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2014-2015学年度第一学期第一次月考数学(理)试题及答案


北大附中深圳南山分校高中部高二年级 2014-2015 学年度第一学期第一次月考数学(理)试题
一.选择题(本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分) 1. 已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a 3 · a 9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 =( )
2

2 1 B. C. 2 D.2 2 2 2. 已知 {a

n } 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105, a2 ? a4 ? a6 ? 99 则 a 20 等于( )
A. 姓名________________ 班级_________________ 学号______________ 考号_________________ A. -1 B. 1 C. 3 D.7 3. 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 A. 2 B.

7 3

S S6 =3 ,则 9 =( ) S3 S6 8 C. D.3 3

5 ,则 cos A ? ( ) 12 12 5 5 12 A. B. C. ? D. ? 13 13 13 13 5.公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a 4 是 a3与a7 的等比中项, S8 ? 32 ,则 S10 等于( )
4.已知△ABC 中, tan A ? ? A.18 B.24 C.60 D. 90 .
5

6 . 已 知 等 比 数 列 {an } 满 足 an ? 0 , , 且 a5 ? an n? 1, 2 , 2?

?22n ( n ? 3 , ) 则 当 n ?1 时 ,
2

l o2 ga 1?

l o2a g? 3

?

la o 2 n? g 2 ? 1
2

( ) C. n
2

A. n(2n ? 1)

B. (n ? 1)

D. (n ? 1)

7.在 ?ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( ) A. b ? 10, A ? 45 , C ? 70 C. a ? 7, b ? 5, A ? 80 B. a ? 60, c ? 48, B ? 60 D. a ? 14, b ? 16, A ? 45

8.若 a ? 0 ,b ? 0 ,则不等式-b ? A. - ? x? 0 或 0? x ?
2

1 b

1 a

1 ? a 等价于( ) x 1 1 1 1 B.- ? x ? C.x ? - 或 x ? a b a b
.

D.x ?-

1 1 或x ? a b

二.填空题(本大题共 6 个小题;每小题 5 分,共 30 分) 9.不等式 x ? 5 x ? 6 ? 0 的解集为 10.已知等差数列 {an } ,

{bn } 的前 n 项和分别为 S n , T n ,且

a6 S n 3n ? 11 ? ,则 = b6 Tn 2n ? 7
.

.

11.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ?1 ?

12.已知 ?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,以 Sn 表示 ?an ? 的前 n 项和,则使得 Sn 达到 最大值的 n 是 . 13.已知数列 {an } 满足: a4n?3 ? 1, a4n?1 ? 0, a2n ? an , n ? N? , 则 a2014 =_________. 14.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 成等差数列.类比以上结论有:

an (n ? N ? ) ,则 an = 1 ? 2a n

1

设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , 三.解答题(本大题共 6 个小题 ;共 80 分)





T16 成等比数列. T12

15 . ( 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 内 角 A.B.C 的 对 边 长 分 别 为 a . b . c , 已 知 a ? c ? 2b , 且 sin A c oC s? 3 cA os C s i求 n b.,
2 2

16.(14 分)已知等差数列{ an }中, a3 a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0, 求{ an }前 n 项和 s n .

1 ?1? 17. (12 分)数列{ an } 中 a1 = ,前 n 项和 S n 满足 S n ?1 - S n = ? ? 3 ?3? ( I ) 求数列{ an }的通项公式 an 以及前 n 项和 S n ;

n ?1
* (n ? N ) .

(II)若 S1 , t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列,求实数 t 的值. 18. (14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积; (II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.
n ?1

A 2 5 ? , AB ? AC ? 3 . 2 5

?1? 19. (14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ?an ? ? ? ? 2 (n 为正整数). ?2? n (Ⅰ)令 bn ? 2 an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; n ?1 an , Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn T (II)令 cn ? .求 n . n

20.(14 分)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ?

1 n

n ?1 2n

an ,求数列 {bn } 的通项公式; n (II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .
(I)设 bn ?

2

北大附中深圳南山分校高中部 2014--2015 学年度上学期第一次月考考试 高二数学(理)答卷
时间:120 分钟 一.选择题: (每题 5 分,共 40 分) 1 2 3 4 满分:150 分 5 6 7 8

二.填空题: (每题 5 分,共 30 分) 9. 12. ; 10. ;13. ; ; 11. 14. , ; ;

三.解答题(本大题共 6 个小题 ;共 80 分) 15. (12 分)

姓名:

考号:

16.(14 分)

班级:

3

17. (12 分)

4

18. (14 分)

19. (14 分)

5

20.(14分)

6

北大附中深圳南山分校高中部高二年级 2014-2015 学年度第一学期第一次月考数学(理)答案
一.选择题 BBBDC CDD
2 1. 解: a3 ? a9 ? a6 ? a6 ? 2a5 ?q2 ? 2 a6 a 2 ? 2 ,q>0,? q ? 2 ? a1 ? 2 ? 2 a5 q 2

2

2

2. 解: 3a3 ? a1 ? a3 ? a5 ? 105, 3a4 ? a2 ? a4 ? a6 ? 99

?a3 ? 35, a4 ? 33?d ? a4 ? a3 ? ?2 ,?a20 ? a3 ? 17d ? 35 ? 34 ? 1
3. 解: S6 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? S3 ? q3S3 , S9 ? S3 ? q3S3 ? q6 S3 由1 ? q ?
3

S6 S S ? q 3 S3 ? q 6 S3 1 ? q 3 ? q 6 1 ? 2 ? 4 7 ? 3? q 3 ? 2 ? 9 ? 3 ? ? ? S3 S6 S3 ? q 3 S 3 1 ? q3 3 3
5 12 ? A 是钝角,? cos A ? ? 12 13

4.解:已知△ABC 中, tan A ? ?

5.解:若 a 4 是 a3与a7 的等比中项, S8 ? 32 , 所以 (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? 2d ) ? (a1 ? 6d ) , 8a1 ?

8?7 d ? 32 ,解得: a1 ? ?3, d ? 2 2

? S10 ? 10 a1 ?
2

10 ? 9 d ? 60 2

6.解: an ? a5 ? a2n?5 ? 22n ?log2 a1 ? log2 a3 ? log2 a5 ? ......? log2 a2n?1

? log2 (a1 ? a3 ? a5 ? ......? a2n?3 ? a2n?1 ) ? log2[(a1 ? a2n?1 ) ? (a3 ? a2n?3 )......] ? log2[22n ? 22n......]? log2 2n ? n2
7.D 8.D 解:法一,分为两类 -b ? 法二,利用函数 y ?

2

1 1 ? 0或0 ? ? a x x

1 图像 x

二.填空题(本大题共 6 个小题;每小题 5 分,共 30 分) 9.[2,3]

11 (a ? a ) a6 2a6 a1 ? a11 2 1 11 S11 22 ? ? ? ? ? 10.解: b6 2b6 b1 ? b11 11 (b ? b ) T11 29 1 11 2

7

11.解: an ?1 ?

?1? an 1 1 1 ? ? ? 2 ? ? ? 是首项 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列 a1 1 ? 2an an?1 an ? an ?

?

1 1 ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ? an ? 2n ? 1 an

12. 解 : 3a3 ? a1 ? a3 ? a5 ? 105 , 3a4 ? a2 ? a4 ? a6 ? 99 ? a3 ? 35, a4 ? 33? d ? a4 ? a3 ? ?2 ,

?an ? a3 ? (n ? 3)d ? 41? 2n
13.解: a2014 ? a1007 ? a4?252?1 ? 0 14. T4 ,

解不等式? an ? 0, n ? 20.5 ,所以前 20 项和最大

T8 T12 T16 , 成等比数列. , T12 T4 T8

三.解答题(本大题共 6 个小题 ;共 80 分) 15.解:由正、余弦定理, sin A cos C ? 3cos A sin C, 得 a ? 化简得: b2 ? 2(a2 ? c2 ) ? 4b ?b ? 4

a 2 ? b2 ? c 2 c 2 ? b2 ? a 2 ?3 ?c, 2ab 2bc

16 略解:利用基本量法,得

?当 a1 ? 8, d ? ?2 时 Sn ? 9n ? n2

?当 a1 ? ?8, d ? 2 时, Sn ? n2 ? 9n 17.解:? an?1 ? S n ?1 - S n = ? ?

?1? ?3?

n ?1

* (n ? N ) ,所以 an ? ? ? (n ? 2), 而 a1 ?

?1? ? 3?

n

1 , 所以 n ? 1, 也适合,所 3

1 1 (1 ? n ) ?1? 3 ? 1 (1 ? 1 ) 以 an ? ? ? (n ? N * ), S n ? 3 1 2 3n ? 3? 1? 3 1 1 1 4 1 1 13 )? ? S1 ? , S 2 ? (1 ? ) ? , S 3 ? (1 ? 3 2 9 9 2 27 27
n

由题知:S1 ,t( S1+S2 ), 3(S2+S3 ) 成等差数列,即 , 所以

1 7t 25 , 成等差数列 3 9 9

14t 1 25 28 ? ? ? ?t ? 2 9 3 9 9
3 4 A 2 5 2 A ? 1 ? ,? sin A ? ? ,? cos A ? 2 cos 2 5 5 2 5

18.解:?在 ?ABC 中 cos

已知 AB ? AC ? 3 ,? cb cos A ? 3 ? bc ?

3 1 1 4 ? 3? bc ? 5 ? S ? ? bc sin A ? ? 5 ? ? 2 5 2 2 5
8

?由余弦定理,得 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 2bc ? 2bc cos A ? 36 ? 10 ? 10 ?

3 ? 20 5

?a ? 2 5
19. 解:?当 n=1 时,我们有

1 a1 ? S1 ,所以 a1 ? ?a1 ? 1 ? 2 ? a1 ? , 2

n ? ?1? S n?1 ? ?an?1 ? ? ? ? 2? 1 1 ? ?2? ? 两式作差,得 an ?1 ? ? an ?1 ? an ? n ,即: 2an ?1 ? an ? n n ?1 2 2 ?1? S n ? ?an ? ? ? ? 2 ? ? ?2? ?

两边同乘 2 ,得 2n?1 an?1 ? 2n an ? 1,所以 bn?1 ? bn ? 1 , bn?1 ? bn ? 1
n

所以 ?bn ?等差数列,其中首项 b1 ? 2 ?

1 ? 1 ,公差 d ? 1 .?bn ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n 2

bn n ? n n 2 2 n ?1 n n ?1 ? ? n ?? cn ? n 2n 2 2 3 4 n n ?1 ?1? ?Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ......? n ?1 ? n ...... 2 2 2 2 2 2 3 4 n n ?1 ?2? ? 2Tn ? 0 ? 1 ? 2 ? ......? n ? 2 ? n ?1 ...... 2 2 2 2 2 ? an ?
(2)-(1)(错位相减)得:

1 1 (1 ? n ?1 ) n?3 2 1 1 1 n ?1 n ?1 2 ?Tn ? 0 ? ( 1 ? 2 ? ......? n ?1 ) ? n ? 2 ? 2 ? n ? 3? n 1 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 1 n ?1 20.(14 分)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? n n 2 an (I)设 bn ? ,求数列 {bn } 的通项公式; n
(II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn 解:?已知 .

an ?1 ?

a n ?1 n ?1 a 1 1 1 an ? n ? n ?1 ? n ? n ? bn ?1 ? bn ? n ? bn ?1 ? bn ? n n 2 n ?1 n 2 2 2

?bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ......? (bn ? bn?1 )
1 1 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? ......? n ?1 ? 2 2 2
?由 bn ?

1? (1 ?

1 ) 2 n ? 2(1 ? 1 ) ? 2 ? 1 1 2n 2 n ?1 1? 2

an n ? an ? nbn ? 2n ? n ?1 n 2
9

? S n ? (2 ?

1 2 3 n ) ? (4 ? 1 ) ? (6 ? 2 ) ? .....? (2n ? n ?1 ) 0 2 2 2 2 1 2 3 n ? (2 ? 4 ? 6 ? ......? 2n) ? ( 0 ? 1 ? 2 ? .....? n ?1 ) 2 2 2 2

令 A ? 2 ? 4 ? 6 ? ......? 2n ? n(n ? 1)

1 2 3 n ?1? ? 1 ? 2 ? .....? n ?1 ........ 0 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?2? ? B ? 1 ? 2 ? 3 ? .....? n ....... 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 n ,得: B ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? .....? n ?1 ? n ?1? ? ?2? (错位相减) 2 2 2 2 2 2 2 1 1? (1 ? n ) 2 ? n ? 2? n?2 ? 1 2n 2n 1? 2 n?2 ? B ? 4 ? n ?1 2 n?2 ? S n ? A ? B ? n 2 ? n ? 4 ? n ?1 2 B?

10


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