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判断三角形形状问题


判断三角形形状问题
例:在△ABC 中,若 a cos
A ? b cos B ? c cos C , 则△ABC 的形状是什么?

解析: a cos A ? b cos B ? c cos C , sin A cos A ? sin B cos B ? sin C cos C
sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C , 2 sin( A ? B ) cos( A ? B ) ? 2 sin C cos C cos( A ? B ) ? ? cos( A ? B ), 2 cos A cos B ? 0

cos A ? 0 或 cos B ? 0 ,得 A ?

?
2

或B ?

?
2

所以△ABC 是直角三角形。 点评:角化边或边化角,得到角的关系或者变得关系,即可判断出三角形的形状
A?B 2
A?B 2 a?b a?b sin A ? sin B sin A ? sin B

变式 1:在△ABC 中,若 tan

?

a?b a?b

,则△ABC 的形状是?
A?B 2 A? B 2 sin co s A?B 2 , A?B 2

2 co s ? 2 sin

解: tan

?

?

tan

A?B 2

tan ? tan

A?B A?B A? B 2 , tan ? 0 ,或 tan ?1 A?B 2 2 2

所以 A ? B 或 A ? B ?

?
2

所以为等腰三角形或直角三角形
2 2 2

变式 2:在△ABC 中,若 ( a ? b ) sin( A ? B ) ? ( a ? b ) sin( A ? B ) ,请判断三角形的形
2

状。 解:
a ?b
2 2 2

a ?b
2

?

sin ( A ? B ) a sin A co s B sin A , 2 ? ? 2 sin ( A ? B ) b co s A sin B sin B
2 2

cos B c o sA

?

s iAn s iBn

, s i nA ? 2

s iB 2A ? 2 B 或 22 ? n , A

B ? ?2

∴等腰或直角三角形 变式 3:在△ABC 中,若 cos 解:
1 2
cos A cos B cos C ? 0
2

A ? cos

2

B ? cos
2

2

C ? 1, 则△ABC 的形状是______________

1 2

(1 ? co s 2 A ? 1 ? co s 2 B ) ? co s ( A ? B ) ? 1,
2

(co s 2 A ? co s 2 B ) ? co s ( A ? B ) ? 0, co s( A ? B ) co s( A ? B ) ? co s ( A ? B ) ? 0
2

所以为直角三角形

练习: 1、在△ABC 中,若
tan A tan B ? a b
2 2

,则△ABC 的形状是(B) C.不能确定 D.等腰三角形

A.直角三角形 B.等腰或直角三角形
2

解:

sin A co s B sin A co s B sin A ? ? , ? , sin A co s A ? sin B co s B 2 co s A sin B sin B co s A sin B
sin A? 2 s i n 2 A ?2 B , 或2 B A 2 ? B? 2 ?

2、在△ABC 中,角 A , B 均为锐角,且 cos A ? sin B , 则△ABC 的形状是(C) B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 ? ? ? ? ? 解: co s A ? sin ( ? A ) ? sin B , ? A , B 都是锐角,则 ? A ? B , A ? B ? , C ?
2 2 2 2 2

A.直角三角形

3、在△ABC 中,若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 ,则△ABC 的形状是(D) A.直角三角形 B.等边三角形 C.不能确定 解: lg
sin A co s B sin C ? lg 2, sin A co s B sin C

D.等腰三角形

? 2, sin A ? 2 co s B sin C

sin( B ? C ) ? 2 cos B sin C , sin B cos C ? cos B sin C ? 0, sin( B ? C ) ? 0, B ? C ,等腰三角形



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