2cos x C.f(x)= 解析:选 B 2 sin 2x 2

)

B.f(x)=2cos x D.f(x)= 2 (sin 2x+cos 2x) 2

? π? 平移后的函数解析式是 y=cos 2?x- ?=sin 2x=2sin xcos x,故函 4? ?

数 f(x)的表达式可以是 f(x)=2cos x. π 3.(2012·天津高考)将函数 f(x)=sin ω x(其中 ω >0)的图象向右平移 个单位长度, 4 所得图象经过点? A. C. 1 3 5 3

?3π ,0?,则 ω 的最小值是( ? ? 4 ?
B.1 D.2

)

π 解析:选 D 将函数 f(x)=sin ω x 的图象向右平移 个单位长度,得到的图象对应的 4 ωπ? ? π? ? ?3π ? 函数解析式为 f(x)=sin ω ?x- ?=sin?ω x- .又因为函数图象过点? ,0?,所以 4? 4 ? ? ? ? ? 4 ? sin?

?3ω π -ω π ?=sinω π =0,所以ω π =kπ ,即 ω =2k(k∈Z),因为 ω >0,所以 ω 4 ? 2 2 ? 4 ?
9

的最小值为 2. 4.(2012·海淀区期末练习)函数 f(x)=Asin(2x+φ )(A>0,φ ∈R)的部分图象如图所 示,那么 f(0)=( 1 A.- 2 C.-1 ) B.- 3 2

D.- 3

?π ? 解析:选 C 由图可知,A=2,f? ?=2, ?3?
∴2sin? ∴

?2π +φ ?=2,sin?2π +φ ?=1, ? ? 3 ? ? 3 ? ? ?

2π π π +φ = +2kπ (k∈Z),φ =- +2kπ (k∈Z), 3 2 6

? π ? ? 1? ∴f(0)=2sin φ =2sin?- +2kπ ?=2×?- ?=-1. ? 6 ? ? 2?
5.(2013·福州质检)已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ )(ω >0)的部分图 象如图所示,则函数 f(x)的一个单调递增区间是( )

? 7π 5π ? A.?- , ? ? 12 12 ? ? π 7π ? C.?- , ? ? 12 12 ?

π? ? 7π B.?- ,- ? 12? ? 12

? π 5π ? D.?- , ? ? 12 12 ?

1 2π 5π 解析:选 D 由函数的图象可得 T= - ,∴T=π , 4 3 12 则 ω =2,又图象过点? ∴φ =-

?5π ,2?,∴2sin?2×5π +φ ?=2, ? ? ? 12 ? 12 ? ? ?

π? π ? + 2kπ , k ∈ Z , ∴ f(x) = 2sin ?2x- ? , 其 单 调 递 增 区 间 为 3? 3 ?

?kπ -π ,kπ +5π ?,k∈Z,取 k=0,即得选项 D. ? 12 12 ? ? ?
6.(2012·潍坊模拟)如图,为了研究钟表与三角函数的关 系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置 P(x,y).若初始位 置为 P0?

? 3 1? , ?,当秒针从 P0(注:此时 t=0)正常开始走时, ? 2 2?
)

那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为( A.y=sin?

?π t+π ? B.y=sin?-π t-π ? ? ? 60 ? 6? 6? ?30 ?
π? ? π D.y=sin?- t- ? 3? ? 30

π? ? π C.y=sin?- t+ ? 6? ? 30

10

π 解析:选 C 由题意可得,函数的初相位是 ,排除 B、D.又函数周期是 60(秒)且秒针 6 2π π π 按顺时针旋转,即 T= =60,所以|ω |= ,即 ω =- . |ω | 30 30 7.(2012· 南 京 模 拟 ) 已 知 函 数

f(x) = Atan(ω x +

π? ? ?π ? φ ) ?ω >0,|φ |< ? , y = f(x) 的 部 分 图 象 如 图 , 则 f ? ? = 2? ? ?24? ________. 3π π 2π 解析: 由题中图象可知, 此正切函数的半周期等于 - = = 8 8 8 π π ?3π ,0?, ? 3π ? , 即周期为 , 所以, =2.由题意可知, ω 图象过定点? ? 所以 0=Atan?2× 8 +φ ?, 4 2 ? 8 ? ? ? 3π 3π π π 即 +φ =kπ (k∈Z),所以,φ =kπ - (k∈Z),又|φ |< ,所以,φ = .再由图 4 4 2 4 π? ? ?π ? ? π π? 象过定点(0,1),得 A=1.综上可知,f(x)=tan?2x+ ?.故有 f? ?=tan?2× + ?= 4? ? ?24? ? 24 4 ? π tan = 3. 3 答案: 3 8.(2012·成都模拟)如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O π? ? 的距离 s(cm)和时间 t(s)的关系式为 s=6sin?2π t+ ?,那么单摆来回摆 6? ? 动一次所需的时间为________s. 2π 解析:单摆来回摆动一次所需的时间即为一个周期 T= =1. 2π 答案:1 9.给出下列六种图象变换方法: 1 (1)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 ; 2 (2)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍; π (3)图象向右平移 个单位; 3 π (4)图象向左平移 个单位; 3 2π (5)图象向右平移 个单位; 3 2π (6)图象向左平移 个单位. 3

11

?x π ? 请用上述变换中的两种变换,将函数 y=sin x 的图象变换到函数 y=sin? + ?的图 ?2 3 ?
象,那么这两种变换正确的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标 号即可). ? 4? 2? ? π ?? ― 解析:y=sin x― →y=sin?x+ ?― → ― 3? ? 1 ? 6? ? 2? ?x π ? y=sin? + ?,或 y=sin x― →y=sin x― → ― ―

?2

3?

2

1? 2π ? ?x π ? y=sin ?x+ ?=sin? + ?. 3 ? 2? ?2 3 ? 答案:(4)(2)(或((2)(6))) 10.(2012·苏州模拟)已知函数 y=Asin(ω x+φ )+n 的最大值为 4,最小值为 0,最 π π π 小正周期为 ,直线 x= 是其图象的一条对称轴,若 A>0,ω >0,0<φ < ,求函数的解析 2 3 2 式. 解:由题意可得?
?A+n=4, ? ? ?-A+n=0,

解得?

?A=2, ? ? ?n=2.

又因为函数的最小正周期为

π 2π ,所以 ω = =4. 2 π 2

π π π 由直线 x= 是一条对称轴可得 4× +φ =kπ + (k∈Z), 3 3 2 5π π π 故 φ =kπ - (k∈Z),又 0<φ < ,所以 φ = . 6 2 6 π? ? 综上可得 y=2sin?4x+ ?+2. 6? ? π 3 ? ? ?π ? 11. 设函数 f(x)=cos(ω x+φ )?ω >0,- <φ <0?的最小正周期为 π , f? ?= . 且 2 ? ? ?4? 2

(1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π ]上的图象. 2π 解:(1)周期 T= =π ,∴ω =2, ω

12

?π ? ? π ∵f? ?=cos?2× +φ 4 ?4? ?

?=cos?π +φ ?=-sin φ = 3,∵-π <φ <0,∴φ =-π . ? ?2 ? 2 2 3 ? ? ?

π? ? (2)∵f(x)=cos?2x- ?,列表如下: 3? ? π 2x- 3 - π 3 0 π 6 1 π 2 5π 12 0 π 2π 3 -1 3π 2 11π 12 0 5π 3 π 1 2

x f(x)
图象如图:

0 1 2

?x π ? ?x π ? 12.已知函数 f(x)=2 3sin? + ?cos? + ?-sin (x+π ). ?2 4 ? ?2 4 ?
(1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0, 6 π ]上的最大值和最小值. 1 ? 3 ? ? π? 解:(1)因为 f(x)= 3sin?x+ ?+sin x= 3cos x+sin x=2? cos x+ sin x?= 2? ? 2 ?2 ?

? π? 2sin?x+ ?, 3? ?
所以 f(x)的最小正周期为 2π . π (2)∵将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象, 6

?? π ? π ? ? π? ? π? ∴g(x)=f?x- ?=2sin??x- ?+ ?=2sin?x+ ?. 6? 3? 6? 6? ? ? ??
π ?π 7π ∵x∈[0,π ],∴x+ ∈? , 6 6 ?6 π π π ∴当 x+ = ,即 x= 时, 6 2 3

?, ? ?

? π? sin?x+ ?=1,g(x)取得最大值 2. 6? ?
13

π 7π 1 ? π? 当 x+ = ,即 x=π 时,sin?x+ ?=- ,g(x)取得最小值-1. 6? 6 6 2 ?

1.(2012·江西九校联考)已知 A,B,C,D 是函数 y=sin(ω x+ π? ? φ ) ?ω >0,0<φ < ? 一个周期内的图象上的四个点,如图所示, 2? ?

? ? A?- ,0?,B 为 y 轴上的点,C 为图象上的最低点,E 为该函数图象的 ?
π 6

?

??? ? π 一个对称中心,B 与 D 关于点 E 对称, CD 在 x 轴上的投影为 ,则 ω ,φ 的值为( 12
π A.ω =2,φ = 3 1 π C.ω = ,φ = 2 3 π B.ω =2,φ = 6 1 π D.ω = ,φ = 2 6

)

??? ? π π 解析:选 A 由 CD 在 x 轴上的投影为 ,知 OF= , 12 12
T π π ? π ? 又 A?- ,0?,所以 AF= = = ,所以 ω =2. 4 2ω 4 ? 6 ?
同时函数图象可以看做是由 y=sin x 的图象向左平移而来, φ φ π π 故可知 = = ,即 φ = . ω 2 6 3

? π? ? π? 2.已知 f(x)=sin?x+ ?,g(x)=cos?x- ?,则下列结论中正确的是( 2? 2? ? ?
A.函数 y=f(x)·g(x)的周期为 2 B.函数 y=f(x)·g(x)的最大值为 1 π C.将 f(x)的图象向左平移 个单位后得到 g(x)的图象 2 π D.将 f(x)的图象向右平移 个单位后得到 g(x)的图象 2

)

? π? 解析:选 D ∵f(x)=sin?x+ ?=cos x, 2? ?
g(x)=cos?x- ?=cos? -x?=sin x, 2 2

? ?

π?

?

?π ?

? ?

1 ∴y=f(x)·g(x)=cos x·sin x= sin 2x. 2

T=

2π 1 =π ,最大值为 , 2 2

∴选项 A、B 错误.

14

2 又∵f(x)=cos x ?????? ?

向右平移 个单位

?

g(x)=cos?x- ? 2

? ?

π?

?

∴选项 C 错误,D 正确. 3.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺 庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少, 浪费很严重, 为了控制经营成 本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月 份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律: ①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同; ②入住客栈的游客人数在 2 月份最少,在 8 月份最多,相差约 400 人; ③2 月份入住客栈的游客约为 100 人,随后逐月递增直到 8 月份达到最多. (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系; (2)请问哪几个月份要准备 400 份以上的食物? 解:(1)设该函数为 f(x)=Asin(ω x+φ )+B(A>0,ω >0,0<|φ |<π ),根据条件①, 可知这个函数的周期是 12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且 f(8)-f(2)=400,故该函 数的振幅为 200;由③可知,f(x)在[2,8]上单调递增,且 f(2)=100,所以 f(8)=500.
? ?-A+B=100, 2π π 根据上述分析可得, =12,故 ω = ,且? ω 6 ? ?A+B=500,

解得?

? ?A=200, ? ?B=300.

根据分析可知,当 x=2 时 f(x)最小,当 x=8 时 f(x)最大,

? π ? ? π ? 故 sin?2× +φ ?=-1,且 sin?8× +φ ?=1. 6 6 ? ? ? ?
5π 又因为 0<|φ |<π ,故 φ =- . 6 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为

? f(x)=200sin? x-
π

?6

5π ? ?+300. 6 ?

5π ? ?π (2)由条件可知,200sin? x- ?+300≥400,化简,得 6 ? ?6 5π ? 1 π π 5π 5π ?π sin? x- ?≥ ? 2kπ + ≤ x- ≤2kπ + ,k∈Z, 6 ? 2 6 6 6 6 ?6 解得 12k+6≤x≤12k+10,k∈Z. 因为 x∈N ,且 1≤x≤12,故 x=6,7,8,9,10. 即只有 6,7,8,9,10 五个月份要准备 400 份以上的食物.
*

15

1.定义行列式运算?

? 3 sin x ? ?a1 a2? ?=a1a4-a2a3.将函数 f(x)=? ?的图象向左平移 ?a3 a4? cos x? ?1
) π 3

n(n>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为(
A. C. π 6 5π 6 D. B. 2π 3

解析:选 C 依题意可得 f(x)=? ?1

? 3 sin x ? ? π? ?= 3cos x-sin x=2 cos?x+ 6 ?,图 ? ? cos x?

π? ? 象向左平移 n(n>0)个单位得 f(x+n)=2cos?x+n+ ?,要使平移后的函数为偶函数,则 n 6? ? 5π 的最小值为 . 6 π 2.已知函数 f(x)=Asin(3x+φ )(A>0,0<φ <π )在 x= 时取得最大值 4. 12 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的解析式. 解:(1)∵f(x)=Asin(3x+φ ), 2π 2π ∴T= ,即 f(x)的最小正周期为 . 3 3 π (2)∵当 x= 时,f(x)有最大值 4, 12

? π ? ?π ? ∴A=4.∴4=4sin?3× +φ ?,∴sin? +φ ?=1. 12 4 ? ? ? ?
即 π π π +φ =2kπ + ,得 φ =2kπ + (k∈Z). 4 2 4

π ∵0<φ <π ,∴φ = . 4 π? ? ∴f(x)=4sin?3x+ ?. 4? ? 3.(2012·北京模拟)设函数 f(x)=sin(2x+φ )(-π <φ <0),y=f(x)图象的一条对 π 称轴是直线 x= . 8 (1)求 φ ; (2)求函数 y=f(x)的单调递增区间; (3)画出函数 y=f(x)在区间[0,π ]上的图象. π 解:(1)∵x= 是函数 y=f(x)的图象的对称轴, 8
16

? π ? ∴sin?2× +φ ?=±1, 8 ? ?
∴ π π +φ =kπ + ,k∈Z, 4 2

3π ∵-π <φ <0,∴φ =- . 4 3π ? 3π ? (2)由(1)知 φ =- ,因此 y=sin?2x- ?. 4 ? 4 ? π 3π π 由题意得 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z. 2 4 2 π 5π 解得 kπ + ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π ? π 5π ? ? ? 所以函数 y=sin?2x- ?的单调递增区间为?kπ + ,kπ + ?,k∈Z. 4 ? 8 8 ? ? ? 3π ? ? (3)由 y=sin?2x- ?列表如下: 4 ? ?

x y

0 2 2

π 8 -1

3π 8 0

5π 8 1

7π 8 0

π - 2 2



故函数 y=f(x)在区间[0,π ]上的图象为:

17


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