tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

08.2011年新知杯上海市高中数学竞赛


中 等 数 学 

21 年新知杯上海市高中数学竞赛  0  1
中图分类号 :G 2 .9 4 4 7  文献标识码 :   A 文章编号 : 0 5- 4 6 2 1 0 0 3 0   10 6 1 ( 02)6- 0 0— 4

【 说明】 解答本试卷不得使用计算器.  


A B两 点.

直 线 A 、 C 的倾 斜 角 之 和 为  、 则 CB



填 空题 ( 1 4小题 每小题 7分 , 第 ~ 第 

5~ 8小 题每小 题 8分 , 6 共 0分 )  
1 方 程组  .
r   ’ 坨 =1  
y:1  
,  

8 甲、 . 乙两运动员乒乓球 比赛正在进行 
中 , 须再 胜 2局 才最后 获胜 ; 甲必 乙必须再 胜  3局 才最后 获胜. 甲 、 若 乙两人 每 局取 胜 的概 

率都是÷, 则甲最后获胜的概率是— —  
( 最简分 数作答 ) 用 .  
二 、 答题 ( 6 解 共 0分 )  

的解集 是— — .  

2 在平 面直 角 坐标 系 中 , 度 为 1的线  . 长 段A B在  轴 上移 动 ( A在  的左 边 ) 点  点 , P( ,) A连成 直 线 , Q( ,) O1与 点 12 与  连成  直 线. 直线  与 Q 则 B的交点 R的轨 迹方程 
是一  

9 ( 分) .1 4 对于两个实数 abwn 口b 表  ,,i {, } l 示 ab中的较/觌 求所有的非零实数 , , j 、 使 

m , 8n i 4m n )i   ≥  
1 . 1 分 ) 图  0 (4 如 1在 △ A C中 , , B 0为 边  B C的 中点 , 点  、 Ⅳ分  别 在边 A A 上, B、 C 且 
AM = 6, B = 4, M AN =   4, NC = 3,   M ON =  
曰  D  C  
A 

3 知 是 圆 分 l第 象   . 肘 椭  十 =在 一 限 已
的弧 上 一 动 点 , MN 上 Y轴 , 足 为  垂 当 

A M O N面 积 最 大 时 , 内切 圆 半 径 r   其 =
4 已知△ A C的外接 圆半 径 为 1  A、 . B ,  
、 

c的平分 线分 别交 A B A C的外 接 圆 

于点 A 、 、 ,贝  。 C. 9  

9 。求  A的大小. 0.  

图 1  

A。 肋 嘴 +。导 A + 导 ce     c  o
— —  

1. 1 ) 1 (6分 对整 数 k 定义集合  ,

S ={ 1 k < 0 k 1 , Z}   n5 ≤n 5 ( + )n∈ . 0  

_

 一

 

问: J, 一¥9 60 在 s s ,5这 0 个集合中, 。  9 有 
多 少个集合 不含有 完全平 方数 ?   l. 1 2 (6分 ) 求所 有 大 于 l的 正整 数 n  ,

5设  ) ai[ + ) ] 6 . = s ( 13 +   n
l 2 )=— — . g0    

- 2  1+ ,

其 中, 、 口 b为 实 常 数.若 ,(g5)=5 则  1  , 6 在平 面直角 坐标 系中 , 坐标原 点 , . 0为  

使得对任意正实数  , ,   ,   …, 都有不等式  :
(l   +  )≥ (l +23 …+ 1.   + …+   n  XX +   )    

点 A 3 a 、 3 b 使  A B= 5 , 中, ( , ) B( , ) O 4 。其  
a b 为整 数 , 口>b 则 满 足 条 件 的数 对  ,均 且 .
( ,) 口 b 共有  组.  
— —

参 考 答 案 


1 { , , , 1, 3 )(45 } . ( 1 ( 一 )( , , , . 0)2 一 4 一 ) 

7 已知 oC的方程 为  .
+y  一4 x一2 y+1=0,  

注意到 ,  
f +“  =1    7 ,

直 线 Y = (a  0 ) + t 1。 n    

与 o  交 于  c

I+ :   y1  

万方数据

21 02年第 6期 

同理 ,  。 胎 。 
zo —,  
C cs C ̄ o  
 ̄ -   2- 2,
§  

:i   C+s     i A, n

=s   +sn B   iA n i  .

X 3= -    ’

4,  

故 原式 = . 2  
;  

5. 一 1  .

设 A( ,) B( a0 , 口+10 , 线 P , )直 A与 Q   8 的交 点为 R( ,) x) . , 
. 

显然 ,  

) ai[ 一 ) ] b = s ( 1丌 +   n
令 t  一1则  = .

+. 2  

当 口= 0时 , 两直线 不相 交 , 口 . 故 ≠0 

此 ,:+:, 时l詈 y1 e a  
z :  一 (   y    一口一1 ? )  

① 其 中 ,()=ai    gt s n
② 
按 题设 

t1 + )=ai £ b + g t 2  s n +   2= ()+ , +   是奇 函数 . 6  

由 ①② 得 =+, 一   式 、解   口2  詈? y
消去 a即得点 R的轨迹 方程 为 

5: l 5   1 g2    g )= 一l )    

= ( l ) g 一g2 +2=一g 1 )+ . (g2 2  
从 而 , (g2 g 1 )=一 . 3  

故  12) 厂1 l2 = (  ) 2=一 . g 0 i ( +g ) g 12 +   g 1  
3.   .  

6 6  ..

设  A X=   B X= 则  O  , O  

设 ( 3 ( 詈则  4 s )< )  c i 0<. 刚,n
. D s   Ⅳ:   l 1   I NM I 0Ⅳ   I   : 一×3sn ×4c s :3sn 2 .   i  。  i  0 

t = , 卢了. a 詈t =   l l a b   n
由 口>b 得  , l a 5 =t ( 一   :t 4 。 a    ) n n




! =璺 皇   !  

一 (    兰 = 2
‘  

1+tn ?a   一 9 +a a   tn b

故 e詈 ,  ) 3 当 = 时(  :  s .

整理 得 ( 3 ( 一 )=一1. o+ ) b 3 8  

此,=n=   时N s 警, O 3詈 i
D    =
— ‘

因为 n b且均为整数 , >, 所以 ,  
( 3b )  + , 一3 


( 8 一1 ,9 一 ) ( 一 )  1 , ) ( , 2 ,6, 3 , ( , 6 ,2 一 ) ( , 8 . 3 一 ) ( , 9 , 1 一1 )  

52 4 
2 ‘  

故 满足 条件 的数对 ( ,) 有 6组. 0b 共  
7. 0 . 2 0。  

凼此 ,t O R △ MN 的 内切 圆 半 径  
r =

丢 2一 = . (   )2 学+   
- =i +)s  c 2  ? 争 o sB c s n 。

oC的方 程为 ( 2 +(  一 ) Y一1 =   ) 4, 圆心 ( 1 到直线 Y=(a 0 )   的  2,) t 1 。 + n
距 离为 
d:   <2,  

4 2. .  

联 结 B   由正弦定 理得  A.
√ 1+tn 1   a   0。

即已知直线与oc交于 A 两点( 、 如图 2 . )  

万方数据

3  2

中 等 数 学 

V 

此时 , ∈[ ,   2 +∞) .   ( ) 0< 2当  ≤1 , 时 原不等式 为 
4≥ 8  
~  




。  

≤— .    

0\   、

、 ——   /

/ 
 

一  

此,( 】 时 ∈ ,.  0   ÷
( ) 一1   < 3当 < 0时 , 原不 等式 为 
+   ≥

图 2  

旦 甘  ≤ 4
. 

设 直线 B C的倾 斜 角为  , 线 A 直 C的倾  斜 角为 . 则 
a =1 0。+   C BA .  

此时 , E( , )   一10 .  

() 4 当 ≤ 一1 , 不等式 为  时 原
+ —

C B=1 。 10 一 . A 0 +( 8 。  )   因为/ C A= C B, 以 , B   A 所  


4 ≥8  


≥ _  4 =
.  

此时 ,  E( , ] 一∞ 一1 .  

1 。 0 +( 8 。  ) 0 +l 。 10 一  
+ 口=2 0。 0 .  

综上 , 满足题意的 的取值范围为   

8.  

.  

( ,u ,][+ 一 0 ( U2  ∞) 0   ,
1. 法 1 如 图 3 延长 NO至点 P, 0解 , 使 
O P=O . N 联结 B   . P、  
A  

甲获胜有 如下 六种可 能 :  
() 1 甲胜 , 甲胜 ;   () 2 甲胜 , 乙胜 , 甲胜 ;   () 3 甲胜 , 乙胜 , 乙胜 , 甲胜 ;   () 4 乙胜 , 甲胜 , 甲胜 ;   () 5 乙胜 , 甲胜 , 乙胜 , 甲胜 ;  

C 

() 6 乙胜 , 乙胜 , 甲胜 , 甲胜.  

P 

其概 率依次 为  1

寺1 . 、    1 、 故 求概 是 + + = . 所 的率{ 詈     31 1
、 





、 



图3  

由B O:O 知  C,

二 、. 9 当  > 0时 

4≥2  

? :     4;

B ,A .P= N= . P/ C B C 3 /   因点 M 在 N P的垂直平分 线上 , 以 , 所  
M P = M N.  

当 <   0时 ,   ≤ 一 <  + L 4 4
.  

令 MN= . a 则在 △ A MN和△ MB 中 , P 由 

余 弦定理 得 
0    = :6  +4  一2×6 x4c sA   o   


,f 4  ) =
所 以 , 以下 四种情形 . 有  

5 —48 o   , 2 c sA  
=  

口2

P :3 +4 2   。+2 ×3 ×4c sA o   

又  {-或  2-20A=  0 素  -÷言≤0。 77cs 0jcs   )’一 ̄. n  <<      { 1。1 , xx 。≤ <> ;
消 去 a 得   



2 5+2 O     4C SA.

() 1 当  >1时 , 不等式 为  原

4 ≥旦 
万方数据

≥ 2
.  

Aa。 . =c詈 rs   c
解 法 2 设 A : AN : . — 口— M b 则 


21 第 6   0 2年 期
l al=6.  I=4. 1  

3  3

由题设 知  :  

, =  .   —  

2 = 4 个集合含有平方数. 5 18   综上 ,。S 一,5 中 , s ,  J9 有  s9
6 oo一1 —1 8=43   3 4 9

因为 0为边 B C的 中点 , 以 , 所  

个 集合 不含有 平方 数.   1. 2 当  = 2时 , 不等 式 为  ( + 2  (   + 21   l   ) ≥2 12 XX )
( 一 ) >0  1  2  I .  

=   B+ )    ̄(   = - — A
又 一      — 一   MO =MA +A A O

+ .    
,  

又 


  = + =一   +{西      { +  ,
一  

NO 一 A +A =   N   — A 0 O  


= + = 口一 .      _ ÷  
. 

O 

因为 MO上 N 所 以 , O,  
5 1  一7 口l    
-   = 一

故凡 2 = 满足题意.   当 n= 3时 , 等式 为  不 ( l   + 3 13 X 2     + 3 1   + 2   ) > ( l + 23     )     ( 1   ) +( 2   )   一 12 .   一 22   一 3  +(3   ) ≥o  
故 n= 3满足题 意.   当 n= 4时 , 等式 为  不 (l  +3  )≥ (1 +2 +3 + 1   +2   +   4 X     X   ) 2 4  
车 戈 一 2   一 4  .  ( l   + 3   ) ≥0  

十3 ?=   _口西 0

j 口? =9 j   ×4c sA =9 6   6 o   

cA 音j =r s   o    A ao s   e 专? c
1 . 意到 , 1注   (  +1 一 = x+1 0 x∈ N) )   2  ̄5 (  
铮  ̄2 ( 4 x∈ N) .   而 ( 4+1  =6 5∈ S 于 是 , 0 , 2 ) 2   S,    。

故 n 4满足题意. =   下证 : > 当  4时 , 不等式不 可能对任意  正实数 。 ,   都成立. , …,    
取  2 ,3      一一 n     ?  

S。  中含 有 的平 方数 都 不超 过 2  且 每个  5, 集合都是由连续 5 个非负整数组成 的. 0 故每  个集合至少含有 1 个平方数.   在集合 | , , 5 中, 含有平 方  s 5 …,  。 , 若




则原不 等式 为 

【 l( 2 l +n   + - 而  】  

数, 则都 不小 于 2  6.   而 当 ≥2 6时 , +1 5 , 而 ,1, 1      3从 > I J3J , s s 4


≥“ n  [
§  
1   ’1

+ 赫
+  

】  

,  

中, 每个集合至多含有 1 个平方数  另一方面 , 中最大数是  s
6 0 X5 —1=2   9   0  0 9 9 9.



 

等,  

这 与  < ≤ 矛盾. 5     所以, 满足 题意 的正整 数 n为 234  、、. ( 熊
叶 声扬
由 
=  

而 13 2 9 7 < 999<14 , s3|4 … , 9中  7  故 l s ,  5 ,1 9 含有 的平方数 不超 过 13. 7    因此 ,。, ,, ,  中有且 仅 有 1 3— .  |  … |9 s s s9 7  
( 上接 第 2 0页)  
因 
=  



顾 鸿达  李 大 元  刘 鸿 坤 

命题)  
= B P一 B B   X   X 
BXA 一   BC,   B ,

: A CX= A B     2 3   :2
C B2 = 2     C A3 : 2     B A , 33  

则  B  
=  

= B X一 B C   A   A 
CA 2  =   B A3    

所以, A、3 四点共圆 , x在 △ A8c  X、,c、   即点 3,3
的外接 圆上.  

CA = ,   

根据弦切角逆定理 , P 知 Q与△ A c    
的外接 圆 切于 点  , P 即 Q是 △ A , , 接  , c外 圆和 圆 厂 的公切 线 , 为切点.    
由此 得 △  C 的外 接 圆与 圆 厂 必相  , 切( 内切 ) 切 点就是 . ,  

过点  作 圆 厂 的切线 P . Q 
注意 到 ,  
/ BC B   BT    = L=/ B T=/ B C . A A2  

万方数据

2011年新知杯上海市高中数学竞赛
刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 中等数学 High-School Mathematics 2012(6)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdsx201206008.aspx


推荐相关:

2013年新知杯试题详解

文档贡献者 2002zhuhai 贡献于2014-05-08 1/2 ...新知杯初中数学竞赛模拟... 8页 免费 2013年全国初中...2011年新知杯上海市初中... 2页 1下载券 2013年迎春...


全国初中数学竞赛模拟试题十套

da_sea贡献于2012-08-11 0.0分 (0人评价)暂无...2011年全国初中数学竞赛模... 4页 免费 2012年全国...新知杯初中数学竞赛模拟试... 8页 免费 新知杯模拟...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com