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三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质


三角形“四心”向量形式的充要条件应用
知识点总结 1.O 是 ?ABC 的重心 ? O A? O B? O C? 0 ;
?BOC ?AOC ?AOB ?ABC 3 若 O 是 ?ABC 的重心,则 故 O A? O B? O C? 0 ; PG ? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的重心. 3

S


? S

? S

?

1

S

2.O 是 ?ABC 的垂心 ? O A? O B ? O B? O C? O C? O A ;

tanB: tanC 若 O 是 ?ABC (非直角三角形)的垂心,则 S ?BOC:S ?AOC:S ?AOB ? tanA:
故 tanAO A? tanBO B? tanCO C ? 0 3.O 是 ?ABC 的外心 ? | OA|?| OB|?| OC| (或 O A ? O B ? O C )
2 2 2

: sin?AOC : sin?AOB? sin2A : sin2B : sin2C 若 O 是 ?ABC 的外心则 S ?BOC:S ?AOC:S ?AOB ? sin?BOC
故 sin2AO A? sin2BO B? sin2CO C? 0 4.O 是内心 ?ABC 的充要条件是
OA ? ( AB | AB | ? AC AC ) ? OB ? ( BA | BA | ? BC | BC | ) ? OC ? ( CA | CA | ? CB | CB | )?0

引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记 AB, BC, CA 的单位向量为 e 1 , e 2 , e 3 ,则刚才 O 是
?ABC 内心的充要条件可以写成

O A? (e1 ? e 3 ) ? O B? (e1 ? e 2 ) ? O C? (e 2 ? e 3 ) ? 0

,O 是

?ABC 内 心 的 充 要 条 件 也 可 以 是 aO A? bO B? cO C ? 0

。 若 O 是 ?ABC 的 内 心 , 则

S ?BOC:S ?AOC:S ?AOB ? a:b:c


aO A? bO B? cO C ? 0或 sinAO A? sinBO B? sinCO C ? 0 ;
A

| AB | PC? | BC | PA? | CA | PB ? 0 ? P 是 ?ABC 的内心;
向量 ? ( AB ? AC )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 的内心( 是 ?BAC 的角平 | AB | | AC | 分线所在直线); 范 例 (一)将平面向量与三角形内心结合考查
B

e1
C P

e2
C C

例 1 . O 是 平 面 上 的 一 定 点 , A,B,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

OP ? OA ? ? (

AB AB

?

AC AC

) , ? ? ?0,??? 则 P 点的轨迹一定通过 ?ABC 的(



(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心
-1-

解析:因为

AB AB

是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为 e1和 e2 ,



OP ? OA ? AP ,则原式可化为 AP ? ?(e1 ? e2 ) ,由菱形的基本性质知 AP 平分 ?BAC ,那么在 ?ABC 中,AP 平分 ?BAC ,则知选 B.
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理” 例 2. H 是△ABC 所在平面内任一点, HA? HB ? HB? HC ? HC ? HA ? 点 H 是△ABC 的垂心. 由 HA? HB ? HB? HC ? HB? (HC ? HA) ? 0 ? HB? AC ? 0 ? HB ? AC , 同理 HC ? AB , HA ? BC .故 H 是△ABC 的垂心. (反之亦然(证略) ) 例 3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是△ABC 的(D ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

解析:由 PA? PB ? PB ? PC得PA? PB ? PB ? PC ? 0 .即 PB ? (PA ? PC) ? 0,即PB ? CA ? 0 则 PB ? CA,同理PA ? BC, PC ? AB 所以 P 为 ?ABC 的垂心. 故选 D.

(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理” 例 4. G 是△ABC 所在平面内一点,GA ? GB ? GC =0 ? 点 G 是△ABC 的 重心. 证明 作图如右,图中 GB ? GC ? GE 连结 BE 和 CE,则 CE=GB,BE=GC ? BGCE 为平行四边形 ? D 是 BC 的中点,AD 为 BC 边 上的中线. 将 GB ? GC ? GE 代入 GA ? GB ? GC =0, 得 GA? EG =0 ? GA ? ?GE ? ?2GD ,故 G 是△ABC 的重心.(反之亦然(证略) ) 例 5. P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心 ? PG ? ( PA ? PB ? PC) . 证明
PG ? PA ? AG ? PB ? BG ? PC ? CG ? 3PG ? ( AG ? BG ? CG) ? ( PA? PB ? PC)

1 3

∵G 是△ABC 的重心
1 3

∴ GA ? GB ? GC =0 ? AG ? BG ? CG =0,即 3PG ? PA? PB ? PC

由此可得 PG ? ( PA ? PB ? PC) .(反之亦然(证略) ) 例 6 若 O 为 ?ABC 内一点, OA ? OB ? OC ? 0 ,则 O 是 ?ABC 的( A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
-2-



解析:由 OA ? OB ? OC ? 0 得 OB ? OC ? ?OA ,如图以 OB、OC 为相邻两边构作平行四边形,则
1 OB ? OC ? OD ,由平行四边形性质知 OE ? OD , OA ? 2 OE ,同理可证其它两边上的这个性 2 质,所以是重心,选 D。 (四) 将平面向量与三角形外心结合考查

例 7 若 O 为 ?ABC 内一点, OA ? OB ? OC ,则 O 是 ?ABC 的(



A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 解析:由向量模的定义知 O 到 ?ABC 的三顶点距离相等。故 O 是 ?ABC 的外心 ,选 B。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查 例 8.已知向量 OP1 , OP2 , OP3 满足条件 OP1 + OP2 + OP3 =0,| OP1 |=| OP2 |=| OP3 |=1, 求证 △P1P2P3 是正三角形.( 《数学》第一册(下) ,复习参考题五 B 组第 6 题) 证明 由已知 OP1 + OP2 =- OP3 ,两边平方得 OP1 · OP2 = ? , 同理 OP2 · OP3 = OP3 · OP1 = ? , ∴| P1 P2 |=| P2 P3 |=| P3 P1 |= 3 ,从而△P1P2P3 是正三角形. 反之,若点 O 是正三角形△P1P2P3 的中心,则显然有 OP1 + OP2 + OP3 =0 且| OP1 |=| OP2 |=| OP3 |. 即 O 是△ABC 所在平面内一点,
OP 1 + OP 2 + OP 3 =0 且| OP 1 |=| OP 2 |=| OP 3 | ? 点 O 是正△P1P2P3 的中心.
1 2 1 2

例 9.在△ABC 中,已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证:Q、G、H 三点共 线,且 QG:GH=1:2。 【证明】 : 以 A 为原点, AB 所在的直线为 x 轴, 建立如图所示的直角坐标系。 设 A(0,0)、 B (x1,0) 、 C(x2,y2),D、E、F 分别为 AB、BC、AC 的中点,则有: x x ?x2 y2 x y x D( 1 , 0)、E ( 1 , )、F ( 2 , 2 ) 由题设可设 Q ( 1 , y 3 )、H (x 2 , y 4 ) , 2 2 2 2 2 2 x ?x2 y2 x x y y G( 1 , ) ? AH ? (x 2 , y 4 ), QF ? ( 2 ? 1 , 2 ? y 3 ) C(x2,y2) 3 3 2 2 2

BC ? (x 2 ? x 1, y 2 )
AH ? BC ? AH ? BC ? x 2 (x 2 ? x 1 ) ? y 2 y 4 ? 0 ?y4 ? ? x 2 (x 2 ? x 1 ) y2
Q A D F G x B(x1,0) H E

QF ? AC x 2 x1 y ? ) ? y 2( 2 ? y 3) ? 0 2 2 2 x (x ? x 1 ) y 2 ?y3 ? 2 2 ? 2y 2 2 ?QF ? AC ? x 2 (
-3-

?QH ? (x 2 ?

x1 2x ? x 1 3x 2 (x 2 ? x 1 ) y 2 , y 4 ? y 3) ? ( 2 ,? ? ) 2 2 2y2 2

?QG ? ( ?(

x 2 ? x1 x1 y 2 2x ? x 1 y 2 x 2 ( x 2 ? x 1 ) y 2 ? , ? y 3) ? ( 2 , ? ? ) 3 2 3 6 3 2y2 2

2x 2 ? x 1 3x 2 (x 2 ? x 1 ) y 2 1 2x ? x 1 3x 2 (x 2 ? x 1 ) y 2 ,? ? )? ( 2 ,? ? ) 6 6y2 6 3 2 2y2 2

1 = QH 3
即 QH =3QG ,故 Q、G、H 三点共线,且 QG:GH=1:2 例 10 .若 O 、 H 分别是△ ABC 的外心和垂心 . 求证
OH ? OA ? OB ? OC .

证明 若△ABC 的垂心为 H,外心为 O,如图. 连 BO 并延长交外接圆于 D,连结 AD,CD. ∴ AD ? AB ,CD ? BC .又垂心为 H,AH ? BC ,CH ? AB , ∴AH∥CD,CH∥AD, ∴四边形 AHCD 为平行四边形, ∴ AH ? DC ? DO ? OC ,故 OH ? OA? AH ? OA ? OB ? OC . 著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系: (1)三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线” ; (2)三角形的重心在“欧拉线”上,且为外——垂连线的第一个三分点,即重心到垂心的距 离是重心到外心距离的 2 倍。 “欧拉定理”的向量形式显得特别简单,可简化成如下的向量问题. 例 11. 设 O、G、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心. 证明 按重心定理 按垂心定理 补充练习 1.已知 A、B、C 是平面上不共线的三点,O 是三角形 ABC 的重心,动点 P 满足 G 是△ABC 的重心 ? OG ? (OA ? OB ? OC) 由此可得
1 OG ? OH . 3 1 3

求证

1 OG ? OH 3

OH ? OA ? OB ? OC

OP =

1 1 1 ( OA+ OB +2 OC ),则点 P 一定为三角形 ABC 的 3 2 2

( B )

A.AB 边中线的中点 C.重心

B.AB 边中线的三等分点(非重心) D.AB 边的中点 =

1. B 取 AB 边的中点 M ,则 OA ? OB ? 2OM ,由 OP
3

3 OP ? 3OM ? 2MC ,∴ MP ? 2 MC ,即点 P 为三角形中 AB 边上的中线的一个三等分点,且 点 P 不过重心,故选 B.

1 1 ( OA 3 2

+

1 OB +2 OC ) 可得 2

-4-

2 .在同一个平面上有 ?ABC 及一点O满足关系式: O A + BC = OB + CA = OC +

2

2

2

2

2

AB


2

,则O为 ?ABC 的 B 内心 C



D

) D 垂心

外心

重心

2.已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足: PA ? PB ? PC ? 0 ,则 P 为 ?ABC 的 ( C ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 3.已知 O 是平面上一 定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足:

OP ? OA ? ?( AB ? AC) ,则 P 的轨迹一定通过△ABC 的



C



A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 4.已知△ABC,P 为三角形所在平面上的动点,且动点 P 满足:

PA ? PC ? PA ? PB ? PB ? PC ? 0 ,则 P 点为三角形的
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心



D



5.已知△ABC,P 为三角形所在平面上的一点,且点 P 满足: a ? PA ? b ? PB ? c ? PC ? 0 ,则 P 点 为三角形的 A 外心 ( B B 内心 C 重心 D 垂心
2 2



6.在三角形 ABC 中,动点 P 满足: CA ? CB ? 2 AB ? CP ,则 P 点轨迹一定通过△ABC 的: ( A B ) 外心 B 内心 C 重心 D 垂心

→ → → → → 与AC → 满足( AB + AC )·BC → =0 且 AB · AC =1 , 则△ABC 为( ) 7.已知非零向量AB → | |AC →| → | |AC →| 2 |AB |AB A.三边均不相等的三角形 解析:非零向量与满足( B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

AB AC )· =0 , 即 角 A 的 平 分 线 垂 直 于 BC , ∴ AB=AC , 又 ? | AB | | AC |

c o sA ?

? AB AC 1 =2 ,∠A= ,所以△ABC 为等边三角形,选 D. ? 3 | AB | | AC |

8. ?ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,OH ? m(OA ? OB ? OC) ,则实数 m = 9.点 O 是 ?ABC 所在平面内的一点,满足 OA? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则点 O 是 ?ABC 的(B ) (A)三个内角的角平分线的交点 (C)三条中线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (D)三条高的交点

1

10. 如图 1, 已知点 G 是 ?ABC 的重心, 过 G 作直线与 AB, AC 两边分别交于 M, N 两点, 且 AM ? xAB ,
1 1 AN ? yAC ,则 ? ? 3 。 x y
-5-

点 G 是 ?ABC 的重心,知 GA ? GB ? GC ? O, 1 得 ? AG ? ( AB ? AG) ? ( AC ? AG) ? O,有 AG ? ( AB ? AC ) 。又 M,N,G 三点共线(A 不在直线 MN 3 上) , 证 于是存在 ? , ? ,使得 AG ? ? AM ? ? AN (且? ? ? ? 1) ,
1 有 AG ? ? xAB ? ? y AC = ( AB ? AC ) , 3

?? ? ? ? 1 1 1 ? 得? 1 ,于是得 ? ? 3 。 x y ?x ? ? y ? ? 3 ?
例讲三角形中与向量有关的问题 教学目标:1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法 2、向量的加法、数量积等性质 3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题 4、数形结合 教学重点:灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题 教学难点:针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题 教学过程: 1、课前练习 1.1 已知 O 是△ABC 内的一点,若 OA ? OB ? OC ,则 O 是△ABC 的〔 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
2 2 2



1.2 在△ABC 中, 有命题① AB ? AC ? BC ; ② AB ? BC ? CA ? 0 ; ③若 AB ? AC ? AB ? AC ? 0 , 则△ABC 为等腰三角形;④若 AB ? AC ? 0 ,则△ABC 为锐角三角形,上述命题中正确的是〔 A、①② B、①④ C、②③ D、②③④ 2、知识回顾 2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法 2.2 向量的有关性质 2.3 上述两者间的关联 3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题 〕

?

??

?

? ? ? AB AC ? AB AC 1 例 1、已知△ABC 中,有 ? ? ? ? ,试判断△ABC 的形状。 ? ? BC ? 0 和 ? AB AC ? AB AC 2 ? ?
练习 1、已知△ABC 中, AB ? a , BC ? b ,B 是△ABC 中的最大角,若 a ? b ? 0 ,试判断△ABC 的形状。 4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题 例 2、已知 O 是△ABC 所在平面内的一点,满足 OA ? BC ? OB ? AC ? OC ? AB ,则 O 是△ABC 的〔 〕
-62 2 2 2 2 2

A、重心 B、垂心 C、外心 5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题

D、内心

? ? ? AB AC ? 例 3、已知 P 是△ABC 所在平面内的一动点,且点 P 满足 OP ? OA ? ? ? ? ?, ? ? ?0,??? , ? AB AC ? ? ?
则动点 P 一定过△ABC 的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 练习 2、已知 O 为平面内一点,A、B、C 平面上不共线的三点,动点 P 满足
1 ? ? OP ? OA ? ? ? AB ? BC ?, ? ? ?0,??? ,则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的〔 2 ? ?



A、重心 B、垂心 例 4 、 已 知 O 是 △ ABC

C、外心 D、内心 所 在 平 面 内 的 一 点 , 动 点

P

满 足

? ? ? AB AC ? OP ? OA ? ? ? ? ?, ? ? ?0,??? ,则动点 P 一定过△ABC 的〔 〕 ? AB cos B AC cosC ? ? ?
A、重心 B、垂心 练 习 3 、 已 知 O 是 △ ABC C、外心 D、内心 所 在 平 面 内 的 一 点 , 动 点 P 满 足

? ? ? OB ? OC AB AC ? OP ? ? ?? ? ?, ? ? ?0,??? ,则动点 P 一定过△ABC 的〔 〕 2 ? AB cos B AC cosC ? ? ?
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 例 5 、 已 知 点 G 是 的 重 心 , 过 G 作 直 线 与 AB 、 AC 分 别 相 交 于 M 、 N 两 点 , 且
1 1 AM ? x ? AB, AN ? y ? AC ,求证: ? ? 3 x y

6、小结 处理与三角形有关的向量问题时,要允分注意数形结合的运用,关注向量等式中的实数互化, 合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。 7、作业 1、已知 O 是△ABC 内的一点,若 OA ? OB ? OC ? 0 ,则 O 是△ABC 的〔 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 〕 〕

2、若△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,且 OA ? OB ? OC ? 0 ,则 OA ? OB 等于〔 A、

1 1 B、0 C、1 D、 ? 2 2 3 、 已 知 O 是 △ ABC 所 在 平 面 上 的 一 点 , A 、 B 、 C 、 所 对 的 过 分 别 是 a 、 b 、 c 若

a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0 ,则 O 是△ABC 的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 〕

4、 已知 P 是△ABC 所在平面内与 A 不重合的一点, 满足 AB ? AC ? 3AP , 则 P 是△ABC 的 〔
-7-

A、重心 △ABC 为正三角形。

B、垂心

C、外心

D、内心

5、平面上的三个向量 OA 、 OB 、 OC 满足 OA ? OB ? OC ? 0 , OA ? OB ? OC ? 1 ,求证:

6、在△ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,求 OA ? (OB ? OC) 三角形四心与向量的典型问题分析 向量是数形结合的载体,有方向,大小,双重性,不能比较大小。在高中数学“平面向量” (必 修 4 第二章)的学习中,一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算;另一方面,我们又以向 量为工具,运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。 在平面向量的应用中,用平面向量解决平面几何问题时,首先将几何问题中的几何元素和几 何关系用向量表示,然后选择适当的基底向量,将相关向量表示为基向量的线性组合,把问题转 化为基向量的运算问题,最后将运算的结果再还原为几何关系。 下面就以三角形的四心为出发点,应用向量相关知识,巧妙的解决了三角形四心所具备的一 些特定的性质。 既学习了三角形四心的一些特定性质, 又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。 一、“重心”的向量风采 【命题 1】 G 是 △ ABC 所在平面上的一点,若 GA ? GB ? GC ? 0 ,则 G 是 △ ABC 的重心.如图⑴.

C A' G A
图⑴

P B
M

A
B

C O
图⑵

【命题 2 】

,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 已知 O 是平面上一定点, A

? ?) ,则 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的重心. OP ? OA ? ?( AB ? AC) , ? ? (0, ??) 时,由于 ? ( AB ? AC ) 表示 BC 边上的中线所在 【解析】 由题意 AP ? ?( AB ? AC) ,当 ? ? (0,

直线的向量,所以动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的重心,如图⑵. 二、“垂心”的向量风采 【命题 3】
P 是 △ ABC 所在平面上一点,若 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是 △ ABC 的垂心.

【解析】 由 PA ? PB ? PB ? PC ,得 PB ? (PA ? PC ) ? 0 ,即 PB ? CA ? 0 ,所以 PB ⊥ CA .同理可证

-8-

PC ⊥ AB , PA ⊥ BC .∴P 是 △ ABC 的垂心.如图⑶.

A
E

C M

B

C P
A
图⑶

P

H F B

O

图⑷

【命题 4】

,B,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足 已知 O 是平面上一定点, A

? AB AC ? ? , ? ? (0, OP? OA ??? ? ? ?) ,则动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的垂心. ? AB cos B AC cosC ? ? ? ? ? ? ? AB AC AB AC ? ? BC ? 0 , ? ,由于 ? ? ? 【解析】 由题意 AP ? ? ? ? AB cos B AC cos C ? ? AB cos B AC cos C ? ? ? ? ?



AB ? BC AB cos B

?

AC ? BC AC cos C

? BC ? CB ? 0 ,所以 AP 表示垂直于 BC 的向量,即 P 点在过点 A 且

垂直于 BC 的直线上,所以动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的垂心,如图⑷. 三、“内心”的向量风采 【命题 5】 已 知 I 为 △ ABC 所 在 平 面 上 的 一 点 , 且 AB ? c , AC ? b , BC ? a

.若

a IA ? b IB ? c I? C 0 ,则 I 是 △ ABC 的内心.
B

C O

c I A

a

P
C

b 图⑸

A
图⑹

B

【解析】 ∵IB ? IA ? AB , IC ? IA ? AC ,则由题意得 (a ? b ? c) IA ? bAB ? cAC ? 0 ,
? ? AB AC ? ? ? ∵ b AB ? c AC ? AC ? AB ? AB ? AC ? AC ? AB ? , ? AB AC ? ? ?

-9-

bc ? AB AC ? ? ? .∵ AB 与 AC 分别为 AB 和 AC 方向上的单位向量, ? ∴AI ? a ? b ? c ? AB AC ? AC AB ? ?

∴AI 与∠BAC 平分线共线,即 AI 平分 ?BAC . 同理可证: BI 平分 ?ABC , CI 平分 ?ACB .从而 I 是 △ ABC 的内心,如图⑸. 【命题 6】
,B,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足 已知 O 是平面上一定点, A

? AB A C? ? , ? ? (0, OP? OA ??? ? ? ?) ,则动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的内心. ? AB A C? ? ? ? AB AC ? ? ? ,∴ AP ? ? ? ? ?) 时, AP 表示 ?BAC 的平分线所在直线 【解析】 由题意得 当 ? ? (0, ? AB AC ? ? ?

方向的向量,故动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的内心,如图⑹. 四、 “外心”的向量风采 【命题 7】 已知 O 是 △ ABC 所在平面上一点,若 OA2 ? OB2 ? OC 2 ,则 O 是 △ ABC 的外心.

C A O B
O A

B M P C

图⑺

图⑻
2 2
2 2

【解析】 若 OA ? OB ? OC ,则 OA ? OB 心,如图⑺。 【命题 7 】

2

?OC

2

,∴ OA ? OB ? OC ,则 O 是 △ ABC 的外

,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 已知 O 是平面上的一定点, A

OP ?

? OB ? OC AB AC ? ?, ??? ? ? ? (0, ? ?) , 则动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的外心。 ? AB cosB AC cos 2 C? ? ?

? ? AB AC OB ? OC ? ? 表示垂直于 BC ? ? ? ?) 时, 【解析】 由于 过 BC 的中点, 当 ? ? (0, ? AB cos B AC cos C ? 2 ? ?

的向量 (注意: 理由见二、 4 条解释。 ) , 所以 P 在 BC 垂直平分线上, 动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的外心,如图⑻。
- 10 -


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