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27.2.1相似三角形的判定(第一课时)


27.2.1相似三角形的判定
(第1课时)

创设情境,引入新课:
1、相似多边形有什么性质? 2、什么是相似多边形? 3、在相似多边形中最简单的是相似 形,你能给它下一个定义吗? 4、如下图,在 △ ABC和 △A’B’C’中, ∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’,

则(1)△ ABC与△A’B’C’ ,

记作△ ABC △A’B’C’。 (2)△ ABC与△A’B’C’相似比为 ,△A’B’C’与△ ABC相似比 为 。 (3) 如果 k=1,则△ ABC与△A’B’C’ 的关系为 , 5、你会判断两个三角形全等吗?有哪些方法? 6、你会判断两个三角形相似吗?

合作交流,探究新知:
探究活动1: 如图,任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4 、l5。 分别度量l3、l4 、l5在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的

两条线段DE、EF的长度,
AB 与 DE 相等吗? (1) BC EF

AB DE (2)任意平移l5,在度量AB、BC、DE、EF的长度, BC 与 EF 相等吗? BC BC (3)在图中 AB 与 DE 、 与 EF 、 与 EF 是否也相等呢? AC DF AB DE AC DF

l1

l2

(4)由此你能得出什么样的结论?
平行线分线段成比例定理:

A

D E F

l3 l4 l5

三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等。 B

C

定理的符号语言

L1 L2 A D B
C

L3//L4//L5 DE AB

E
F

L3 L4
L5

BC

=

EF

(平行线分线段成比例定理)
平行线分线段定理:三条平行线截两条直线, 所得的对应线段的比相等。

探究活动2:
1、把图中L2向左平移时,两 直线相交时有两种特殊的交 点如下图,图(1)是把L4看 成平行于△ABC的边BC的直 线,图(2)是把L3看成平行 于△ABC的边BC的直线,那 我们能得出什么样的结论呢?

L1

L2

L3 L4
L5

平行线分线段成比例定理推论: 平行三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线), 所得的对应线段的比相等。 l1 l2 l1 l D El 2

A

3

l3
B

A

l4

D B

E l4 l (图1) C 5

Cl5 (图2)

如果把多余的线去掉如下图:

A

E

D

D B

E C
B

A C

“A”型

“X”型

2、除了刚才的结论,你还能得出△ABC与它平行的 线DE所截得△ADE之间还有什么关系?你能用语言 叙述这个结论?

平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线) 命题:
相交,所得的三角形与原三角形相似。

A

E

D

D B

E C B

A

C

“A”型

“X”型

命题: 平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长 线)相交,所得的三角形与原三角形相似。
思考:(如何证明此命题) 1、证明文字命题的步骤是什么? 2、证明两个三角形相似的方法目前方法是什么?

1. 如图,已知:DE//BC, 求证: △ADE∽△ABC
证明:在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A ∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C

A E
C

AE BF 过E作EF//AB交BC于F 则 ? AC BC
∵四边形DBFE是平行四边形

AD AE ? AB AC D
F ∴△ADE∽△ABC

∴DE=BF

AE DE ? ? AC BC

AD AE DE ? ? ? AB AC BC

B

2. 如图,已知:DE//BC, 求证: △ADE与△ABC相似
方法一:延长BC,过点E作EF//DB,

E A

D

F

B E D
G

C

方法二:在AB上截取AF=AD,过点F作 FG//DE,证△ADE ≌ △A FG

A
F

三角形相似的(预备)定理:

平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交 ,所得的三角形与原三角形相似。

B

C

A L5 L4 总结: D E

L5 E

L4 D

L1
L2

A B C

L1
L2

B

C

“A”型

数学符号语言 ∵ DE∥BC


L3

“X”型

L3

数学符号语言 ∵ DE∥BC ∴

预备定理:平行于三角形一边的直线与其它两边(或 延长线)相交,所得的三角形与原三角形相似。

1、 如图 请尽可能多地找出下列图中的 相似三角形,并说明理由。
A
D E F A

A
E G

B O

D

E C
图3

F D

B

F 图1

C

B

C
图2

DE∥BC ,DF∥AC,

DE∥FG//BC

AB∥EF∥CD,

2、如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm, ∠BAC=450,∠ACB=400. (1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长. E

C

解: (1) ? DE ∥ BC

? △ADE∽△ABC ? ∠AED=∠C=40 .
0

A

在△ADE中, ∠ADE=1800-400-450=950. ? △ADE∽△ABC (2) AE DE 50 DE ? ,即 ? . AC BC 50 ? 30 70 50 ? 70 所以, DE ? ? 43.75( cm). 50 ? 30

D

B

?

(3)求△ABC与△ADE的相似比?

例:如图,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而 且落在离网5米的位置上,求球拍击球的高度h。

(设网球是直线运动)

图中有几个相 似三角形?

解:图中的两个竖线都是

垂直于水平线的,即互相平行,
所以,图中的两个直角三角形是相似的, 则对应边的比相等, h 15 所以, ? , h ? 2.4米。 0.8 5

例:如图,BE , CF 是?ABC的中线,交于点G, GE GF 1 求证: ? ? 。 证明:连接EF ,? EF为AC , AB的中点, GB GC 2
A

F

G

E

1 ? EF为?ABC的中位线,即EF // BC , 且EF ? BC , 2 ??EGF ? ?BGC ?
C

B

EF GF GE 1 ? ? ? . BC GC GB 2

重心的性质:三角形的重心到一个顶点的距离,等 于它到对边中点的距离的两倍。
1、“三角形相似的预备定理”。这个定理揭示了有三角形一边 的平行线,必构成相似三角形, 因此在三角形相似的解题中,常 作平行线构造三角形与已知三角形相似。

2、相似比是带有顺序性和对应性的。

作业:


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