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全国高中数学竞赛二试模拟训练题(2)


加试模拟训练题(2)
1、 设 xi (i ? 1, 2,3, 4) 为正实数,满足

x1 ? 1, x1 ? x2 ? 5, x1 ? x2 ? x3 ? 14, x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 30,
求 U ? x1 ?

1 1 1 x2 ? x3 ? x4 的最大值. 2 3 4

>2、设

a , a ,?, a ,?为两两各不相同的正整数,求证:
1 2 k
n k n K ?1 2 k ?1

1 a ? ?? k k 对任何正整数 n,均有

-1-

3、 一个俱乐部中有 3n+1 个人,每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球,如果每个人都有 n 个人与他打网球,n 个人与他下棋,n 个人与他打乒乓球,证明俱乐部中有 3 个人,他们之间 玩的游戏是三种俱全.

4.证明:若正整数 a, b 满足 2a ? a ? 3b ? b ,则 a ? b 和 2a ? 2b ? 1 都是完全平
2 2

方数。

-2-

加试模拟训练题(2) 1、 设 xi (i ? 1, 2,3, 4) 为正实数,满足

x1 ? 1, x1 ? x2 ? 5, x1 ? x2 ? x3 ? 14, x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 30,
求 U ? x1 ? 解:令

1 1 1 x2 ? x3 ? x4 的最大值. 2 3 4
y1 ? x1 ? 1, ? ? y2 ? x1 ? x2 ? 5, ? ? ? y3 ? x1 ? x2 ? x3 ? 14, ? ? y4 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 30,

则 yi ? 0(i ? 1, 2,3, 4) ,

x1 ? y1 ? 1, ? ? x ? ? y ? y ? 4, ? 2 1 2 ? ? x3 ? ? y2 ? y3 ? 9, ? ? x4 ? ? y3 ? y4 ? 16,
于是

U ? ? y1 ? 1? ?
?

1 1 1 ? ? y1 ? y2 ? 4 ? ? ? ? y2 ? y2 ? 9 ? ? ? ? y3 ? y4 ? 16 ? 2 3 4



1 1 1 1 y1 ? y2 ? y3 ? y4 ? 10 2 6 12 4 ? 10. y1 ? x1 ? 1 ? 0, ? ? y2 ? x1 ? x2 ? 5 ? 0, ? 即 x1 ? 1, x2 ? 4, x3 ? 9, x4 ? 16 时, U max ? 10. ? y ? x ? x ? x ? 14 ? 0, 3 1 2 3 ? ? ? y4 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 30 ? 0,

2、设

a , a ,?, a ,?为两两各不相同的正整数,求证:
1 2 k
n k n K ?1 2 k ?1

1 a ? ?? k k 对任何正整数 n,均有
证明: 设
1 2

b , b ,?, b 是 a , a ,?, a
1 2 n 1 2

n

的从小到大的有序排列,即
1 2 n

b ?b ?b
1?
又因为

n

,因为

b 是互不相同的正整数.则 b ? 1, b ? 2,?, b ? n
i

1

2

2

?

1

3

2

???

1

n

2

-3-

所以由排序不等式得:

a a a ? ??? n 2 ? b ? b ??? b n 2
2 n 1 2 2

(乱序)

2

n 2

1

2

(倒序)

1 1 ?1? ??? 2 n

?

k ?1

n

a ? 1 ? k k
k n 2 k ?1

成立.

3、 一个俱乐部中有 3n+1 个人,每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球,如果每个人都有 n 个人与他打网球,n 个人与他下棋,n 个人与他打乒乓球,证明俱乐部中有 3 个人,他们之间 玩的游戏是三种俱全. 【证】 将人看作平面上的点,得到一个有 3n+1 个点的图(假定任意三点都不在一直线上), 当两个人玩网球或象棋或乒乓球时,我们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线,需 要证明的是,一定存在一个三条边的颜色互不相同的三角形. 自一点引出的 3n 条线段中,如果某两条线段的颜色不同,就称它们构成一个“异色角” .考 虑异色角的个数.由于自每一点引出 n 条红线,

角形中有 3 个异色角.这个三角形的三条边颜色互不相同,即相应的三个人之间玩的游戏是 三种俱全. 4.证明:若正整数 a, b 满足 2a ? a ? 3b ? b ,则 a ? b 和 2a ? 2b ? 1 都是完全平
2 2

方数。
2 2 2 证法一:已知关系式即为 2a ? a ? 3b ? b ? 2(a ? b ) ? (a ? b) ? b

2

2

2 ? (a ?b) ( 2a ? 2b ? 1 )= b



若 a ? b ? 0 (或者说 a, b 中有一个为 0 时) ,结论显然。 不妨设 a ? b 且 ab ? 0 ,令 (a, b) ? d ,则 a ? a1 d , b ? b1 d , (a1 , b1 ) ? 1 从而 a ? b = (a1 ? b1 )d ,将其代入①得 2a1 d ? a1 ? b1 ? 3b1 d
2 2



-4-

因为 d | 2a1 d ,所以 d | (a1 ? b1 ) ,从而 d ? a1 ? b1 ; 而②式又可写成 (a1 ? b1 ) (2a1 ? 2b1 ? 1) ? b1 d ;
2

2

因为 (a, b) ? d 且 (a1 , b1 ) ? 1 ,所以 (a1 ? b1 , b1 ) ? 1 ? (a1 ? b1 ) 所以 (a1 ? b1 ) | d ,从而 a1 ? b1 ? d 。 所以 d ? a1 ? b1 ,所以 a ? b = (a1 ? b1 )d ? d ,从而 a ? b 为完全平方数。
2

所以 2a ? 2b ? 1 ?

b2 b ? ( ) 2 也是完全平方数。 2 d d
2 2

2 2 2 证法二:已知关系式即为 2a ? a ? 3b ? b ? 2(a ? b ) ? (a ? b) ? b

2 ( 2a ? 2b ? 1 )= b ? (a ?b)



论证的关键是证明正整数 a ? b 与 2a ? 2b ? 1 互素。
2 记 d ? ( a ? b , 2a ? 2b ? 1 ) 。若 d ? 1 ,则 d 有素因子 p ,从而由①知 p | b 。因为 p 是

素数,故 p | b ,结合 p | (a ? b) 知 p | a ,从而由 p | 2a ? 2b ? 1 得 p | 1,这是不可能的。故

d ? 1 ,从而由①推知正整数 a ? b 与 2a ? 2b ? 1 都是完全平方数。

-5-


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