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高中数学第四届全国青年教师优秀课观摩大赛 直线的倾斜角与斜率教案


直线的倾斜角与斜率的教学设计
一、教学目标 1、探索确定直线位置的几何要素,感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。 2、通过教学,使学生从生活中的坡度,自然迁移到数学中直线的斜率,感受数学概念来源于 生活实际,数学概念的形成是自然的,从而渗透辩证唯物主义思想。 3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面,刻画直线相对于 x 轴倾斜程度的两个量这一事 实,渗透数形结

合思想。 4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程,初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式,渗透 几何问题代数化的解析几何研究思想。 二、教学重点与难点 重点:1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念; 2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式; 3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。 难点:用代数方法推导斜率的过程。 三、教学方法 计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下,让学生在教师引导下,积极 探索,亲身经历概念的发现与形成过程,体验公式的推导过程,主动建构自己的认知结构。 四、教学过程 (一)创设情境,揭示课题 问题 1、 (出示幻灯片)给出的两点 P、Q 相同吗? 从形的角度看,它们有位置之分,但无大小与形状之分。 从数的角度看,如何区分两个点?(用坐标区分) 问题 2、过这两点可作什么图形?唯一吗?只经过其中一点(如点 P)可作多少条直线?若只 想定出其中的一条直线, 除了再用一点外, 还有其他方法吗?可以增加一个什么样的几何量? (估计不少学生能意识到需要有一个角) 由此引导学生归纳,确定直线位置可有两种方式 (1)已知直线上两点 (2)已知直线上一点和直线的倾斜程度 问题 3、角的形成还需一条线,也就是说要有刻画倾斜程度的角,就必须还有一条形成角的参

用心

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专心

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照的直线。在平面直角坐标系下,以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角?(学生可能回 答 x 轴或 y 轴) 以 x 轴或 y 轴为基准都可以,习惯上我们用 x 轴。 问题 4、过点 P 与 x 轴形成 45 角的直线有几条?
?

(学生可能答一条或两条,投影 演示结果)如何区分清楚这两条直线 呢?估计学生能想到还需要确定方 向。
它对应呢?

y L2
· 45


L1 p

135



o

x

选择哪个角来描述直线的倾斜程度,就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与

(教师引导学生选取不同的方向来描述角,并区分 L1 与 L2) 。 数学概念来刻画事物时,讲求统一美与简洁美,如何用数学语言准确描述这个角呢?(揭 示课题) 1、倾斜角的定义:在直角坐标系下,以 x 轴为基准,当直线 l 与 x 轴相交时, x 轴正向 与直线 l 向上方向之间所成的角 ? ,叫做直线 l 的倾斜角。 学生练习画出过点 P 的各种倾斜角的直线。
y o

?

p

l
x

y o

l

y o p

y

?x
l

p

?

p x o

l x

学生容易忽略与 4) ,问倾斜角在哪儿? x 轴平行的直线,补出图( (1) (2) (3) (4) 如何规定? 规定:当直线 l 与 x 轴平行或重合时,它的倾斜角为 0 。 自然有倾斜角的范围是[0 ,180 ) 这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角 ? 与它对应。倾斜程度相同 的直线,其倾斜角相等,倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等。 以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。
? ? ?

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-2-

(二)巩固旧知,同化新知 生活中,我们都有过爬山、爬坡的体验,对于斜坡的倾斜程度,可以用什么量来反映? (坡角与坡度) 初中对坡度是如何定义的?

升高量 坡度(比)= 前进量

(即坡角 ? 的正切值)

当坡角 ? 增大时,坡度如何变化? 当坡角 ? =90 与 0 时,升高量、前进量分别是什么?坡度又分别是什么?
? ?

坡角、坡度都能反映倾斜程度,迁移到数学中,坡角相当于直线的倾斜角,而坡度则对 应于直线的斜率。 2 、斜率:倾斜角不是 90 的直线,其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即
?

k ? tan?(? ? 90? )
问题 5、当 ? 为钝角时,直线的斜率如何求?(转化到其补角 ? 上) y

o?

?
x

? ? 180? ? ?(?是锐角) ? k ? tan? ? tan( 180? ? ?) ? ? tan?
如:倾斜角 ? ? 120 ,则斜率 k ? ? 3
?

问题 6、当 ? 在[0 ,180 )内变化时,斜率 k 如何变化?
? ?

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-3-

y o

?

p

l
x

y p o

l

y o p

y

?x

?x

p

o

l x

l

0°<

?<

90°

?

= 90°

90°<

?

<180°

? = 0°
k=0

k >0

k不存在

k<0

问题 7、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度,哪个量更优越呢? 倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度,而斜率是比值,实质是数值,它能从数的角度反映 倾斜的程度,显然用斜率更细致入微些。 (三)尝试推导,深化认识 两点确定一条直线,可见由两点也就确定了直线的倾斜程度,即倾斜角与斜率。看来, 直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。 问题 8、在平面直角坐标系中,已知直线上两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)且 x1 ? x2,能否用 P1 、P2 的坐标来表示直线斜率 k? (学生活动) :随意在坐标系下画两点 P1 、P2 及直线 P1 P2,探究各种图形并尝试推导,可以 先特殊再一般,也可先一般再特殊地去分析。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系 中,类似升高量,前进量,用点的坐标表示线段长,并请同学叙述各个图的推导过程与结果。

y P2(x2,y2)
Q (x2,y1)

y P2(x2,y2) P1(x1,y1) α Q (x2,y1) O y P1(x1,y1) P2(x2,y2) α x x

α

P1(x1,y1) O

x

y P1(x1,y1)
Q (x1,y2) P2(x2,y2)

α

O

x

Q (x1,y2)

O

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解:设直线 P1 P2 倾斜角为 ? ( ? ? 90 )当直线 P1 P2 方向向上时,过点 P1 作 x 轴的平行线,
?

过点 P2 作 y 轴的平行线,两线交于点 Q,则点 Q 为(x2,y1) (1)当 ? 为锐角时, ? ? ?QP 1P 2 , x1 ? x 2 , y1 ? y 2 在 Rt?P 1P 2 Q 中, tan? ? tan?QP 1P 2 ?
?

QP2 P1Q

?

y 2 ? y1 x2 ? x1

(2)当 ? 为钝角时, ? ? 180 ? ? (设 ?QP , x1 ? x 2 , y1 ? y 2 1P 2 =? )

tan ? = tan( 180? ? ? ) ? ? tan?
在 Rt?P 1P 2 Q 中, tan? ?

QP2 QP 1

?

y 2 ? y1 y ? y1 ?? 2 x2 ? x1 x2 ? x1

? tan? ?

y 2 ? y1 (可让学生分组推导) x2 ? x1 y ? y1 y2 ? y1 ,即 k ? 2 x2 ? x1 x2 ? x1

同理,当直线 P2P1 方向向上时,无论 ? 为锐角或钝角,也有 tan? ?

思考:1、各种一般情形得出的结论一致吗?与 P1、P2 这两点坐标顺序有关系吗? 2、当直线垂直于 x 轴或 y 轴时,上述结论适用吗? 3、斜率公式使用时应注意什么问题? 巩固练习:求经过下列两点直线的斜率,并判断倾斜角是锐角还是钝角。 (1)A(3,2),B(-4,1) ( k AB ? (2)A(3,2),B(4,1) ( k AB

1 ) 7

? ?1 )

(3)A(3,2),B(3,-1) (不存在) (4)A(3,2),B(-4,2) ( k AB ? 0 ) (四)反思小结,概括提炼(同学们这节课有何收获?) 1、明确了确定直线位置的几何要素。 2、理解了刻画倾斜程度的量(倾斜角与斜率) ,知道了求斜率的两种方法(定义法、坐 标法) ? 3、经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论的数学思想 k ? tan ? ? 2 1 (五)板书设计 2 ? 1 直线的倾斜角与斜率

y x

y x

1、倾斜角的定义 范围[0 ,180 ) 2、直线的斜率
用心 爱心
?
? ?

(学生展示推导斜 率公式的图形)
?

专心

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k ? tan ? ( ? ? 90? )

? 为钝角时,
k ? tan ? ? tan(180 ? ? ?) ? ? tan ?
(六)作业:①自学课本 P85:例 1、例 2; ②作业本:P89:1、2、3。

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专心

-6-


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