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万卷小专题理数1-19答案


专题一 函数
单项选择题 1.B【解析】? A ? {…, 1 , 7 , 13 , 19 ,…} , B ? {… , ? 1
6 6 6 6
, 1 2 7 1 2 7 10 B , B ? C, , , , …}, C ? {…, , , , ,… }? A? ? 6 3 6 6

2 2 x x ? 4) (Ⅱ)令 y ? 3 x ,则 y ? = 6 x( x ? 2) ? 3x ? 3( 2 2

x?2

( x ? 2)

( x ? 2)

2 ∵当 x ? [3, 4) , y ? <0,∴函数 y ? 3 x 在 [3, 4) 上为单调递减函数,

x?2

3 6 3 6

A ? B ? C ,故选 B ? 2.A【解析】由 x 2 ? 3x ? 10 ? 0 解得 x ? ?2 或 x ? 5 ,所以 A ? {x | x ? ?2或x ? 5} B ? {x || x ? m |? 6} ? { x | ?6 ? m
?6 ? m ? ?2, ? x ? 6 ? m} ,因为 A∪B ? R ,所以有 ? 解得 ?1 ? m ? 4 ,故选 A ? 6 ? ? m ? 5,

2 ∴当 x ? 3 时 y ? 3 x 取得最大值,即 (S AMPN )max ? 27 (平方米)

x?2

此时 | AN |? 3 米, | AM |? 9 米
1 14.解: (1)首先确定 a,只能从 1,3,5,7 中选一个,有 A4 种,然后从余下的 4 个数中任选两个作

3.B【解析】? A ? [0, 2? ] ,由 ? sin x ? 0 ,得 x ? 0, ? , 2? , ;由 ? sin x ? 1 得 x ? 7? , 11? , ? A 中最多有 5 个元 2 6 6 素,故选 B 4.B 5.C【解析】 y ' ? 1 ? 2 cos x , 令 y ' ? 0 得 cos x ? 1 根据三角函数的知识可知这个方程由无穷多解 ,即函数 2 4 x y ? ? 2 sin x 有无穷多个极值点,函数是奇函数,图像关于坐标对称,故只能是选项 C 中的图像. 2 6.B【解析】根据题意知 x ? 0 且 f 1 ? log 2 x ,则 f ( x) ? x

b.c,有 A42种 。

1 2 ∴由分步计数原理 ,共组成一元二次方程 A4 ? A4 ? 48(个)

(2)方程要有实根,必须满足 ? ? b 2 ? 4ac ≥ 0 当 c ? 0 时,a,b 可在 1,3,5,7 中任取两个排列,有 A42个 ; 当 c ? 0 时,分析判别式知 b 只能取 5,7, 当 b 取 5 时,a,c 只能取 1,3 这两个数,有 A22 种,当 b 取 7 时,a,c 可取 1,3 或 1,5 这
2 2 ? 2A (个) 两组数,有 2 A22 种,此时共有 A2 。 2

??

log 2 1 ? ? log 2 x .故选 B. x

填空题 7. {x | ?1 ? x ? 2} 【解析】由题意可得,集合 A ? {x | ?2 ? x ? 2} ,集合 B ? {x | x ? ?1} ,所以 A∩B ? {x | ?1 ? x ? 2} 8. { y | ?1 ≤ x ≤ 2} 【解析】由 M ? ?x | y ? 2 ? x2 ? ? {x | 2 ? x 2 ≥ 0} ? {x | ? 2 ≤ x ≤ 2}, N ? { y | y ? x2 ? 1, x ? R} ?
{ y | y ≥ ?1} ,得 M∩N ? {x | ?1 ≤ x ≤ 2} ,

由分类计数原理知,有实根的一元二次方程共有: A42 ? A22 ? 2 A22 ? 18(个) 15.解: A ? {x | 6 x ? x ? 1 ? 0} ? ? ? ?,? ? ? ? ,?? ? 3 2
2

9. {x | x ? ?3或x ? 1} 【解析】属新定义题型,①当 x<0 时, guox ? 1 ,不等式的解集为 { x | x ? 1} ;②当 x=0 时 guox ? 0 , 不等式无解; ③当 x<0 时,guox ? ?1 , 不等式的解集为 {x | x ? ?3} ,所以不等式 ( x ? 1) guox ? 2 的解集为. {x | x ? ?3或x ? 1} . 10. (0, 3) 【解析】本题以函数为背景考查不等式的解法.由 x (3 ? x ) ? 0 ,得 x 2 ? 3 x ? 0 ,解得: 0 ? x ? 3 .故所 求的函数定义域为 (0, 3) 11. m ?

? ?

1? ?

?1 ?

? ?

B ? {x | ?x2 ? 4x ? 5 ? 0} ? R
C ? {x | 1 ? 0} ? ( ?? ,1) 1? x

1 2

ì ? ? 2 + 3 (k ? 1) 12.4; ? k í ? ? 2 k + 3(0 < k < 1) ? ? 解答题
3x2 13.解:设 AN 的长为 x 米( x ? 2 )∵ |DN| ? |DC| ,∴ | AM | = 3 x ∴ S AMFN ?| AN | ? | AM |? x?2 x?2 |AN| |AM|

? A? B ? R ;
1? ?1 ? ? A ? C ? ? ? ?,? ? ? ? ,1? 3? ? 2 ? ?
16.(1)对于 A ,不等式
?( x ? 5)( x ? 1) ? 0 6 ?x ? 5 x?5 ?1? ?0? ? 0, ? ? ? ?1 ? x ? 5 x ?1 x ?1 x ?1 ?x ?1 ? 0

(Ⅰ)由 S AMFN ? 32
2

2 得 3x

x?2

> 32 ,

? A ? ?x ?1 ? x ? 5?

∵ x ? 2 ,∴ 3x ? 32 x ? 64 ? 0 ,即: (3x ? 8)( x ? 8) ? 0 ∴2 ? x ? 8 或 x ?8
3

当 m ? 3 时, B ? ?x ?1 ? x ? 3? ,? A ? B ? ?x ?1 ? x ? 5? (2)若 A ? B ? ?x ?1 ? x ? 4? ,则方程 x 2 ? 2 x ? m ? 0 的一个根为 4,解得 m ? 8
衡水万卷专题卷(理数)答案 2

8 即 AN 长的取值范围是 (2, ) ? (8,+? ) 3
衡水万卷专题卷(理数)答案 1

专题二 数列
单项选择题 1.A【解析】由 Sn ? Sm ? Sn ? m ,得 S1 ? S9 ? S10 ? a10 ? S10 ? S9 ? S1 ? a1 ? 1 2.A
x x x a a 3.A 【解析】由观察可得: x ? an ? x ? x ? ? ? x ? an ≥(n +1)? n ? 1 ? ? ? ? ? n ? (n ? 1) ? n ? 1 n ? n ? 1 ,则 n n n x n x n n? n ? x ??? ????
n 式子

?Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n



? 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? n ? 2n?1 ④
? Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? n ? 2 n ?1
③-④得

?

故选 A 4.B【解析】本题主要考查等差数列的性质.若 m ? n ? 2 p ,则 am ? an ? 2a p 由 a2 ? a6 ? a10 ? 3a6 为常数,则 a 6
a ? nn

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 1? 2

为常数,∴ S11 ?

11 ? (a1 ? a11 ) ? 11a6 为常数。选 B 2

整理得: Tn ? (n ? 1)2 n?1 ? 2, n ? N * 14.解: (1) an ?1 ?

5.C【解析】本题考查数列的基本概念∵ Sk ? Sk ?1 ? ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk , ∴ Sk ? 0(k ∈ N * ),∴an ? 0(n ∈ N * ) ,即数列 {an } 为 常数列.选 C 6.C 7.D 【解析】设等比数列 {an } 的首项为 a1 ≥ , 公差为 d, 依题意得 ? 选D 8.B 填空题 9. 11 10. ?49 11.
2 n ?1 (?2) n ?1 或? 【解析】本题主要考查等比数列基本量的求法.由题意知 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 1, 15 5
a5 ? a6 ? a7 ? a8 =16 所以
1 1 2n ?1 a5 ? a6 ? a7 ? a8 a1 ? ? , 即 q ?± 2 , 当 q ? 2 时, a1 ? , an ? , 当 q ? ?2 , ? q4 ? 16 , 5 15 15 a1 ? a2 ? a3 ? a4

?a1 ? d ? 2 ?a ? 0 由此解得 ? 1 .a10 ? a1 ? 9d ? 18 . ?d ? 2 ?a1 ? 2d ? 4,

n ?1 n ?1 an ? n n 2 an ?1 an 1 ? ? n ? 1 n 2n a2 a1 1 ? ? 2 1 2 a3 a2 1 ? ? 3 2 22

…………………..

an ? ?

(?2)n ?1 . 5

12.5 解答题 13.解: (Ⅰ)? S n ? 1 ? an ① ②

? S n?1 ? 1 ? an?1

an an ?1 1 ? ? n ?1 n n ?1 2 an 1 1 1 1 ? a1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? 1 ? ( ) n ?1 n 2 2 2 2 an 1 1 n ?1 ? ? 2 ? ( ) n ?1 即 bn ? 2 ? ( ) n 2 2 n?2 (2) an 的前 n 项和 S n ? n(n ? 1) ? n ?1 ? 4 2 ?a1 ? 2 15.解: (1)设等比数列 ?an ? 的公比为 q 依题意得 ? 解得 q ? 2 3 ?a4 ? a1q ? 16 n?1 n 所以:数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 ? 2 ? 2
(2)由(1)得 log 2 an ? n,log 2 an?1 ? n ? 1, bn ?

②-①得 an?1 ? ?an?1 ? an

? a n ?1

1 ? a n , (n ? N * ) 2

1 1 1 ? ? n ? n ? 1? n n ? 1

1 又 n ? 1 时, a1 ? 1 ? a1 ? a1 ? 2 1 1 1 ? a n ? ? ( ) n ?1 ? ( ) n , (n ? N * ) 2 2 2

1 ? 1 n ? 1? ?1 1? ?1 ? Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ?1 n ?1 ? 2? ? 2 3? ? n n ?1 ?
16.解:(1)假设数列 因为
a1 ? 0 {Sn }

是等比数列,则
2 2

S2 ? S1S3

2

,即

a1 (1 ? q) ? a1 ? a1 ? (1 ? q ? q )

2

2

2



n (Ⅱ) bn ? ? n ? 2 n , (n ? N * ) an
衡水万卷专题卷(理数)答案 3

,所以 (1 ? q) ? 1 ? q ? q ,即 q ? 0 ,这与公比 q ? 0 矛盾, 不是等比数列
衡水万卷专题卷(理数)答案 4

所以数列

{Sn }

(2)当 即

q ?1

时,

{Sn }

是等差数列;当
2

q ?1



{Sn }

不是等差数列,否则 矛盾.

2S2 ? S1 ? S3

,

10.【解析】根据条件知: BE ?CF

uuv uuu v

uu r uu r uu r uu r uur uur uur uur uur uur (BA- EA).(CA- FA) = BA ×CA - EA ×CA - BA ×FA +

2a(1 ? q) ? a1 ? a1 (1 ? q ? q )

,得q=0,这与公差

q?0

uur uur uur uur uur uur uur uu uur uuu r r uu r EA ×FA =0- EA ×CA + BA ×EA -1= EA ×( BA - CA) -1= EA ×BC -1=1? 4?
cos 60o -1=1。
11. ? 12.

?an ? 2 ? 2an ?1 ? an ? 2n ? 6 17.解: (1)由 ? 得: bn?1 ? bn ? 2n ? 6, b1 ? a2 ? a1 ? ?14 ?bn ? an ?1 ? an

当 n ? 2 时, bn ? b1 ? ?b2 ? b1 ? ? ?b3 ? b2 ? ? ?b4 ? b3 ? ? ?? ?bn ? bn?1 ?

3 4

? ?14 ? ? 2 ?1 ? 6 ? ? ? 2 ? 2 ? 6 ? ? ? 2 ? 3 ? 6 ? ? ? ? ? ?2 ? n ? 1? ? 6 ? ? n ? n ? 1? ? ?14 ? 2 ? ? 6 ? n ? 1? ? n 2 ? 7 n ? 8 2

1 2

解答题

专题三 平面向量
单项选择题 1.B【解析】本题考查共线向量基本定理.向量的数量积的知识的应用.由“共线向量基本定理”知①正确; 由“向量的数量积定义”知②④都不正确;对于③,当 a ∥ b 时,–2k=6,则 k=-3,③正确,故①③ 正确,选 B. 2.C【解析】 a ? b ? 2 ,选项 A 是错误; a ? 2, b ? 2 ,选项 B 错误; (a ? b) ? b ? (1, ?1) ? (1,1) ? 0 ,选项 C 是正确,故选 C. 3.C 4.C 5.A 【 解 析 】 本 题 考 查 解 三 角 形 . 三 角 恒 等 变 换 及 向 量 的 数 量 积 的 知 识 的 应 用 . ???? ???? ???? ??? ? AC AC sin B , 从而有 sin B ? cosA , 于是得 ? AC cos B ? BC cos A, ? ???? ? cos A , 而根据正弦定理 , 可得 ??? ? ?
BC cos B
BC sin A

x x x x x x ? 13.解:(1) f ( x) ? 2sin cos ? 3 cos ? sin ? 3 cos ? 2sin( ? ) 4 4 2 2 2 2 3 f ( x) 的最小正周期 T ? 4? .
(2) ? 0 ? x ? ?

?

?
3

?

? x ? 5 ? x ? ? ,当 ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 有最大值 2; ? ? 3 2 3 6 2 3 2

x ? 5? ,即 x ? ? 时, f ( x) 有最小值 1 . ? ? 2 3 6 14.解:本题主要考察三角恒等变换.解三角形及向量的数量积等知识的综合应用. (a 2 ? b 2 )sin( A ? B) ? (a 2 ? b 2 )sin C ,得 (a 2 ? b 2 )sin( A ? B) ? (a 2 ? b 2 )sin( A ? B) ,
当 由两角和与差的正弦公式展开得: 2b 2 sin A cos B ? 2a 2 cos A sin B. 根据正弦定理有: 2sin B cos B ? 2sin A cos A, 即 sin2B ? sin2A ,
2 ??? ? ??? ? ? (1)若 a ? 3, b ? 4 ,则 A ? B ? A ? B ? , C ? ? , CA ? CB , 2 2
? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ???? ??? ? ??? ? CA ? CB ? CA ? CB ? 2CA ? CB

? A .B 为三角形的内角, ? A ? B 或 A ? B ?

?

sin A

cosB

sin2A=Sin2B, 即 A=B 或 A ? B ?

?
2

, 当 A=B 时 , 可 得 A C ? B C ?1 , 于 是 可 得 A ? 时 , 由 勾 股 定 理 可 得 AC ? 2 ,

????

??? ?

?
6

,从而 从 而

???? ??? ? ? ? 3 ; 当 A? B ? AC ? AB ? 3 ? 1 ? c o s? 2 6 2 ???? ??? ? 2 ??? ? 3 =2. ???? AC ? AB ? 3 ? 2 ? AC ? AB ? 或 2 2 3

2 cos A ? 3

= a 2 ? b2 ? 5 .
1 2

(2)若 C ?

?
3

,则 C ? ,? A ? B, a ? b , ? ABC 为等边三角形.由 S?ABC ? a 2 sin C ? 3 解得 a=2,

?

6.D 7.B 8.D【解析】 本题考查向量的简单运算与三角函数的单调性.由 a ? b 可得 a ? b ? 0 ,即 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 0, 所 以 cos2 ? =0,又 ? 是锐角,所以 ? ?
?

? AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? CB ? 3 ? 2 ? 2 cos

?? ? ?? ?

?? ? ?? ?

?? ? ?? ?

2

2? 3

? ?6

2 15. 解法一: (1) b ? c ? (cos ? ? 1,sin ? ), 则 b ? c ?

(cos ? ? 1) 2 ? sin 2 ? ? 2(1 ? cos ? ). ? ?1≤ cos ? ≤1, ?0 ≤ b ? c ≤ 4, 即 0 ≤ b ? c ≤ 2 .当 cos ? ? ?1
2

?
4

,所以 f ( x) ? ?2sin(2 x ? ),
4

?

? ? 3? ? 2k? ≤ 2 x ? ≤ ? 2 k? ( k ? z ) 可得 2 4 2

时,有 b ? c ? 2 ,所以向量 b+c 的长度的最大值为 2. 解法二: b ? 1, c ? 1, b ? c ≤ b ? c ? 2. 当 cos ? ? –1 时,
b ? c ? ( ?2, 0) ,即 b ? c ? 2 ,所以向量 b ? c 的长度最大值

f ( x) ? ?2sin(2 x ? ) 的单调递增区间为 ? 3? ? k? , 7? ? k? ? ( k ? z ) ,故D正确 ?8 ? 4 8 ? ?

填空题
2 2 9.48【解析】 y ? a1 ? b ? a2 ? b ? … ? a10 ? b ? (a12 ? a2 ? … ? a10 ) ? 10b ? 2b ? (a1 ? a2 ? … + a10 ) =10+40+

2

2

2

2b ? (a ? a ? …a ) ? 50 ? (2, 2 3) = (?1 ?

3 1 , ) =50-2=48 2 2

为 2. (2)解法一:由已知可得 b ? c ? (cos ? ? 1,sin ? ) , a (b ? c ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos ? = cos(? ? ? ) ? cos?

衡水万卷专题卷(理数)答案 5

衡水万卷专题卷(理数)答案 6

. ? a ? (b ? c ), a ? (b ? c ) ? 0 , 即 cos(? ? ? ) ? cos ? . .由 ? ?
cos(

?
4

,得
?
2

? ? ? ? (?O1CA ? ?O2CB ) ?

? ??
2

, sin ? ? cos

?
2

.

?
4

? ? ) ? cos

?
4

即? ?

?
4

? 2k? ?

?
4

(k ? z) , ? ? ? 2k? ?

解法二:对于选择填空题,可以用特例法,即可以添加条件或取一些特殊值,在本题中假设两个小圆 的半径相等,则 ?OO1O2 ? ?OO2O1 ?

? ??
2

或 ? ? 2k? , k ?z 于是 cos ? ? 0 或 cos ? ? 1 . 解法二:若 ? ?
?
4



,则 a ? (

2 2 .又由 , ) 2 2

?O1CA ? ?O2CB ?
sin ? ? cos
,即 cos ? ? sin ? ? 1 .

b ? (cos ? ,sin ? ), c ? ( ?1,0) ,得 a ? (b ? c ) ?
2 2 2 2 2 . ? a ? (b ? c ),? a ? (b ? c ) ? 0 ( , ) ? (cos ? ? 1,sin ? ) ? cos ? ? sin ? ? 2 2 2 2 2

?
2

1 ? ?? ? ?? ?OO1O2 ? , ? ? ? ? (?O1CA ? ?O2CB ) ? , 2 4 2

.
1 3

4.C 【 解 析 】 本 题 考 查 应 用 三 角 函 数 的 基 本 关 系 对 式 子 进 行 化 简 或 求 值 . 由 sin ? ? cos ? ? 可 得
(sin ? ? co ? s2? ) 1 9

? sin ? ? 1 ? cos ? , 平方后化简得 cos ? (cos ? ? 1) ? 0

解得 cos ? ? 0 或 cos ? ? 1 .经检验 cos ? ? 0 或 cos ? ? 1 .
???? ? ???? ???? 1 ???? 1 ??? ? ???? 1 AM ? xa, AN ? yb, AG ? AD ? AB ? AC ? ??? ? ???? 2 4 4 a ? ? b? 16.解:设 AB ? a, AC ? b, 则

,即 1 ? 2sin? cos? ? 1 所以 sin 2? ? 8 , 则 tan ? ?
9,

9

1 2 9 1 sin ? cos? ? ? ? ? ? sin ? cos? sin 2? 4 tan cos ? sin ?

.

?

?

5.【解析】首先尽可能化简结论中的表达式 cos A ? cos B ,沿着两个方向:①降次:把三角函数的
2 2

平方去掉;②去角:原来含两个角,去掉一个. 解: cos A ? cos B ?
2 2

???? ? ???? ???? ? 1 ? ???? ???? ? 1 ???? ?1 ? ? MG ? AG ? AM ? ? a ? b ? ? xa ? ? ? x ? a ? b, MN ? AN ? AM ? yb ? xa ? ? xa ? yb 4 4 ?4 ?
1 1 ? ???? ? ???? ? ?? ???? ? ???? ? ? ? x ? a ? b ? ? ? ? xa ? yb ? ? ?? xa ? ? xb MG ? ? MN 4 4 ? ? 又? MG 与 MN 共线,? 存在实数 ? ,使

1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B 1 ? ? 1 ? (cos 2 A ? cos 2 B) 2 2 2

1 ? 1 ? cos( A ? B) cos( A ? B) ? 1 ? cos( A ? B) ,可见答案是 B 2
6.C【解析】本题考查三角函数图像的平移变换及诱导公式的简单应用.把 y ? sin 2 x 的图像向左平移 单位即可得 y ? sin 2( x ? ) ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 的图像.
4 2

?1 ?4 ? x ? ?x 1 1 1 1 ? a 与 b 不共线,? ? 消去 ? ,得 ? ? 4 ? ? 为定值4。 ? x y x y 1 ? ? ?y ? ?4

? 个 4

?

?

专题四 三角函数
单项选择题
2 2 1.B【解析】由角 ? 的终边在直线 y ? 2 x 上可得 tan? ? 2 , cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? cos ? ? sin ? 1 ? tan 2 ? ? ? 3 . 1 ? tan 2 ? 5 2.D 3.【解析】题目中的条件是通过三个圆来给出的,有点眼花缭乱.我们来转化一下,就可以去掉三个圆, 已知条件变为: ΔO O1 O2 边 O1 O2 上一点 C, O O1.O O2 延长线上分别一点 A.B, 使得 O1A = O1C, O2B = O2C.

7.C 8.B 填空题 9. 2 【解析】
S ?ABC ?

本题考查三角行的面积公式及不等式性质的简单应用 . 由三角形的面积公式可得
1 2 bc sin A ? 1 2 , 又 sin A ?
1 1 2 2b ? c 2b ? c ? 所以 bc=4 故 ? ? 4 b c bc 4



2 2bc ? 2 当且仅当 4

1 2 c ? 2 2, b ? 2 时, ? 取得最小值 2 . b c

10.-1 11. C ? ? ? arccos

1 3
3? 5? ? ?) ? tan(? ? ?) sin ( ? ?) ? ?sin? ? 2 2

解法一:连接 O1O2 ,C 在 O1O2 上,则 ?OO1O2 ? ?OO2O1 ? ? ? ? ,

( 12.0【解析】本题考查三角函数诱导公式的灵活应用。 cos

1 1 ?OO1O2 , ?O2 BC ? ?O2CB ? ?OO2O1 ,故 2 2 1 ? ?? ?O1CA ? ?O2CB ? (?OO1O2 ? ?OO2O1 ) ? , 2 2 ?O1 AC ? ?O1CA ?
衡水万卷专题卷(理数)答案 7

tan? ? cos? ? ?sin? ? sin? ? 0 .

解答题 13.解: (I)? m ? n ? m ? n ? 0,? 4 sin B ? sin (
2

?
4

?

B ) ? cos 2 B ? 2 ? 0 2

衡水万卷专题卷(理数)答案 8

? 2sin B[1 ? cos( ? B)] ? cos 2 B ? 2 ? 0, 2 2 ? 2sin B ? 2sin B ? 1 ? 2sin 2 B ? 2 ? 0, 1 ? sin B ? , 2 ? 5 ? 0 ? B ? ? ,? B ? 或 ? . 6 6
(II)? a ?

?

骣 p÷ =2sin 2 x-2cos 2 x=2 2 sin ? 2 x- ÷. ? ? 桫 4÷
所以, f(x)的最小正周期 T=

2p =p . 2

(2)解:因为 f(x)在区间 2 上是增区间,在区间 犏 , 上减函数.

轾 3p p 犏 8 2 臌

3 ? b,? 此时 B ?

?
6
2



又 f(0)=-2,

f(

3p p )=2 2 ,f( )=2, 8 2

方法一:由余弦定理得: b ? a ? c ? 2ac cos B,
2 2

故函数 f(x)在区间 犏 0, 上的最大值为 2 2 ,最小值为-2. 16. 解: (1)由已知及正弦定理得

轾p 犏2 臌

?c2 ? 3c ? 2 ? 0,?c ? 2或c ? 1.
方法二: 由正弦定理得 b a ? , sin B sin A

sin A = sin B cos C + sin C sin B.
又 A = p - ( B + C ) ,故 sin A = sin( B + C ) = sin B cos C + cos B sin C . 由(1) , (2)和

?

1 3 3 ? 2 ? ,? sin A ? ,? 0 ? A ? ? ,? A ? 或 ? , 1 sin A 2 3 3 2

C ? (0, p ) sin B = cos B 得 .
B= p 4.

若A ?

?

3 6 2 2 2 ? ? 若A ? ? , ?C ? ? ? ? ? ? ,??c ? b,? c ? 1. 3 3 6 6
综上 c=2 或 c=1. 14.解: (1)由 m ? n 可得 m ? n ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin 2 A ? sin A sin B ? 0 ,由正弦定理,得 b 2 ? c 2 ? a 2 ? ab ? 0 ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab .
a 2 ? b2 ? c 2 ab 1 ? ? . 再结合余弦定理得 cos C ? 2ab 2ab 2 ? 因此 0 ? C ? ? ,所以 C ? . 3

,因?B ?

?

, 所以角C ?

?

,??c ? 2;



B ? (0, p )

,所以

(2) V ABC 的面积

S=

1 2 ac sin B = ac. 2 4

p 4 = a 2 + c 2 - 2ac cos . 4 由已知及余弦定理得
又 a + c ? 2ac ,故 ac ?
2 2

4 22

,当且仅当 a = c 时,等号成立。

因此 V ABC 面积的最大值为 2 + 1 . 17. 解:本题考查向量的运算与余弦定理.面积公式的应用。 (1)由 (a ? b) : (b ? c ) :(c ? a ) ? 1:2:3 ,可设 a ? b ? k b ? c ? 2k , c ? a ? 3k , k ? 0, 因为
a ? b ? a ? b cos(? ? C ) ? ? a ? b cos C
2 2 2 又 cos C = | a | ? | b | ? | c | ,

(2)因此 sin C ?

3 75 64 4 ? ? ? ? sin A , 2 10 10 5

所以由正弦定理知 c ? a ,则

?
3

? C ? A ,故 cos A ?

3 5

,∴cos C ? ?

所以 cos B ? ? cos( A ? C ) ? sin A sin C ?cos AcosC = 15.(1)解: f(x)= -

4 3 ?3 10

a ?b a?b

2| a |?| b |
2 2

p p cos - 2 cos 2 x sin +3sin 2 x- cos 2 x 2 sin 2 x 鬃 4 4
衡水万卷专题卷(理数)答案 9

a ?b ?c a ?b ? 故? a?b 2a ?b
2 2

2

, a ? b ? c ? ?2k ①
2

2

2

2

同理可得: a ? b ? c ? ?2k②
衡水万卷专题卷(理数)答案 10

a ? c ? b ? ?6k③ ,由①②③可得

2

2

2

8.B【解析】画出可行域如图分析图可知当直线 u ? x ? 2 y 经过点 A . C 时分别对应 u 的最大值和最小值.

a ? ?4k , b ? ?3k , c ? ?5k ,

2

2

2

若 ! ABC 的三个内角 A.B.C 的对边分别为 a.b.c 则 a ? 2 ?k , b ? 3 ?k , c ? 5 ? k , 故 三角形ABC 的三边之比为 a : b : c ? 2 : 3 : 5 (2)若 三角形ABC 的三个内角 A.B.C 的对边长分别为 a.b.c, 由(1)可设 a ? 2m, b ? 3m, c ? 5m, m ? 0 , 由余弦定理可得 cos C ? 所以 sin C ? 1 ? cos 2 C ?
a 2 ? b2 ? c2 4m2 ? 3m2 ? 5m2 3 ? , ? 2ab 6 2 ? 2m ? 3m
33 ab sin C = 1 ? 2m ? 3m ? 33 ? 2 11 ,所以三角形 ABC 的面积为 1 2 2 6 6

填空题 9.15

故 m=2,所以 a=4,b= 2 3 ,c= 2 5 ,所以三角形 ABC 的周长为 a ? b ? c ? 4 ? 2 3 ? 2 5 . (3)设 BC ? a ? 2n, AC ? b ? 3n , AB ? c ? 5n, n ? 0 ,BC 边上的中点为 D,BC 边上的高为 h, 则 AD2 ? b2 ? ( )2 ? 2 ? b ? cos C ? 3n 2 ? n 2 ?2 ? 3n ? n ?
1 1 33 ? ∴ ? ABC 的面积为 ab sin C ? ? 2n ? 3n ? 2 2 6 ∴ BC 边上的高 h ? 3 11 ? 3 11 ? 33 a 2 2 3
a 2 a 2

3 ? 3n2 ,∴ 3n ? 3,∴n ? 3, 6

a b 10. 2 - log 2 3 【解析】依题意得 2a ? 2b ? 2a ? b ? 2a ? 2b ≤ ( 2 ? 2 )2 ,由此得 2a ? 2b ≥ 4 ;由 2 a ? 2b ? 2c 2 1 1 ≥1 ? 1 = 3 , ? 2a+b+c (2a ? 2b ) ? 2c , 得 1 ? 1 ? 2 ≤ 4 , c ≤ log 4 ? 2 ? log 3 , 当 且 仅 当
c

2c

c 2a ? 2b 2

4

4

3

2

3

2

11 2 3 11 1 3 11 ,则 ah ? n ? 2 2 2 2

a ? b ? 1 时, c ≤ 2 ? log 3 取等号,因此 c 的最大值是 2 - log 2 3 .
2

专题五 不等式
单项选择题 1.A 2.B【解析】本题考查不等式的性质.由 ? ? 0 ,得 a ? 0, b ? 0 ,故 a ? b ? 0 且 ab ? 0 ,所以 a ? b ? ab 即① 正确; ? ? 0 ,得
1 a 1 b

1 a

1 b

1 1 ? ,两边同乘 ab ,得 b ? a 故②错误;由①②知 b ? a , a ? 0, b ? 0 ,所以 a b
a?b 2 1 ) ? ,当且仅 2 4

11.-3 12. {x | x ? ?3或x ? 1} 【解析】本题考查分段函数及不等式的解法。 属新定义题型,①当 x<0 时, guox ? 1 ,不等式的解集为 { x | x ? 1} ;②当 x=0 时 guox ? 0 ,不等式无 解 ; ③ 当 x<0 时 , guox ? ?1 , 不 等 式 的 解 集 为 {x | x ? ?3} , 所 以 不 等 式 ( x ? 1) guox ? 2 的 解 集 为. {x | x ? ?3或x ? 1} . 解答题 13.解:(1)当 a ? 1时, f ( x ) ≥ 3 x ? 2 可化为 | x ? 1 |≥ 2 由此可得 x ≥ 3或x ≤ ?1 .故不等式 f ( x ) ≥ 3 x ? 2 的解集为 {x | x ≥ 3或x ≤ ?1} (2)由 f ( x ) ≤ 0 得 | x ? a | ?3 x ≤ 0
x ≥ a, 此不等式化为不等式组 ? ? ? x ? a ? 3 x ≤ 0,

a ? b ,即 ③ 错误,故选 B
3.A 【解析】 由题可知直线 2ax ? by ? 2 ? 0 过圆心 ( ?1, 2) ,故可得 a ? b ? 1 ,又因 ab ≤( 当 a ? b ? 时取等号。故选 A
2 1 2 1 ∵ x ? 0, y ? 0 且 ? ? 1 , x ? 2 y ? ( x ? 2 y) ? ( ? ) 4.D 【解析)】 x y x y 4y x 4y x 4y x 当且仅当 ? , ? 4? ? ≥4 ? 2 ? ?8 , x y x y x y
1 2



? x ≥ a, ?x ≤ a ? x ≤ a, 即? 或? ? ? ? a x≤ , x≤-a ?a ? x ? 3x ≤ 0, ? ? ? ? 4 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 {x | x ≤ ? a }
2

由题设可得 ? a ? ?1 ,故 a ? 2
2

即 4 y 2 ? x 2 , x ? 2 y 时取等号,又 ?

2 x

1 ? 1 此时 x=4,y=2, ∴ ( x ? 2 y) min ? 8 ,要使 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立, y

14.解:(1)由于 x ≥ 1, y ≥ 1 ,所以 x ? y ? 1
? xy( x ? y) ? 1 ≤ y ? x ? ( xy)2

xy



1 ? 1 ? xy x y

只需 ( x ? 2 y)min ? m2 ? 2m 恒成立,即 8 ? m2 ? 2m ,解得 ?4 ? m ? 2 5.A 6.A【解析】本题考查导数函数的运算以及不等式的求解问题,应先依题意求出 f (x)的表达式.再解不 等式 .由于 f ( x) ? x m ? ax 的导函数 f ' ( x) ? 2 x ? 1 ,所以 f ( x) ? x 2 ? x ,于是 f (? x ) ? 6 ,即 x 2 ? x ? 6 ? 0 解得 ?2 ? x ? 3 ,故选 A 7.C【解析】当 m ?1 ? 0 即 m ? ?1 时不等式变为 ?6 ? 0 恒成立;当 m ?1 ? 0 时,由题意知
?m ? 1 ? 0, 解不等式组得: m ? ?1 ,从而知 m ≤ ?1 ,选 C ? 2 ?(m ? 1) ? 12(m ? 1)(m ? 1) ? 0,
衡水万卷专题卷(理数)答案 11

将上式中的右式减左式,得
[ y ? x ? ( xy ) 2 ] ? [ xy ( x ? y ) ? 1] ? [( xy 2 ) ? 1] ? [ xy ( x ? y ) ? ( x ? y )] ? ( xy ? 1)( xy ? 1) ? ( x ? y )( xy ? 1) ? ( xy ? 1)( xy ? x ? y ? 1) ? ( xy ? 1)( x ? 1)( y ? 1)

既然 x ≥ 1, y ≥ 1 所以 ( xy ? 1)( x ? 1)( y ? 1) ≥ 0 ,从而所要证明的不等式成立. (2)设 log a b ? x,log b c ? y, 由对数的换底公式得
logc a ? 1 ,logb a ? 1 ,log c b ? 1 ,log a c ? xy 于是,所要证明的 xy x y

衡水万卷专题卷(理数)答案 12

不等式即 x ? y ? 1 ≤ 1 ? 1 ? xy ,其中 x ? log a b ≥ 1,
xy x y

综合①②得 m ? (??,1 ?

y ? logb c ≥ 1 .故由(1)可知所要证明的不等式成立.

2 ). 2

15.解:本题考查含参数不等式的解法. (1)由 2 ?
x?3 ≥ 0 ,解得集合 A ? {x | x ? ?1或x ≥ 1} x ?1

专题六 立体几何与空间向量
单项选择题 1.A【解析】 本题考查对几何体的直观图的认识.由几何体的直观图的画法及直观图中虚线的使用, 知A 正确. 2.B【解析】本题考查对几何体的体积公式的理解.如果水瓶形状的圆柱, V ? ? r 2 h ,当底面半径 r 不变 时,V 是 h 的正比例函数,其图像应该是过原点的直线,与已知图像不符.由图知函数图像的切线斜 率大于 0,且随着高度 h 的增加,切线斜率逐渐变小,可以看出,随着高度 h 的增加 V 也增加,但 随着 h 的变大,体积 V 在单位高度的增加是变小,图像上升趋势变缓,所以瓶子平行于底的截面的 半径由底到顶逐渐变小. 3.D【解析】依题意知,该几何体是由上下两部分组成的,上部分是一个半径为 2 的半球,下部分是一 个正四棱柱,其中该正四棱柱的底面边长为 2.侧棱长为 3,因此该几何体的体积是
1 2
?(

(2)集合 B ? {x | ( x ? a ? 1)( x ? 2a ) ? 0} ,
?a ? 1 ? 2a ∵? ? B ? A,∴? 或a+1≥ 1,∴a ? 1, ?2a ≤?1

或 ②?

?a ? 1 ? 2a 1 或2a ≥ 1,∴a ≤ ?2或 ≤ a ? 1. 2 ?a ? 1 ≤ -1

? a11 ? a1n ? 1 ? ? ∴ a ? 1或a ≤ ?2或 ≤ a ? 1.? ? ? ? ? 2 ?a ? ? m1 ? amn ?

16. 解:本题考查不等式与直线问题的综合. (1)由条件知 f (2) ? 4a ? 2b ? c ≥ 2 恒成立,

4 3

? ? 2 ) ? 2 ? 3 ? 12 ?
3 2

16? 3

,选 D.

1 又 x ? 2 ? (1,3),∴ f (2) ? 4a ? 2b ? c ≤ × (2 ? 2)2 ? 2 恒成立,∴ f (2) ? 2 . 8
?4a ? 2b ? c ? 2 1 ,∴ 4a ? c ? 2b ? 1,∴b ? , c ? 1 ? 4a (2)∵ ? 2 ?4a ? 2b ? c ? 0

4.C 5.B 6.D【解析】设圆 N 的半径为 r ,球心为 O ,平面 ? ? ? ? AB ,其中线段 AB 是圆 M 的一条直径,连接 OM,ON,MN,NA,NB 过点 M 在平面 ? 内作 AB 的垂线交圆 M 于点 C.由题意知 AB 是圆 N 的一条弦,则 有 NA ? NB 又 M 为 AB 的中点,于是有 NM ? AB , ?NMC ? 60? 又 AB ? OM , AB ? ON 因此 AB ? 平面 又 AB ? 平面 CMN 因此平面 OMN 平面与 CMN 重合, 即点 O,C,M,N 四点共面, 在四边形 ONCM OMN ,
? , OM ? 42 ? 22 ? 2 3, ON ? OM 中, ?OMN ? ?OMC ? ?NMC ? 90? ? 60? ? 30??ONM = 90
1 2
?

又 f ( x ) ≥ x 恒成立,即 ax ? (b ? 1) x ? c ≥ 0 恒成立.
2

3 . 因此,球
2

1 ∴ a ? 0, ? ? ( ? 1)2 ? 4a(1 ? 4a) ≤ 0 2 1 1 1 1 1 1 a ? ,b ? ,c ? ∴ f ( x) ? x 2 ? x ? 8 2 2, 8 2 2. 解得: 1 1 m 1 1 g ( x) ? x 2 ? ( ? ) x ? ? 8 2 2 2 4 在 ? 0, ?? ? 上恒成立, (3)由题意知
2 ?0, ?? ? 上恒成立. 即 h( x) ? x ? 4(1 ? m) x ? 2 ? 0 在

心 O 到截面 ? 的距离 ON ? 3 ,截面圆 N 的半径 r

?

4 ? 3 ? 13 ,截面圆 N 的面积等于 ? r ? 13? ,
2

选D 7.D 8.C 解析:依题意得,直线 l 与平面 ? 内所有不经过斜足的直线都构成异面直线,而两条异面直线所成的 角的最大值是 90? ,因此选 C. 9.A 解 析 : 由 AB ⊥ AC.AB ⊥ AD, 得 AB ⊥ 平 面 ACD , 故 AB ⊥ CD, 即 有 AB ? CD=0 , 同 理 ,

??? ? ??? ?

① 由 ? ? 0 ,即 ?

4(1 ? m)? ? 8 ? 0
2

??? ? ??? ? ???? ??? ? AC ? BD= AD ? BC ? 0 ,于是,命题①为真命题. 又以 AB.AC.AD 为同一顶点出发的三条棱,可构造
一 个 长 方 体 ,则 AB ? AC ? AD 为 以 A 为 起 点的 长 方 体的 体对 角 线 所 对 应的 向 量 ,从 而 |



??? ? ??? ? ????

2 2 ? m ?1? ② 解得: 1 ? ; 2 2

?? ≥ 0 ? 2 ? ②由 ??2(1 ? m) ≤ 0, 解得m ≤ 1 , 2 ? ?h(0) ? 2 ? 0 ?
衡水万卷专题卷(理数)答案 13

??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? ???? AB ? AC ? AD |为长方体的体对角线的长,而 | AB |2 ? | AC |2 ? | AD |2 亦表示体对角线的长,
故命题②亦真. 10.B 11.A 解析:连接 MD,对于①,由于该几何体为正四面体,点 M 为 BC 边上的中点,所以 BC⊥AM,BC⊥DM,从而
衡水万卷专题卷(理数)答案 14

BC⊥平面 AMD,故①正确;对于②,由 BC⊥平面 AMD 易得平面 AMD⊥平面 ABC,又直线 l ⊥平面 ABC,所以直线 l 一定在平面 AMD 内, l 与 DM 不平行,故②正确;对于③,取 AD 的中点 N,连接 MN,易 知 MN⊥AD,在等腰三角形 AMD 中,MN= MD2 ? ND2 = (2 3) ? 2 = 2 2 ,
2 2

a a ∵底面 ABCD 是正方形,∴ G 是此正方形的中心,故点 G 的坐标为 ( , , 0) , 2 2
z P

1 1 8 2 1 ,故③错,故选 A. VC ? AMD ? S?AMD ·MC= × AD×MN×2= 3 3 2 3
填空题 12.
5? 【 解 析 】依 题 意知 ,该 几 何体 是 半径 为 1 的球 的 八分 之 一, 因此 该几 何 体的 表 面积 为 4
A x

F D G

E C y B

1 8

? (4? ? 1 ) ? 3 ? (

2

1 4

? ? ?1 ) ?

2

5? 4

.

??? ? ??? ? a a 且 PA ? (a, 0, ? a), EG ? ( , 0, ? ) . 2 2

13. 2 3 【解析】设正三棱柱的底面边长为 a ,利用体积为 2 3 ,很容易求出这个正三棱柱的底面边长 和侧棱长都是 2,所以底面正三角形的高为 3 故所求矩形的面积为 2 3 . 14.①③④ ? ②或②③④ ? ① 15.①③④ 解答题

∴ PA ? 2 EG ,这表明 PA / / EG .而 EG ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB , ∴ PA / / 平面 EDB . ??? ? (Ⅱ)依题意得 B(a, a, 0) , PB ? (a, a, ? a) .
???? ??? ? ???? a a a2 a2 又 DE ? (0, , ) ,故 PB ? DE ? 0 ? ? ? 0 . 2 2 2 2 ∴ PB ? DE . 由已知 EF ? PB ,且 EF ? DE ? E , 所以 PB ? 平面 EFD .

??? ?

????

F ,则 F 为 AC1 中点. 16.连接 AC1 交 AC 1 于
又 D 是 AB 中点,连接 DF,则 BC1 / / DF. 因为 DF 趟平面ACD , BC1 1 ,所以 BC1 / / DF. 平面ACD 1

A1 B1 A D E

C1

C

(Ⅲ)设点 F 的坐标为 ( x0 , y0 , z0 ) , PF ? ? PB ,则 ( x0 , y0 , z0 ? a) ? ? (a, a, ? a) , 从而 x0 ? ? a, y0 ? ? a, z0 ? (1 ? ? )a , ??? ? a a 1 1 所以 FE ? (? x0 , ? y0 , ? z0 ) ? (?? a,( ? ? )a, (? ? )a) . 2 2 2 2
??? ? ??? ? 1 1 由条件 EF ? PB 知, FE ? PB ? 0 ,即 ?? a 2 ? ( ? ? )a 2 ? (? ? )a 2 ? 0 , 2 2

??? ?

??? ?

(1) 由 AC=CB=

uur 2 AB 得,AC ^ BC。设 C 点坐标原点, CA 的方 2

B

向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz.设 CA=2,则 D(1,1,0),E(0,2,1),

uuu r uur uuu r A1 (2,0,2). CD =(1,1,0), CE =(0,2,1), CA1 =(2,0,2). uuu r ì ? ì x1 + y1 = 0 n . CD =0 ? ? 设 n=(x,y,z)是平面 ACD 的法向量,则 í uuu 即? 可取 n=(1,-1,-1).,同理设 m 是 r í 1 ? ? 2 x + 2 z = 0 n . CA = 0 1 2 ? ? ? 1 ? ? uur ì ? n.m 3 ? m.CE = 0 平面 A 的 法 向 量 , 则 可 取 m=(2,1,-2). 从 而 cos n, m = ,故 C E = r í uuu 1 ? | n || m | 3 m . CA = 0 ? 1 ? ?
s i nn m , = 6 6 即二面角 D- A 1 C-E 的正弦值为 3 3

1 解得: ? ? , 3 ??? ? ??? ? a a 2a a a a a a 2a ∴点 F 的坐标为 ( , , ) ,且 FE ? (? , , ? ) , FD ? (? , ? , ? ) . 3 3 3 3 6 6 3 3 3 2 2 2 ??? ? ??? ? a a 2a ∴ PB ? FD ? ? ? ? ? 0 ,即 PB ? FD , 3 3 3 故 ?EFD 是二面角 C ? PB ? D 的平面角. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 6 a 2 a 2 4a 2 6 ? ? ? a , | FD |? ? ? ? a, ∵ FE ? FD ? ? ? ? , | FE |? 9 36 36 6 9 9 9 3 9 18 9 6
??? ? ??? ? FE ? FD ? ??? ? ? ∴ cos ?EFD ? ??? | FE || FD | a2 6 6 6 a? a 6 3 ? 1 ? ,得 ?EFD ? . 2 3

17.解:如图所示建立空间直角坐标系, D 为坐标原点,设 DC ? a . (Ⅰ)连结 AC , 交 BD 于 G ,连结 EG .依题意得
A(a, 0, 0), P(0, 0, a), E(0, a a , ). 2 2
衡水万卷专题卷(理数)答案 15

衡水万卷专题卷(理数)答案 16

? . 3 18. (Ⅰ)证明:由长方体的性质知: C1 B1 ? A1 B1 , C1 B1 ? BB1 , A1 B1 ? BB1 ? B1 ,
所以二面角 C ? PB ? D 的大小为
D1 C1

Rt ?BB1M 中, tan ?B1MB ?

BB1 4 4 2 ? ? 4 2 B1M 3 2 3 ? 二面角B1 ? A1C1 ? B的正切值为 3 2

专题七 平面解析几何初步
单项选择题
3 2 1. C【解析】显然(-1, 1)在 y ? x 3 ? x 2 ? 2x ? 1 的图象上.设切点为 ( x0 , x0 ? x0 ? 2x0 ? 1) ,
3 2 ( x0 ? x0 ? 2 x0 ? 1) ? 1 y? ? 3x ? 2 x ? 2 ,所以 k ? 3x ? 2x0 ? 2 .另一方面, k ? x0 ? (?1)

A1

B1

?
D

H

C

A

B

2

2 0

\ B1C1 ^ 面A1B1B, 又A1B ? 面A1B1B \ B1C1 ^ A1B,又A1B ^ B1H,B1C1 I B1H =B1,

2 ? x0 ( x0 ? 2) ? 3x0 ? 2x0 ? 2 .所以 x0=1,所以 k ? ?1 .选 C.

2.A 【解析】设底边所在直线的斜率为 k,依题意有,直线 x ? y ? 2 ? 0 到底边所在直线的角等于底边
1 ?k k ? (?1) 所在直线到直线 x ? 7 y ? 4 ? 0 的角,因此有 ,由此解得 k= ? 1 或 k=3,结合图形分析 ? 7 3 1 ? k ? (?1) 1 ? 1 k 7

\ A1B ^ 面B1C1H, 又C1H ? 面B1C1H,
\ A1B ^ C1H,同理A1H ^ BC1, \ H 是VA1BC1 垂心

可知,k>0,因此有 k=3,选 A. 3.A【解析】将直线 y ? 3 x 绕原点逆时针旋转 90? ,得到直线 y ? ? x ,再向左平移 1 个单位,所得到 的直线 y ? ?
1 3
( x ? 1) ,即

1 3

(2) (Ⅱ)延长 BH 交 A1C1 于 M ,连接 B1 M , 由(Ⅰ)知: BM ? A1C1 , 且经过H , 又 A1C1 ? B1 H , B1 H ? BM ? H ,
? A1C1 ? 平面BB1M ,? A1C1 ? B1M .

1 1 y ? ? x ? ,选 A. 3 3

4.C 【解析】在同一坐标系下画出曲线 y ? 3 ? 4 x ? x2 (注:该曲线是以点 C (2,3) 为圆心.2 为半径的圆 不在直线 y ? 3 上方的部分)与直线 y ? x 的图像,平移该直线,结合图形分析可知,当直线 沿 y 轴正方向平移到点 (0,3) 的过程中的任何位置相应的直线与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x2 都有公共点; 当直线沿 y 轴的负方向平移到与以点 C (2,3) 为圆心.2 为半径的圆相切的过程中的任何位置相应 的 直 线 与 曲 线 y ? 3 ? 4 x ? x2 都 有 公 共 点 . 注 意 到 与 y ? x 平 行 且 过 点 (0, 3) 的 直 线 方 程 是 y ? x ? 3 ;当直线 y ? x ? b 与以点 C (2,3) 为圆心.2 为半径的圆相切时(圆不在直线 y=3 上方的部 分) ,有
5.A

Rt ?BB1M中, B1 H ? BM ,
?由?BB1 M



?B1 HM 知 : B1M 2 ? MH ? MB

2?3?b 2



? 2, b ? 1 ? 2 2 .结合图形可知,满足题意的 b 的取值范围是 ?1 ? 2 2,3? ,选 C ? ?

1 1 1 S?A1B1C1 ? ? AC ? AC ? AC 1 1 ?B 1 M , S?A1HC1 ? 1 1?MH , S?A1BC1 ? 1 1?BM 2 2 2
2 ? S? A1B1C1 ? S?A1HC1 ? S?A1BC1

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知: BM ? A1C1 , A1C1 ? B1M
??B1MB为二面角B1 ? A1C1 ? B的平面角.
? A1 B1 ? B1C1 ? 3, BB1 ? 4

6.B 7.C 8. 【解析】 题目中的条件是通过三个圆来给出的, 有点眼花缭乱.我们来转化一下, 就可以去掉三个圆, 已知条件变为:ΔO O1 O2 边 O1 O2 上一点 C,O O1.O O2 延长线上分别一点 A.B,使得 O1A = O1C, O2B = O2C. 解法一:连接 O1O2 ,C 在 O1O2 上,则 ?OO1O2 ? ?OO2O1 ? ? ? ? ,

1 1 ?O1 AC ? ?O1CA ? ?OO1O2 , ?O2 BC ? ?O2CB ? ?OO2O1 ,故 2 2

衡水万卷专题卷(理数)答案 17

衡水万卷专题卷(理数)答案 18

?O1CA ? ?O2CB ?

1 ? ?? (?OO1O2 ? ?OO2O1 ) ? , 2 2 ? ? ?? ? ? ? ? (?O1CA ? ?O2CB ) ? , sin ? ? cos . 2 2

所以, k = - m + m + 1 = - (m 14.解: (1) 设对称点为 M ( x, y )

2

1 2 5 ) + ? ( 2 1,1) ,. (1 < m < 2 4

2)

解法二:对于选择填空题,可以用特例法,即可以添加条件或取一些特殊值,在本题中假设两个小圆 的 半 径 相 等 , 则 ?OO1O2 ? ?OO2O1 ?

? ??
2

, ?O1CA ? ?O2CB ?

? ? ? ? (?O1CA ? ?O2CB ) ?
填空题
2 2 9.(0,2) 10. 0; -16 11.【答案】 :5 12.②④ 解答题

? ??
2

, sin ? ? cos

?
2

1 ? ?? ?OO1O2 ? , 2 4

.

? y ?5 ? x ? 4 ? 3 ? ?1 ? x ? ?2 则? ?? y?5 x?4 ? ? 3? ?3 ? y ?7 2 ? 2
所以 M 点的坐标为 (?2,7) (2) 设直线 L 关于直线 y ? x ? 2 的对称直线为 L1 任取 L 上一点,如 A (?1,0)

13.解:设 P(x,y),则 H(0,y),由

{

uuuur uuu r uu u r AP . BP = 2 PH 2 ( X + 2,y).( x- 2, y )= 2 x 2即y 2 - x 2 = 4

则点 A 关于直线 y ? x ? 2 的对称点为 A' (2,?3)

(1)令 CD: x = my + 2(m ? 0) 代入 y 2 - x2 = 4 ,整理得

(1- m2 ) y 2 - 4my - 8 = 0

5 ? ? y ? 3x ? 3 ? x ? ? 2 5 9 解方程组 ? 得? 即两条直线的交点坐标为 B(? ,? ) 2 2 ? y ? x ? 2 ?y ? ? 9 2 ? 5 9 由 L1 过点 A' (2,?3) , B(? ,? ) 由两点式可得 L1 : 7 x ? y ? 22 ? 0 2 2
15.解:由已知得圆 M 的圆心为 M (-1,0),半径 r1 =1,圆 N 的圆心为 N (1,0),半径 r2 =3.

因为直线在 x 轴下方交 P 点轨迹于 C ( x1 , y1 ) ,D( x2 , y2 )两点所以上式有两个负根,由

ì ? 1- m 2 ? 0 ? ? ? V= 16m2 + 32(1- m2 ) > 0 ? ? ? ? í y1 + y2 = 4m < 0 ? 1 m < ? ? 1- m 2 ? ? ? - 8 ? y1 y2 = >0 ? ? 1- m 2 ? ?
x1 + x2 y1 + y2 , )= 2 2

设动圆 P 的圆心为 P ( x , y ),半径为R. (Ⅰ)∵圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切,∴|PM|+|PN|= ( R ? r 1 ) ? (r 2 ? R) = r 1 ? r2 =4,

2

由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为 3 的椭圆(左顶点除外),

其方程为

根据韦达定理,得 CD 中点 M 的坐标为

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?2) . 4 3

M(

骣 2 2m ÷ ? , ÷ ? 2 ? 桫 1- m 1- m 2 ÷

(Ⅱ)对于曲线C上任意一点 P ( x , y ),由于|PM|-|PN|= 2 R ? 2 ≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2. ∴当圆P的半径最长时,其方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,
2 2

代入直线 MQ 的方程 y+2=kx,(k 为其斜率)得

2m 2k + 2= 2 1- m 1- m 2
衡水万卷专题卷(理数)答案 19

当 l 的倾斜角为 90 时,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 .
衡水万卷专题卷(理数)答案 20

?

当 l 的倾斜角不为 90 时,由 r1 ≠R知 l 不平行 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为Q,则

?

| QP | R = ,可求得Q | QM | r1

若C 与 所以 为

C1 , C2 都内切,则 CC1 ? r ? r1 , CC2 ? r ? r2 ,所以 CC2 ? CC1 ? r1 ? r2 ;
,由双曲线的定义, C 的圆心的轨迹是以

CC2 ? CC1 ? r1 ? r2 ? C1C2

2 (-4,0),∴设 l : y ? k ( x ? 4) ,由 l 于圆M相切得 . ? 1 ,解得 k ? ? 4 1? k 2
当k =

| 3k |

C1 , C2 为焦点.实轴长

r1 ? r2 的双曲线;

x2 y 2 2 2 时,将 y ? ? 1( x ? ?2) 并整理得 7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 ,解得 x ? 2 代入 ? 4 3 4 4

(ⅱ)若 C 与 所以

C1 内切,C2 外切,则 CC1 ? r ? r1 , CC2 ? r2 ? r (或 CC1 ? r1 ? r , CC2 ? r2 ? r ) ,
(或

CC2 ? CC1 ? r1 ? r2

CC2 ? CC1 ? r1 ? r2

18 ?4 ? 6 2 2 ,∴|AB|= 1 ? k | x1 ? x2 | = . x1,2 = 7 7
当 k =-

) ;

若C 与

C1 外切, C2 内切,则 CC1 ? r ? r1 , CC2 ? r ? r2 (或 CC1 ? r ? r1 , CC2 ? r2 ? r ) ,所以
(或

18 2 时,由图形的对称性可知|AB|= , 7 4

CC1 ? CC2 ? r1 ? r2
所以

CC2 ? CC1 ? r1 ? r2


) ; ,所以 C 的圆心的轨迹是过

18 综上,|AB|= 或|AB|= 2 3 . 7
16.解析:不妨设 (1)当

CC2 ? CC1 ? r1 ? r2 ? C1C2

CC2 ? CC1 ? r1 ? r2 ? C1C2

C1 ,

C1 , C2 和 C 的半径分别为 r1 , r2 , r ( r1 ? r2 ) ,

C2 的直线(除直线与圆 C1 . C2 的交点外) ;
(3)当

C1 和 C2 相离时,即

C1C2 ? r1 ? r2

C1 和 C2 相交时,即 r1 ? r2 ? C1C2 ? r1 ? r2 , C1 , C2 都外切,则 CC1 ? r1 ? r , CC2 ? r2 ? r ,所以 CC1 ? CC2 ? r1 ? r2 ;

, (ⅰ)若 C 与 若C 与

(ⅰ)若 C 与 若C 与 所以 为

C1 , C2 都外切,则 CC1 ? r1 ? r , CC2 ? r2 ? r ,所以 CC1 ? CC2 ? r1 ? r2 ;

C1 , C2 都内切,则 CC1 ? r ? r1 , CC2 ? r ? r2 ,所以 CC2 ? CC1 ? r1 ? r2 ; C C ,由双曲线的定义, C 的圆心的轨迹是以 1 , 2 为焦点.实轴长

C1 , C2 都内切,则 CC1 ? r ? r1 , CC2 ? r ? r2 (或 CC1 ? r1 ? r , CC2 ? r2 ? r ) ,所以
; ,由双曲线的定义, C 的圆心的轨迹是以

CC2 ? CC1 ? r1 ? r2 ? C1C2

CC2 ? CC1 ? r1 ? r2
所以 为

r1 ? r2 的双曲线;

CC2 ? CC1 ? r1 ? r2 ? C1C2

C1 , C2 为焦点.实轴长

(ⅱ)若 C 与 若C 与 所以 为

C1 内切, C2 外切,则 CC1 ? r ? r1 , CC2 ? r2 ? r ,所以 CC2 ? CC1 ? r1 ? r2 ;

r1 ? r2 的双曲线(圆 C1 . C2 的交点除外) ;

C1 外切, C2 内切,则 CC1 ? r ? r1 , CC2 ? r ? r2 ,所以 CC1 ? CC2 ? r1 ? r2 ;
,由双曲线的定义, C 的圆心的轨迹是以

(ⅱ)若 C 与 若C 与 所以

C1 内切, C2 外切,则 CC1 ? r1 ? r , CC2 ? r2 ? r ,所以 CC2 ? CC1 ? r1 ? r2 ;

CC2 ? CC1 ? r1 ? r2 ? C1C2

C1 , C2 为焦点.实轴长

C1 外切, C2 内切,则 CC1 ? r ? r1 , CC2 ? r2 ? r ,所以 CC2 ? CC1 ? r1 ? r2 ;
,由椭圆的定义, C 的圆心的轨迹是以

r1 ? r2 的双曲线;

CC2 ? CC1 ? r 1?r 2 ? C 1C2

C1 , C2 为焦点.实轴长为

(2)当

C1 和 C2 外切时,即 C1C2 ? r1 ? r2 , C1 , C2 都外切,则

r1 ? r2 的椭圆(圆 C1 . C2 的交点除外) ;

(ⅰ)若 C 与

CC1 ? r1 ? r



CC2 ? r2 ? r

,所以

CC1 ? CC2 ? r1 ? r2

(4)当 ;

C1 和 C2 内切时,即 C1C2 ? r1 ? r2 ,

衡水万卷专题卷(理数)答案 21

衡水万卷专题卷(理数)答案 22

(ⅰ)若 C 与

C1 , C2 都外切,则 CC1 ? r1 ? r , CC2 ? r2 ? r ,所以 CC1 ? CC2 ? r1 ? r2 ;

kCA ?

CC1 ? r ? r1 CC2 ? r ? r2 CC1 ? r1 ? r CC2 ? r ? r2 C C 若 C 与 1 , 2 都内切,则 , (或 , 或 CC1 ? r1 ? r


k ? kCB ??2 2 2 ??2 2 2 , tan ?ACB ? CA ? 2 2 ,答案 A = ,kCB ? =1 ? kCAkCB 2 ??2 2 2 ??2 2

CC2 ? r2 ? r
);

), 所 以

CC2 ? CC1 ? r1 ? r2

( 或

CC2 ? CC1 ? r1 ? r2

解法二:如图,利用抛物线的定义,将原题转化为:在直角梯形 ABCD 中,∠BAD = 45° ,EF∥DA, EF = 2,AF = AD,BF = BC,求∠AEB.
D G A



CC2 ? CC1 ? r2 ? r1
所以

tan ?AEF ? tan ?EAD ?

DE GF 2 .类似的,有 ? ? AD AF 2

E

F

CC2 ? CC1 ? r1 ? r2 ? C1C2



CC2 ? CC1 ? r1 ? r2

C C ,所以 C 的圆心的轨迹是过 1 , 2 的直

C

B

线(除直线与圆

C1 . C2 的交点外) ;

2 ?AEB ? ?AEF ? ?BEF ? 2?AEF , tan ?BEF ? tan ?EBC ? 2

CC1 ? r1 ? r CC2 ? r2 ? r CC2 ? CC1 ? r1 ? r2 ? C1C2 C C (ⅱ) 若 C 与 1 内切, 2 外切, 则 , , 所以 ,
所以 C 的圆心的轨迹是以 (5)当

tan ?AEB ? tan 2?AEF ? 2 2 ,答案 A
7.B 填空题 9.9 8.D

C1 , C2 为焦点.实轴长为 r1 ? r2 的椭圆(两圆 C1 . C2 的交点除外) ;

C1 和 C2 内含时,即 C1C2 ? r1 ? r2 ,

10.2 p

11.

5 7

12. 2 6 【解析】直线方程为 y ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 与 y 2 ? 2 x 联立,得 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ,∴ xM ? xN ? 4 ,
xM ? xN ? 1 . ∴ MN ? 1 ? 12 xM ? xN ?

CC1 ? r1 ? r CC2 ? r ? r2 CC2 ? CC1 ? r1 ? r2 ? C1C2 C C (ⅰ)若 C 与 1 , 2 都内切,则 , ,所以 ,
r ?r C C 所以 C 的圆心的轨迹是以 1 , 2 为焦点.实轴长为 1 2 的椭圆;
(ⅱ) 若C 与

2?

( xM ? xN 2) ? 4 xM xN ?

2 ? 1 6? 4? 2 6

解答题 13.(1)设 F(-c,0),由

CC1 ? r1 ? r CC2 ? r2 ? r CC2 ? CC1 ? r1 ? r2 ? C1C2 C1 内切,C2 外切, 则 , , 所以 ,
C1 , C2 为焦点.实轴长为 r1 ? r2 的椭圆。

所以 C 的圆心的轨迹是以

c 3 = , 知a = a 3

3c ,过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x=-c, 6b , 3

专题八 圆锥曲线与方程
单项选择题 1.D 2.A【解析】设圆心 C ( x , y ) ,由题意得 ( x ? 0) ? ( y ? 3) ? y ? 1( y ? 0) ,化简得 x ? 8 y ? 8 .
2 2
2

带入椭圆方程有

x2 y 2 (- c) 2 y 2 所以方程: + = 1. 解得y = ? + = 1, 3 2 a2 b2

于是

2 6b 4 3 = , 解得b = 3 3

2, 又a2 - c2 = b2 , 而a =

3, c = 1,

3.A 4.B 5.A【解析】由双曲线
x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的准线 x ? ?1 过椭圆 ? ? 1 的焦点,得 b 2 ? 4 ? 1 ? 3 ,则椭圆方程为 2 2 4 b2

x2 y 2 所以方程: + = 1. 3 2
(2)设点 C ( x1 , y1 ) ,D ( x2 , y2 ) ,由 F (- 1, 0) 得直线 CD 的方程为 y = k ( x + 1) ,

x2 y 2 ? ? 1 ,当 k=0 时, y ? kx ? 2 与椭圆没有交点;当 k ? 0 时,将 y ? kx ? 2 代入到椭圆的方程,得 4 3 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? ? 0 ,由 1 1 ? ? (16k )2 ? 16(3 ? 4k 2 ) ≤ 0 ? ? ≤ k ≤ 2 2

6.解法一:焦点 F(1,0) ,C(-1,0) ,AB 方程 y = x – 1,与抛物线方程 y2 = 4x 联立,解得

ì ? ? í ? ? 由方程组 ?

y = k ( x + 1) x2 y 2 + =1 3 2

消去 y,整理得 (2 + 3k ) x + 6k x + 3k - 6 = 0.
衡水万卷专题卷(理数)答案 24

2

2

2

2

A???? 2 2? ? ? 2 2)?, ???B????? 2 2? ? ? 2 2)? ,于是
衡水万卷专题卷(理数)答案 23


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