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球的体积和表面积


西伯利亚

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教学目标

重点难点

球的体积

球表面积



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例题讲解

课堂练习

课堂小结

课堂作业 封底

§9.11球的体积和表面积

教学目标
?掌握球的体积、表面积公式.

?掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法.
?会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题,培养 学生应用数学的能力. ?能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题.

§9.11球的体积和表面积

重点难点

?教学重点
?球的体积公式及应用 ?球的表面积公式及应用

?教学难点
?球的表面积公式的推导
?球的体积公式的推导
分割 ? 求近似和 ? 化为准确和思想方法

§9.11球的体积和表面积

球的体积

高等于底面半径的旋转体体积对比
R ?

V圆锥

1 3 ? ?R 3

V半球 ? ?

V圆柱

3 3 ? ?R 3

猜测 : V半球

2 4 3 ? ?R , 从而V ? ?R 3 . 3 3

§9.11球的体积和表面积

球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来.所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法.

我们把一个半径为R的圆分成若干等分,然后如上图重新 拼接起来,把一个圆近似的看成是边长分别是 ?R和R的矩形.

那么圆的面积就近似等 于?R .
2

§9.11球的体积和表面积

球的体积
当所分份数不断增加时,精确程度就越来越高;当 份数无穷大时,就得到了圆的面积公式. 分割 求近似和 化为准确和

下面我们就运用上述方 法导出球的体积公式
即先把半球分割成n部分,再求出每一部分的近似体积, 并将这些近似值相加,得出半球的近似体积,最后考虑n变 为无穷大的情形,由半球的近似体积推出准确体积.

§9.11球的体积和表面积

球的体积
A A

O

O

C2

B2

r1 ? R ? R,
2

R 2 r2 ? R ? ( ) , n
2

2R 2 r3 ? R ? ( ) , n
2

§9.11球的体积和表面积

A

球的体积

ri

O

R ( i ? 1) n

R

O
第i层“小圆片”下底面的 半径:
ri ? R R ? [ ( i ? 1)]2 , i ? 1,2? , n. n
2

§9.11球的体积和表面积

球的体积
R ( i ? 1)]2 , i ? 1,2, ?, n n 3 R ? R i ?1 2 2 Vi ? ?ri ? ? [1 ? ( ) ], i ? 1,2? , n n n n ri ? R2 ? [

V半球 ? V1 ? V2 ? ? ? Vn
12 ? 2 2 ? ? ? ( n ? 1)2 ? [n ? ] 2 n n

?R 3

?R 3 1 ( n ? 1) ? n ? ( 2n ? 1) ? [n ? 2 ? ] n n 6
1 ( n ? 1)( 2n ? 1) ? ?R [1 ? 2 ? ] n 6
3

§9.11球的体积和表面积

球的体积
V半球 1 1 (1 ? )( 2 ? ) n n ] ? ?R 3 [1 ? 6
1 ? 0. n

当n ? ?时,

2 ?V半 球 ? ?R 3 3 4 从 而V ? ?R 3 . 3

4 3 定理:半径是 R的球的体积为: V ? ?R 3

§9.11球的体积和表面积

球的表面积 球面不能展开成平面图形,所以求球的表面积无法用展开图 求出,如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法, 是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢?

下面,我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式.
1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块, 每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似 看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近 于甚至等于球的表面积. 2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为 顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大, 越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.

§9.11球的体积和表面积

球的表面积

?S i

o

o

§9.11球的体积和表面积

球的表面积 球面被分割成n个网格,表面积分别为:

第 一 步: 分 割

?S1,?S2,?S3 ,?, ?Sn
O

则球的表面积:

S ? ?S1 ? ?S2 ? ?S3 ? ? ? ?Sn
设“小锥体”的体积为 ?Vi

?Si
O

则球的体积为:

?Vi

V ? ?V1 ? ?V2 ? ?V3 ? ? ? ?Vn

§9.11球的体积和表面积

球的表面积

第 二 步: 求 近 似 和

?Si
?hi
O O

?Vi

1 ?Vi ? ?S i ?hi 3
由第一步得: V ? ?V1 ? ?V2 ? ?V3 ? ? ? ?Vn

1 1 1 1 V ? ?S1?h1 ? ?S2 ?h2 ? ?S3 ?h3 ? ? ? ?Sn ?hn 3 3 3 3

§9.11球的体积和表面积

球的表面积

第 三 步: 化 为 准 确 和
O

?hi

?S i
?Vi

如果网格分的越细,则: “小锥 体”就越接近小棱锥

?hi 的值就趋向于球的半径 R
1 ? ?Vi ? ?S i R 3 1 1 1 1 V ? ?Si R ? ?S2 R ? ?S3 R ? ? ? ?Sn R 3 3 3 3
1 1 ? R( ?S i ? ?S 2 ? ?S 3 ? ... ? ?S n ) ? RS 3 3

R

?Si
?Vi

4 3 又球的体积为: V ? ?R 3 4 1 3 ?R ? RS , 从而S ? 4?R 2
3 3

§9.11球的体积和表面积

例题讲解

例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
4 4 5 3 125 3 V ? ?R ? ? ? ( ) ? ?cm 3 3 3 2 6

(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)

§9.11球的体积和表面积

例题讲解
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
4 5 3 4 7.9 ? [ ? ? ( ) ? ?x 3 ] ? 142 3 2 3
x
3

5 3 142 ? 3 ?( ) ? ? 11.3 2 7.9 ? 4?

由计算器算得:

x ? 2.24
2 x ? 4.5

答:空心钢球的内径约为4.5cm.

§9.11球的体积和表面积

例题讲解 (变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 至少要用多少纸?
用料最省时,球与正方体有什么位置关系?

球内切于正方体

侧棱长为5cm

S 侧 ? 6 ? 5 ? 150cm
2

2

§9.11球的体积和表面积

例题讲解
例2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上,问球O的表面积。
分析:正方体内接于球,则由球和正方 体都是中心对称图形可知,它们中心重 合,则正方体对角线与球的直径相等。
略解: Rt?B1 D1 D中 : ( 2 R ) ? a ? ( 2a ) , 得
2 2 2

D A D1 A1 B

C

O
C1 B1

3 R? a 2 ? S ? 4?R 2 ? 3?a 2

D
A D1 A1 B1 O B

C

C1

§9.11球的体积和表面积

例题讲解
例3已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的 体积,表面积. 解:如图,设球O半径为R, 截面⊙O′的半径为r,

O A
O?

? O ?O ?

R , ?ABC是正三角形, 2

C

O ?A ?

2 3 2 3 ? AB ? ?r 3 2 3

B

§9.11球的体积和表面积

例题讲解

例3.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的体积, 表面积.
解:在Rt?OO?A中,? OA2 ? O?O 2 ? O?A2 ,
? R2 ? ( R 2 2 3 2 ) ?( ) , 2 3

4 ?R ? . 3

O A
O?

4 4 4 3 256 3 V ? ?R ? ? ( ) ? ?; 3 3 3 81

C

16 64 S ? 4?R ? 4? ? ? ?. 9 9
2

B

§9.11球的体积和表面积

课堂练习

练习一
8 . 1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的_倍
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 32 3? cm3. 这个球的体积为___

3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 1: 2 2 : 3 3 个球的体积之比_________.

§9.11球的体积和表面积

课堂练习

练习二
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___ 2 倍.

4 倍. 2.若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的___
1: 2 2 3.若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是______.
3 1 : 4. 4.若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是______

§9.11球的体积和表面积

课堂练习

练习二
5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 则它的外接球的表面积为_____ 9? .
3 , 5 , 15,

6.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π , 则两球的直径之差为______ 4 . 7.将半径为1和2的两个铅球,熔成一个大铅球,那么 这个大铅球的表面积是______. 123 3?

§9.11球的体积和表面积

课堂小结
?了解球的体积、表面积推导的基本思路: 分割→求近似和→化为标准和的方法,是 一种重要的数学思想方法—极限思想,它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用; ?熟练掌握球的体积、表面积公式: 4 3 ①V ? ?R 3 2 ②S ? 4?R

§9.11球的体积和表面积

课堂作业

?习题9.11 P.74 5、6 、7、8 ?预习小结与复习P.75—P.77


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