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2014年高考直线与方程一轮复习


直线与方程复习
知识点一:直线的倾斜角与斜率 例 1.下列命题正确的有 : ①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应; ②倾斜角的范围是:0°≤α <180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大; ③过两点 A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示; ④过点(1,1),且斜率为 1 的直线的方程为

y ?1 ?1;

x ?1

⑤直线 Ax+By+C=0(A,B 不同时为零),当 A,B,C 中有一个为零时,这个方程不能化为截距式. ⑥若两直线平行,则它们的斜率必相等; ⑦若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于-1. 例 2:已知直线的斜率 k ? ? cos ? (? ? R) 。求直线的倾斜角 ? 的取值范围

课堂练习 1、若直线过点 (1,2), (4,2 ? 3), 则此直线的倾斜角是( (A) 30 0 2、设 ? ? ( (B) 450 (C) 600 (D) 90 0

).

?
2

, ? ) ,则直线 x cos? ? y sin ? ? 1 ? 0 的倾斜角 ? 为(



( A) ? ?

?
2

(B) ?

(C ) ? ?

?
2

( D) ? ? ?

知识点 2:两条直线的平行和垂直问题 例 1:已知直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 12 ? 0 ,求下列直线 l ? 的方程, l ? 满足(1)过点 (?1,3) ,且与 l 平行; (2)过 (?1,3) ,且与 l 垂直.

例 2:若直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 与直线 l 2 : x ? (a ? 1) y ? a ? 1 ? 0 ,则 l1 与 l2 相交时, a =_________; l1 // l 2 时,
2

a =__________;这时它们之间的距离是________; l1 ? l 2 时, a =________

.

例 3:已知点 M(2,2) ,N(5,-2) ,点 P 在 x 轴上,分别求满足下列条件的 P 点坐标。 (1)∠MOP=∠OPN(O 是坐标原点) ; (2)∠MPN 是直角。

课堂练习:1、已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为( A.



0

B.

?8

C.

2

D.

10

2、设 a, b, c 分别是 V ABC 中 ?A, ?B, ?C 所对边的边长,则直线 (sin A) x ? ay ? c ? 0 与 bx ? (sin B) y ? sin C ? 0 的 位置关系是( ) 知识点 3:求直线的方程 A.平行 B.垂直
1

C.重合

D.相交但不垂直

例 1:求满足下列条件的直线方程: (1)经过点 Q(-1,3)且与直线 x+2y-1=0 垂直; (2)经过点 R(-2,3)且在两坐标轴上截距相等; (3)经过点 M(1,2)且与点 A(2,3)、B(4,-5)距离相等; (4) 经过点 N(-1,3)且在 x 轴的截距与它在 y 轴上的截距的和为零.

例 2:已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形面积为 3,分别求满足下列条件的直线 l 的方程: (1)斜率为 过定点 A(?3,4) 的直线。

1 的直线; (2) 6

:知识点 4:直线的交点与距离问题 例 1:已知点 P(2,-1) (1)求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程; 。 (2)求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由。

例 2 若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为 2 2 ,则 m 的倾斜角可以是 ① 15
?

② 30

?

③ 45

?

④ 60

?

⑤ 75

?

其中正确答案的序号是

.

课堂练习: 已知直线 x ? 2 及 x ? 4 与函数 y ? log 2 x 图像的交点分别为 A, B , 与函数 y ? lg x 图像的交点分别为 C , D , 则直线 AB 与 CD ( 知识点 5:关于对称问题 例 1:已知直线 l : y ? 3x ? 3 ,求:点 P(4,5) 关于 l 的对称点坐标 ) A.相交,且交点在第 I 象限 C.相交,且交点在第 IV 象限 B.相交,且交点在第 II 象限 D.相交,且交点在坐标原点

例 2:光线由点 P(2,3)射到直线 x ? y ? ?1 上,反射后过点 Q(1,1),则反射光线方程为

入射光线为

2

课堂练习:直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与直线 ax ? 4 y ? b ? 0 关于点 A(1,0) 对称,则 b=___________。 知识点 5:直线方程的应用 例 1:已知直线 l : 5ax ? 5 y ? a ? 3 ? 0 .(1)求证:不论 a 为何值,直线 l 总经过第一象限; (2)为使直线不经过第二象限,求 a 的取值范围.

例 2:如图,过点 P(2,1)作直线 l ,分别为交 x、y 轴正半轴于 A、B 两点。 (1)当⊿AOB 的面积最小时,求直线 l 的方程; (2)当|PA|·|PB|取最小值时,求直线 l 的方程。

课后巩固练习 一、选择题 1、过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为 A
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2x ? y ? 5 ? 0 C x ? 2y ? 5 ? 0 D x ? 2y ? 7 ? 0 k k 2、过点 E (1,1) 和 F (?1,0) 的直线与过点 M ( ? ,0) 和点 N (0, ) 直线的位置关系是 ( 2 4
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2x ? y ? 1 ? 0

B

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A、平行

B、重合

C、平行或重合

D、相交或重合 )

3、直线 x cos ? ? y sin ? ? a ? 0 与 x sin ? ? y cos ? ? b ? 0 的位置关系是( A.平行 B.垂直 C.斜交

D.与 a, b,? 的值有关 ( )

4、如果直线 x ? 2ay ? 1 ? 0 与直线 (3a ? 1) x ? ay ? 1 ? 0 平行,则 a 等于 A.0 B.

1 6

C.0 或 1

D.0 或

1 6
).

5.直线 l1 : ax ? y ? b ? 0, l 2 : bx ? y ? a ? 0(a ? 0, b ? 0, a ? b) 在同一直角坐标系中的图形大致是(
l1
y y

y l 1
l2

y
l2

l1

l2
O
A

l2
O
D

x

O
B

x l1

O
C

x

x

3

6、 A、 是 x 轴上的两点, P 的横坐标为 2 且|PA|=|PB|, 设 B 点 若直线 PA 的方程为 x-y+1=0, 则直线 PB 的方程是 ( A、x+y-5=0 B、2x-y-1=0 C、2y-x-4=0 D、2x+y-7=0 7.已知点 A(2,3), B(?3, ?2) ,若直线 l 过点 P(1,1) 与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( A. k ? )



3 4

B.

3 ?k?2 4

C. k ? 2或k ?

3 4

D. k ? 2 )

8、已知点 A(?3, ?4), B(6,3) 到直线 l : ax ? y ? 1 ? 0 的距离相等,则实数 a 的值等于( A.

7 9

B. ?

1 3

C. ? 或 ?

7 9

1 3

D. 或

7 9

1 3

9.设三条直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 , 2x ? 3m 2 y ? 18 ? 0和2mx ? 3 y ? 12 ? 0 围成直角三角形,则 m 的取值是 A. ? 1或0 10、若直线 l:y=kx ? A. [ B. 0或 -

4 9

C. 0,?1或-

4 9

D. -1或 ?

4 9


3 与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角的取值范围是(

? ?

, ) 6 3

B. (

? ?

, ) 6 2

C. (

? ?

, ) 3 2

D. [

? ?

, ] 6 2

11、已知点 A(?1, 0), B (1, 0), C (0,1) ,直线 y ? ax ? b(a ? 0) 将△ ABC 分割为面积相等的两部分,则 b 的取值范围是

2 1 2 1 1 1 C、 (1 ? D. [ , ) , ) , ] 2 2 3 2 2 3 3 12、已知点 O ? 0, 0 ? , A ? 0, b ? , B ? a, a ? .若? ABC 为直角三角形, 则必有
A. (0,1) B. (1 ? A. b ? a 3 B. b ? a 3 ?





1 1? 1 ? C. ? b ? a 3 ? ? b ? a 3 ? ? ? 0 D. b ? a 3 ? b ? a 3 ? ? 0 a a? a ? 13、在等腰直角三角形 ABC 中, AB =AC ? 4, P 是边 AB 上异于 A, B 的一点,光线从点 P 出发, 点 经 BC , CA 发射后又回到原点 P (如图).若光线 QR 经过 ?ABC 的重心,则 AP 等( ) 8 4 A. 2 B. C. D. 3 3
二、填空题 1、点 P(a,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离等于 4,且在不等式 2x+y<4 表示的平面区域内, 则 P 点的坐标为__________. 2、若三点 A(2,2) B(a,0) C(0,b)(ab ? 0)共线,则, , , 3、点 P(2,3)到直线:ax+(a-1)y+3=0 的距离 d 为最大时,则 d=

1 1 ? 的值等于 a b
与 a=



4、已知直线 l1 : ax ? y ? 2a ? 0 与直线 l2 : (2a ?1) x ? ay ? a ? 0 互相垂直,则 a 的值为 5、直线 x ? 2 y ? b ? 0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么 b 的取值范围是 ; 6、已知 A(3,0),B (0,4),动点 P(x,y)在线段 AB 上移动,则 xy 的最大值等于________________. 7、若动点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 ) 分别在直线 l1 : x ? y ? 7 ? 0 和 l 2 : x ? y ? 5 ? 0 上移动,则 AB 中点 M 到原点距离 的最小值为: 8、一束光线从点 A(?1,1) 出发,经 x 轴反射到点 O(2,3) ,光线经过的最短路程是 9、 直线 l 与两直线 y ? 1 和 x ? y ? 7 ? 0 分别交于 A, B 两点, . 若线段 AB 的中点为 M (1, ?1) , 则直线 l 的斜率为 (
4



三、计算题 1、直线 l1 : ax ? (1 ? a) y ? 3 与直线 l2 : (a ?1) x ? (2a ? 3) y ? 2 互相垂直,求 a 的值.

2、已知△ABC 的两个顶点 A(-10,2),B(6,4),垂心是 H(5,2),求顶点 C 的坐标.

3、已知 ? B 中,A(1, 3),AB、AC 边上的中线所在直线方程分别为 x 2 ?? 和 y? ?0,求 ? B 各边所 ?y 1 0 1 AC AC 在直线方程.

4、已知直线 l :kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线 l 过定点;(2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A ,交 y 轴正半轴于点 B、O 为坐标原点,设△AOB 的面积为 4,求直线 l 的方程.

5、已知直线 l : 2 x ? y ? 1 ? 0 和点 A(-1,2) 、B(0,3) ,试在 l 上找一点 P,使得 PA ? PB 的值最小,并求出这个 最小值。

6、已知直线 l 过点 P(1,1) ,且被平行直线 3x ? 4 y ? 13 ? 0 与 3x ? 4 y ? 7 ? 0 截得的线段长为 4 2 ,求直线 l 的方程.

5

7、已知直线 l 经过点 A ( 2,4) ,且被平行直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l 2 : x ? y ? 1 ? 0 所截得的线段的中点 M 在直线

x ? y ? 3 ? 0 上,求直线 l 的方程.

8、过点 M (3,1) 作直线 l ,使其被两条直线 l1 : 2 x ? y ? 2 ? 0 , l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的 线段恰好被 M 点所平分,试求直线 l 的方程。

9、 已知函数

f ( x) ? x ?

2 a f ( 2) ? 2 ? ( 0 , ? ? ) ,且 2 . 设点 P 是函数图象上的任意一点,过点 P 分别作 x 的定义域为

N 直线 y ? x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M 、 .
(1)求 a 的值; (2)问: | PM | ? | PN | 是否为定值?若是,则求出该定值,若不是,则说明理由; (3)设 O 为原点,若四边形 OMPN 面积为 1+ 2 求 P 点的坐标

6


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