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2014年高考理科数学试题分类汇编


2014 年高考数学试题汇编 不等式
一.选择题: 1.(2014 上海)设 a, b ? R ,则“ a ? b ? 4 ”是“ a ? 2, 且b ? 2 ”的( (A)充分条件 (C)充分必要条件 【答案】 【解析】 B (B)必要条件 (D)既非充分又非必要条件 )

显然,a + b > 4, 无法推出a > 2且b > 2 ∴不是充分条件 若a > 2且b > 2,则a + b > 4成立∴是必要条件 ∴必要不充分条件 .所以,选B
2.(2014 四川)若 a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ,则一定有( )

a b ? c d a b C、 ? d c
A、 【答案】D 【解析】

a b ? c d a b D、 ? d c
B、

1 1 -1 -1 ? c < d < 0∴ < < 0∴ > > 0 d c d c -1 -1 -a -b a b ? a > b > 0, > > 0 ∴ > > 0 ∴ < < 0.选D d c d c d c
3.(2014 上海)若实数 x,y 满足 xy=1,则 x + 2 y 的最小值为______________. 【答案】
2

2

2 2
2 2 2

【解析】? xy = 1∴ x + 2y = x +

2 2 ≥ 2 x 2 ? 2 = 2 2 , 所以,是2 2 2 x x

4.(2014 新课标 I).不等式组 ?

?x ? y ? 1 的解集记为 D .有下面四个命题: ?x ? 2 y ? 4

p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 , p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , P 3 : ?( x, y ) ? D, x ? 2 y ? 3 , p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1 .
其中真命题是

A . p2 , P 3

B . p1 , p4

C . p1 , p2

D . p1 , P 3

【答案】 :C 【解析】 :作出可行域如图:设 x ? 2 y ? z ,即 y ? ? 当直线过 A ? 2, ?1? 时,

1 z x? , 2 2

zmin ? ?2 ? 2 ? 0 ,∴ z ? 0 ,∴命题 p1 、 p2 真命题,选 C.

? x ? y ? 7≤0 ? 5. (2014 新课标 II)设 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1≤0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?3 x ? y ? 5≥0 ?
A. 10 【答案】 B B. 8 C. 3 D. 2



画出区域,可知区域为 三角形,经比较斜率, 可知目标函数 z = 2 x - y在两条直线x - 3 y + 1 = 0与x + y - 7 = 0的交点(5,2)处, 取得最大值z = 8.故选B.
? x ? y ? 2 ? 0, ? 6(2014 天津)设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 则目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值为 ? y ? 1, ?
( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

y 2 1 O -2
【答案】B 【解析】 此题区域不是封闭区域,属于陷阱题 结合图象可知,当目标函数通过点 (1,1) 时, z 取得最小值 3.

2

x

? y?x ? 7. (2014 广东)若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1且z ? 2 x ? y 的最大值和最小值分别为 M ? y ? ?1 ?
和 m,则 M-m= A.8 B.7 C.6 D.5

答案: C 提示 : 画出可行域(略), 易知在点(2,1)与( ?1, ?1)处目标函数分别取得最大值M ? 3, 与最小值m ? ?3,? M ? m ? 6, 选 C.
? x? y?2?0 ? 8. (2014 北京)若 x , y 满足 ?kx ? y ? 2 ? 0 且 z ? y ? x 的最小值为-4,则 k 的值为( ? y?0 ?
A.2 B. ? 2



C.

1 2

D. ?

1 2

9 (2014 山东)已知 x, y 满足约束条件 ?

? x ? y ? 1 ? 0, 当目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) ?2 x ? y ? 3 ? 0,

2 2 在该约束条件下取到最小值 2 5 时, a ? b 的最小值为

(A)5(B)4(C) 5 (D)2 (

? x ? y ? 2 ? 0, ? 10(2014 安徽)x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一 , ... ? 2 x ? y ? 2 ? 0. ?
则实数 a 的值为 (A)

1 或-1 2

(B)2 或

1 2

5

(C)2 或 1 D

(D)2 或-1

11(2014 天津)设 a, b ? R ,则|“ a > b ”是“ a a > b b ”的( (A)充要不必要条件 (C)充要条件 【答案】C 【解析】 (B)必要不充分条件 (D)既不充要也不必要条件



( 1)当a ? 0,b ≥0时,a | a |? a 2 , b | b |? b 2 若a ? b, 则a | a |? b | b |,∴ 是充分条件; 若a | a |? b | b |, 则a ? b,∴ 是必要条件 (2)当a ? 0,b ? 0时, 若a ? b, 则a | a |? b | b |; 若a | a |? b | b |, 则a ? b. (3)当a ≤0,b ? 0时,a | a |? -a 2 , b | b |? -b 2 . 若a ? b, 则a | a |? b | b |; 若a | a |? b | b |, 则a ? b. 综上,是充要条件 .选C.
12(2014 江西) (1).(不等式选做题)对任意 x, y ? R , x ?1 ? x ? y ?1 ? y ? 1 的最小值为 ( ) A. 1 【答案】B B. 2 C. 3 D. 4

【解析】 | x ? 1| ? | x | ? | y ?1| ? | y ? 1 ?| x ?1 ? x | ? | y ?1 ? ? y ? 1? |? 1 ? 2 ? 3

二.填空题

? x? y ?0 ? 1. (2014 大纲)设 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 z ? x ? 4 y 的最大值为 ? x ? 2y ?1 ?

.

【答案】5.

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 2(2014 浙江)当实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0, 时, 1 ? ax ? y ? 4 恒成立,则实数 a 的 ? x ? 1, ?
取值范围是________.

? 3? 1, ? ? 2? ?
3、 (2014 福建)要制作一个容器为 4 m ,高为 1m 的无盖长方形容器,已知该容器的底面 造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是_______(单 位:元) 160
3

?x ? y ? 1 ? 0 ? 4(2014 福建)若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 8 ? 0 则 z ? 3x ? y 的最小值为________ ?x ? 0 ?
1

1 2x ?1 ? x ? 2 ? a2 ? a ? 2 2 5 (2014 重庆)若不等式 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值
范围是 ____________.

1 [-1, ] 2 【答案】
【解析】

1 1 1 5 ?由数轴可知, f ( x) =| x - | + | x - | + | x + 2 | 有最小值f( ) = 2 2 2 2 1 5 1 ∴ f ( x) ≥ a 2 + a + 2恒成立,即 ≥ a 2 + a + 2,即0 ≥ 2a 2 + a - 1, 2 2 2 1 解得a ∈[-1, ] 2
6. (2014 辽宁)对于 c ? 0 ,当非零实数 a,b 满足 4a ? 2ab ? 4b ? c ? 0 ,且使 | 2a ? b |
2 2

最大时,

3 4 5 ? ? 的最小值为 a b c

.

【答案】-2 【解析】

b ? 4a 2 - 2ab+ 4b 2 - c = (2a - ) 2 + ( 2 3 2 b ∴ c ? [12 + ( ) ] =( [ 2a - ) 2 + ( 2 15 ?c ? [12 + ( | 2a +

15b 2 ) -c= 0 2 15b 2 3 2 b 15b 3 2 ) ] ? [12 + ( ) ]≥ ( [ 2a - ) ? 1+ ? ] 2 2 2 15 15

3 2 b b 15b 3 ) ]≥ (2a + ) 2 ∴当(2a - ) : 1 = : , 即2a = 3b,c = 10b 2时, 2 2 2 15 15

b 8c 3 4 5 6 4 5 1 1 | 取最大值 .这时, - + = - + = ( - 4) ≥-2. 2 2 5 a b c 3b b 10b 2b b 3 4 5 所以, - + 的最小值为- 2 a b c

?y ? x ? 7(2014 湖南 ). 若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,且 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? 6 ,则 ?y ? k ?
k ? ____.
【答案】 ?2 【解析】求出约束条件中三条直线的交点为 ? k , k ? , ? 4 ? k , k ? , ? 2, 2? ,且不等式组

y ? x, x ? y ? 4 限制的区域如图,所以 k ? 2 ,则当 ? k, k ? 为最优解时, 3k ? ?6 ? k ? ?2 ,
当 ? 4 ? k , k ? 为最优解时, 2 ? 4 ? k ? ? k ? ?6 ? k ? 14 , 因为 k ? 2 ,所以 k ? ?2 ,故填 ?2 .

【考点定位】线性规划 8(2014 湖南) x 的不等式 ax ? 2 ? 3 的解集为 ? x ?

? ?

5 1? ? x ? ? ,则 a ? ________. 3 3?

9 (2014 陕西) (不等式选做题)设 a, b, m, n ? R , 且 a ? b ? 5, ma ? nb ? 5 , 则 m2 ? n2 的
2 2

最小值为 A

? a + b 2 = 5,∴设a = 5 sin θ, b = 5cosθ, 则m a+ nb = m 5 sin θ + n 5cosθ = 5 m 2 + n 2 sin(θ + φ) = 5, ∴ m 2 + n 2 sin(θ + φ) = 5 ≤ m 2 + n 2 . 所以,m 2 + n 2的最小值为 5
三.解答题 1. (2014 新课标 I)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0 ,且
3 3

2

1 1 ? ? ab . a b

(Ⅰ) 求 a ? b 的最小值; (Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由. 【解析】 :(Ⅰ) 由 ab ?

1 1 2 ? ? ,得 ab ? 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立, a b ab

故 a3 ? b3 ? 3 a3 b3 ? 4 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立, ∴ a ? b 的最小值为 4 2 .
3 3

???5 分

(Ⅱ)由 6 ? 2a ? 3b ? 2 6 ab ,得 ab ? 所以不存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 成立.

3 ,又由(Ⅰ)知 ab ? 2 ,二者矛盾, 2
?????10 分

2. (2014 新课标 II)(本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? = x ? 1 ? x ? a (a ? 0)

a

(Ⅰ)证明: f ? x ? ≥ 2; (Ⅱ)若 f ? 3? ? 5 ,求 a 的取值范围.

3. (2014 辽宁) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2 | x ?1| ? x ? 1 , g ( x) ? 16 x2 ? 8x ? 1 ,记 f ( x) ? 1 的解集为 M, g ( x) ? 4 的解集为 N. (1)求 M; (2)当 x ? M

N 时,证明: x 2 f ( x) ? x[ f ( x)]2 ?

1 . 4

4 {x | 0 ≤x ≤ } 3 (2) 【答案】 (1)
【解析】 (1)

4 f ( x) = 2 | x - 1 | + x - 1 ≤ 1.当x ≥ 1时,解得 1 ≤x ≤ ;当x < 1时,解得0 ≤x < 1 3 4 4 ∴ f ( x) ≤ 1的解集为 [0, ].所以,M = {x | 0 ≤x ≤ } 3 3
(2)

g ( x) = 16 x 2 - 8 x +1 #4,解得-

1 4

x

3 4

4 1 3 3 M = [0, ], N = [- , ], M ? N [0, ] 3 4 4 4 2 2 2 x f ( x) + x[ f ( x)] = x ? [2(1 x) + x - 1] + x(1 - x) 2 = x 2 ? (1 x) + x(1 - x ) 2 = x 2 - x 3 + x (1 - 2 x + x 2 ) = x - x 2 1 1 1 (1 ) = 2 2 4 1 3 \ x 2 f ( x) + x[ f ( x )]2 N , x [0, ] 4 4 = x(1 - x) ?

4(2014 福建) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选将 已知定义在 R 上的函数 f ?x? ? x ?1 ? x ? 2 的最小值为 a . (I)求 a 的值;

q, r 为正实数,且 p ? q ? r ? a ,求证: p 2 ? q 2 ? r 2 ? 3 . (II)若 p ,
解:(1)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当-1≤x≤2 时,等号成立, 所以 f(x)的最小值等于 3,即 a=3. (2)由(1)知 p+q+r=3,又 p,q,r 是正实数, 所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9, 即 p2+q2+r2≥3.

2014 年高考数学试题汇编 圆锥曲线
一.选择题 1. (2014 大纲) 已知双曲线 C 的离心率为 2, 焦点为 F 点 A 在 C 上, 若F F2 , 1、 1A ? 2 F 2A , 则 cos ?AF2 F 1 ?( )

A.

1 4

B.

1 3

C.

2 4

D.

2 3

【答案】A. 2. (2014 大纲)已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 、 F2 ,离心率为 a 2 b2

3 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若 ?AF1B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为 3
( A. )

x2 y 2 ? ?1 3 2

B.

x2 ? y2 ? 1 3

C.

x2 y 2 ? ?1 12 8

D.

x2 y 2 ? ?1 12 4

【答案】A. 3(2014 福建)设 P, Q 分别为 x 2 ? ? y ? 6? ? 2 和椭圆
2

x2 ? y 2 ? 1 上的点,则 P, Q 两点间 10

的最大距离是( A. 5 2 D

) C. 7 ? 2 D. 6 2

B. 46 ? 2

4、(2014 四川)已知 F 为抛物线 y 2 ? x 的焦点,点 A , B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, ,则 ?ABO 与 ?AFO 面积之和的最小值是( OA ? OB ? 2 (其中 O 为坐标原点) A、 2 【答案】B 【解析】 B、 3 )

C、

17 2 8

D、 10

1 2 2 ? y 2 = x ∴ F ( ,0),设A( y1 , y1 ), B( y2 , y2 ), y1 > 0, y2 < 0, θ =< OA, OB > 4 ? OAOB = y1 y2 + y1 y2 = 2 ∴ (y1 y2 + 2) ( y1 y2 - 1) = 0,即y1 y2 = -2 ∴ S ΔAOF = ? cosθ = = 1 1 1 1 ? ? y1 , S ΔAOB = ? OA ? OB ? sin θ = ? OAOB ? tanθ = tanθ 2 4 2 2 OAOB | OA || OB | 1 y1 y2 + y1 + y2 + 1
2 2 2 2 2 2 2 2

=

2 y1 + y1 =
2 4 2

y2 + y2 1
2

4

2

=

2 2 ( y1 + 1)( y2 + 1)
2 2

y1 + y2 + 5 y1 + 4 y1 + 4 = y1
4 2

∴ tanθ =

y1 + y2 + 4 =

y1 + 4 y1 + 4 y12 + 2 2 = = y1 + y1 y1 y1

4

2

S ΔAOF + S ΔAOB =

y1 2 9y 2 9 y1 2 + y1 + = 1 + ≥ 2 ? = 3.选B 8 y1 8 y1 8 y1

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 5(2014 重庆)设 F1,F2 分别为双曲线 a 的左、右焦点,双曲线上存在
| PF1 | ? | PF2 |? 3b, | PF1 | ? | PF2 |? 9 ab, 4 则该双曲线的离心率为(

一点 P 使得



4 A. 3
【答案】B 【解析】

5 B. 3

9 C. 4

D.3

? 设m = PF1 , n = PF2 , 且m > n, 则m + n = 3b, m n= c 5 ∴ 解得4a = 3b,∴令a = 3, b = 4, c = 5, = , 选B. a 3

9 ab, m - n = 2a, c 2 = a 2 + b 2 4

6(2014 新课标 I).已知 F 是双曲线 C :x ? my ? 3m(m ? 0) 的一个焦点, 则点 F 到 C 的一
2 2

条渐近线的距离为

A. 3

B .3

C . 3m

D . 3m

【答案】 :A 【解析】 :由 C : x2 ? my 2 ? 3m(m ? 0) ,得

x2 y 2 ? ? 1 , c2 ? 3m ? 3, c ? 3m ? 3 3m 3

设F

?

3m ? 3, 0 ,一条渐近线 y ?

?

3 x ,即 x ? my ? 0 ,则点 F 到 C 的一条渐近线 3m

的距离 d ?

3m ? 3 = 3 ,选 A. . 1? m

7(2014 新课标 I).已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线

PF 与 C 的一个交点,若 FP ? 4FQ ,则 | QF | =
A.

7 2

B.

5 2

C .3

D .2

【答案】 :C 【解析】 :过 Q 作 QM⊥直线 L 于 M,∵ FP ? 4FQ ∴

PQ

QM PQ 3 3 ? ? ,∴ QM ? 3 ,由抛物线定义知 QF ? QM ? 3 ? ,又 4 PF 4 PF 4

选C 8. (2014 辽宁)已知点 A(?2,3) 在抛物线 C: y ? 2 px 的准线上,学 科网过点 A 的直线
2

与 C 在第一象限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( A.



1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 3

【答案】D 【解析】

? A(-2,3)在准线上, 所以y 2 = 8 x, 求导得: 2 y ? y′= 8,即k = 4 m - 3 8(m - 3) = 2 = 2 ,m 2 - 6m - 16 = 0, 解得m = 8 m m m + 16 +2 8 m 8m 4 ∴ F (2,0), k BF = 2 = 2 = .选D. m m - 16 3 -2 8 ∴

4 m2 .设B( , m),m > 0, 则k = k AB . y 8

9. (2014 新课标 II)设 F 为抛物线 C: y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) A.

3 3 4
D

B.

9 3 8

C.

63 32

D. 9

4

【答案】

设点A、B分别在第一和第四象限 ,AF = 2m, BF = 2n,则由抛物线的定义和 直角三角形知识可得, 3 3 3 3 2m = 2 ? + 3m,2n = 2 ? - 3n,解得m = (2 + 3 ), n = (2 - 3 ),∴ m + n = 6. 4 4 2 2 1 3 9 ∴ S ΔOAB = ? ? (m + n) = .故选D. 2 4 4
10(2014 天津)已知双曲线

x2 y 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线平行于直线 l : a 2 b2


y = 2 x + 10 ,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为(

x2 y 2 =1 (A) 5 20
(C)

x2 y 2 =1 (B) 20 5
(D)

3x 2 3 y 2 =1 25 100

3x 2 3 y 2 =1 100 25

【答案】A 【解析】

ì ? b = 2a ? ? x2 y 2 2 2 ? = 1. 依题意得 í c = 5 ,所以 a = 5 , b = 20 ,双曲线的方程为 ? 5 20 ? 2 2 2 ? ? ?c = a + b
11. (2014 广东)若实数 k 满足 0 ? k ? 9, 则曲线 A.离心率相等 B.虚半轴长相等

x2 y2 x2 y2 ? ? 1的 ? ? 1 与曲线 25 ? k 9 25 9 ? k
C. 实半轴长相等 D.焦距相等

答案:D 提示: 0 ? k ? 9,? 9 ? k ? 0, 25 ? k ? 0, 从而两曲线均为双曲线, 又25 ? (9 ? k ) ? 34 ? k ? (25 ? k ) ? 9, 故两双曲线的焦距相等,选D.
x2 y 2 x2 y 2 12(2014 山东)已知 a ? b ,椭圆 C1 的方程为 2 ? 2 ? 1 ,双曲线 C2 的方程为 2 ? 2 ? 1 , a b a b

C1 与 C2 的离心率之积为

3 ,则 C2 的渐近线方程为 2

(A) x ? 2 y ? 0 (B) 2 x ? y ? 0 (C) x ? 2 y ? 0 (D) 2 x ? y ? 0

【考点】椭圆、双曲线的几何性质. 13. (2014 湖北 ) 已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是他们的一个公共点,且

?F1 PF2 ?
A. B

?
3

,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(



4 3 3

B.

2 3 3

C.3

D.2

二.填空题 1(2014 湖南).如图 4,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a, b ? a ? b? ,原点 O 为

AD 的中点,抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 经过 C , F 两点,则

b ? _____ . a

2 (2014 上海)若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 方程为___________. 【答案】 x=-2

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则该抛物线的准线 9 5

x2 y2 ? + = 1 ∴右焦点为(2,0) ? y 2 = 2 px焦点为(2,0) ∴其准线方程为 x = -2 【解析】 9 5 所以,是x = -2
3(2014 浙江)设直线 x ? 3 y ? m ? 0(m ? 0) 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )两条渐近 a2 b2

线分别交于点 A, B ,若点 P ( m,0) 满足 PA ? PB ,则该双曲线的离心率是__________

5 2
4(2014 北京)设双曲线 C 经过点 ? 2, 2 ? ,且与 ________; 渐近线方程为________.

y2 ? x 2 ? 1 具有相同渐近线,则 C 的方程为 4

5(2014 安徽)若 F1,F2 分别是椭圆 E: x ?
2

y2 ? 1 (0<b<1)的左、右焦点,过点 F1 的直 b2
.

线交椭圆 E 于 A, B 两点. 若 AF 则椭圆 E 的方程为 1 ? 3F 1 B ,AF2 ? x 轴, 14. x ?
2

3 2 y ?1 2

6. (2014 江西)过点 M (1,1) 作斜率为 ?

1 x2 y 2 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 2 a b

A, B ,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为
【答案】 【解析】

2 2

设A ? x1 , y1 ? B ? x2 , y2 ? x12 y12 ? ?1 a 2 b2 x2 2 y2 2 ? ?1 a 2 b2 ? x ? x ?? x ? x ? ? y ? y ?? y ? y ? ? 1 2 2 1 2 ? 1 2 2 1 2 ?0 a b 1 ? ?2 2 ? 2 ? 22 ? 0 a b 2 ? a ? 2b 2 则 ?e ? 2 2
x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点 9 4
.

7. (2014 辽宁)已知椭圆 C:

的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |?

【答案】12 【解析】

如图,焦点F1 (- 5, 0), F2 ( 5, 0), 用特值法.令M (0,0), Q是线段MN的中点, 则A(-2 5,, 0), B(2 5, 0) AN + BN = 2 F1Q + 2 F2Q = 2 ? 2a = 12 ∴ AN + BN = 12
三.解答题 1. (2014 广东)(14 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 ( 5,0) ,离心率 a 2 b2



5 , 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P( x0 , y0 ) 为椭圆外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨 迹方程.

解 : (1)c ? 5, e ?

c 5 5 ? ? ,? a ? 3, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 9 ? 5 ? 4, a a 3 x2 y 2 ? 椭圆C的标准方程为: ? ? 1. 9 4 (2)若一切线垂直x轴, 则另一切线垂直于y轴, 则这样的点P共4个, 它们的坐标分别为(?3, ?2), (3, ?2). 若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为y ? y0 ? k ( x ? x0 ), x2 y 2 ? ? 1 中并整理得: 9 4 2 (9k 2 ? 4) x 2 ? 18k ( y0 ? kx0 ) x ? 9 ? ?( y0 ? kx0 ) ? 4 ? ? ? 0, 依题意, ? ? 0, 即y ? k ( x ? x0 ) ? y0 , 将之代入椭圆方程
2 2 2 2 即:(18k ) 2 ( y0 ? kx0 ) 2 ? 36 ? ?( y0 ? kx0 ) ? 4 ? ? (9k ? 4) ? 0, 即4( y0 ? kx0 ) ? 4(9k ? 4) ? 0,

? ( x0 2 ? 9)k 2 ? 2 x0 y0 k ? y0 2 ? 4 ? 0, 两切线相互垂直,? k1k2 ? ?1, 即 : ? x0 2 ? y0 2 ? 13, 显然(?3, ?2), (3, ?2)这四点也满足以上方程, ?点P的轨迹方程为x 2 ? y 2 ? 13 .
2. (2014 江苏) (本小题满分 14 分)
x2 y3

y0 2 ? 4 ? ?1, x0 2 ? 9

? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, a2 b2 顶点 B 的坐标为 (0, b) ,连结 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于

如图,在平面直角坐标系 xOy 中, F1 , F2 分别是椭圆

?

另一点 C,连结 F1C . 4 1 (1)若点 C 的坐标为 ( , ) ,且 BF2 ? 2 ,求椭圆的方程; 3 3 (2)若 F1C ? AB, 求椭圆离心率 e 的值.

y B C

F1 O

F2 A

x

(第 17 题)

3(2014 陕西)(本小题满分 13 分) 如图,曲线 C 由上半椭圆

C1 :

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 和 部 分 抛 物 线 a 2 b2
3 . 2

C2 : y ? ?x2 ? 1( y ? 0) 连接而成, C1 , C2 的公共点为 A, B ,其中 C1 的离心率为
(1)求 a , b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1 , C2 分别交于 P, Q (均异于点 A, B ) ,若 AP 的方程.

? AQ ,求直线 l

【答案】 【解析】 (1)

(1)

a=2,b=1

(2)

8 y = - ( x -1) 3

c 3 2 ? 抛物线y = - x 2 + 1交于点(-1,0), (1,0), ∴ b = 1.又 ? = , a = b2 + c2 a 2 y2 2 ∴ 联立解得a = 2, b = 1, c = 3, 椭圆方程为 + x 2 = 1 4
(2)

设过B(1,0)的直线方程为y = k ( x - 1), P( x1 , y1 ), Q( x 2 , y2 ),与 k 2 ( x 2 - 2x + 1) + 4 x 2 = 4,即(k 2 + 4) x 2 - 2k 2 x + k 2 - 4 = 0,

y2 + x 2 = 1联立得 4

k2 -4 - 8k k 2 - 4 - 8k 由韦达定理得 x1 = 2 , y1= k ( x1 -1) = 2 ,即P( 2 , ) k +4 k +4 k + 4 k2 + 4 与y = - x 2 + 1联立得 : x 2 + kx - k - 1 = 0, 由韦达定理得 x 2 = -k - 1, y 2 = k ( x 2 -1) = -k2 - 2k, 即Q(-k - 1,-k2 - 2k) k2 -4 - 8k + 1, 2 ) ? (-k, - k 2 - 2k) = 0, 2 k +4 k +4 8 即(k ,-4)(1, k + 2) = k - 4(k + 2) = 0, 解得k = - . 3 8 所以,所求直线方程为 y = - ( x - 1) 3 A(-1,0),? AP ⊥ AQ∴ AP ? AQ = 0,即(
4. (2014 新课标 II)(本小题满分 12 分)
2 x2 ? y ? 1? a ? b ? 0? 的左右焦点, 设F , 分别是椭圆 M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直, F 1 2 2 2

a

b

直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率;

4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F 1 N ,求 a,b.

【答案】 (1)

(1)

1 2

(2) a = 7, b = 2 7

MF1 3 b 2 1 3 ?由题知, = ∴ ? = , 且a 2 = b 2 + c 2 .联立整理得: 2e 2 + 3e - 2 = 0, F1 F2 4 a 2c 4 1 1 解得e = .∴ C的离心率为 . 2 2
(2)

b2 由三角形中位线知识可 知,MF2 = 2 ? 2,即 = 4. a 设F1 N = m,由题可知MF1 = 4m.由两直角三角形相似, 可得 3 M , N两点横坐标分别为 c,- c.由焦半径公式可得: 2 3 c MF1 = a + ec, NF1 = a + e(- c),且MF1 : NF1 = 4 : 1, e = , 2 a 2 2 2 a = b + c .联立解得a = 7, b = 2 7 . 所以,a = 7, b = 2 7
5(2014 安徽)(本小题满分 13 分) 如图,已知两条抛物线 E1 : y 2 ? 2 p1 x ( p1 ? 0 )和 E 2 : y 2 ? 2 p2 x ( p 2 ? 0 ) , 过原点 O 的两条直线 l1 和 l 2 , l1 与 E1 , E 2 分别交于 A1 , A2 两点, l 2 与 E1 , E 2 分 别交于 B1 , B2 两点.

(I)证明: A1 B1 ∥ A2 B2 ;

l2 ) C 2 两点. (Ⅱ) 过 O 作直线 l(异于 l1 , 与 E1 ,E 2 分别交于 C1 , 记 ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2

的面积分别为 S1 与 S 2 ,求

S1 的值. S2

(Ⅰ)证:设直线 l1 , l 2 的方程分别为 y ? k1 x , y ? k 2 x ( k 1 , k 2 ≠0) ,则 由?

2p 2p ? y ? k1 x , 得 A1 ( 21 , 1 ) , 2 y ? 2 p x , k1 k1 1 ?

由?

2p 2p ? y ? k1 x , 得 A2 ( 22 , 2 ) , 2 k1 k1 ? y ? 2 p 2 x, 2 p1 2 p1 2p 2p , ) , B2 ( 22 , 2 ) . 2 k2 k2 k2 k2 2 p1 2 p1 2 p1 2 p1 1 1 1 1 ? 2 , ? ) ? 2 p1 ( 2 ? 2 , ? ) , 2 k1 k2 k1 k 2 k 2 k1 k 2 k1

同理可得 B1 (

所以 A1 B1 ? (

A2 B2 ? (

2 p2 2 p2 2 p2 2 p2 1 1 1 1 ? 2 , ? ) ? 2 p2 ( 2 ? 2 , ? ) . 2 k2 k1 k2 k1 k 2 k1 k 2 k1 p1 A2 B2 ,所以 A1 B1 ∥ A2 B2 p2

故 A1 B1 ?

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 A1 B1 ∥ A2 B2 ,同理可得 B1C1 ∥ B2 C 2 , C1 A1 ∥ C 2 A2 , 所以 ?A1 B1C1 ∽ ?A2 B2 C2 ,

? ? S1 ? A1 B1 ? 因此 ?? ? . S2 ? A B ? ? 2 2 ?
又由(Ⅰ)中的 A1 B1 ?

2

A1 B1 p p1 ? 1 , A2 B2 知 p2 p2 A2 B2

S1 p12 故 ? 2 . S 2 p2
6(2014 江西)(本小题满分 13 分)

x2 2 如图,已知双曲线 Cn 2 ? y ? 1(a ? 0) 的右焦点 F , 点 A, B 分别在 C 的两条渐近线上, a
AF ? x 轴, AB ? OB, BF ∥ OA ( O 为坐标原点).

(1)求双曲线 C 的方程; (2)过 C 上一点 P( x0, y0 )( y0 ? 0) 的直线 l : 线x?

x0 x ? y0 y ? 1 与直线 AF 相交于点 M ,与直 a2

3 MF 相交于点 N ,证明点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值 2 NF

【答案】 (1)

x2 ? y2 ? 1 3

(2)

2 3 3

【解析】(1)A( c,

c t ),B( t , ? ) a a c?t t c ? 1 1 ? a ? ? ?1 且 ? a ,即 t ? , a ? 3 ??????????? 4 分 2 c?t a a c?t

x2 ? y 2 ? 1 ?????????????????????????? 6分 即 3

(2)A(2,

xx 2 3 ), l : 0 ? y0 y ? 1 ,F(2,0) , 3 3

M(2,

3 x ?2 2 x0 ? 3 ),N( , 0 )??????????????????? 9 分 2 3 y0 2 y0

?

MF ? NF

1 ?x0 ? 2? ? 2 4 4 y0

| 2 x0 ? 3 | 3 y0

2

?

2 | 2 x0 ? 3 |
2 3 y0 ? ( x0 ? 2)2

? 3

2 | 2 x0 ? 3 |
2 x0 ? 1 ? ( x0 ? 2)2 3

?

2 | 2 x0 ? 3 | 2 3 ? ? 3 | 2 x0 ? 3 | 3 3

??????????????????????????? 13 分 7. (2014 新课标 I) (本小题满分 12 分) 已知点 A (0,-2) ,椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的离心率为

3 2 3 , F 是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为 , O 为坐标原点. 2 3

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 【解析】 :(Ⅰ) 设 F ? c,0?

,由条件知

2 2 3 ,得 c ? 3 ? c 3



c 3 ? , a 2

所以 a=2 , b ? a ? c ? 1 ,故 E 的方程
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1. 4

???.6 分

(Ⅱ)依题意当 l ? x 轴不合题意,故设直线 l: y ? kx ? 2 ,设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? 将 y ? kx ? 2 代入

x2 ? y 2 ? 1,得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 , 4
2

当 ? ? 16(4k 2 ? 3) ? 0 ,即 k ?

3 8k ? 2 4k 2 ? 3 时, x1,2 ? 4 1 ? 4k 2

4 k 2 ? 1 4k 2 ? 3 从而 PQ ? k ? 1 x1 ? x2 ? 1 ? 4k 2
2

又点 O 到直线 PQ 的距离 d ?

2 k 2 ?1

,所以 ? OPQ 的面积

1 4 4k 2 ? 3 , S?OPQ ? d PQ ? 2 1 ? 4k 2
设 4k 2 ? 3 ? t ,则 t ? 0 , S?OPQ ?

4t 4 ? ? 1, t ?4 t? 4 t
2

当且仅当 t ? 2 , k ? ?

7 等号成立,且满足 ? ? 0 ,所以当 ? OPQ 的面积最大时, l 的方 2
??????????12 分

程为: y ?

7 7 x ? 2. x?2 或 y ? ? 2 2

8(2014 天津)(本小题满分 13 分) 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点为 F1 , F2 ,右顶点为 A ,上顶点为 B .已知 a 2 b2

AB =

3 F1F2 . 2

(Ⅰ )求椭圆的离心率; (Ⅱ )设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F 1 ,经过原点的直线

l 与该圆相切. 求直线的斜率.
2 2

【答案】

(1)

(2)

4 ± 15

(18)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识. 考 查用代数方法研究圆锥曲线的性质. 考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力. 满分 13 分. (Ⅰ )解:设椭圆的右焦点 F2 的坐标为 (c,0) .由 AB =

3 F1F2 ,可得 a 2 + b2 = 3c 2 , 2

c2 1 又 b = a - c ,则 2 = . a 2
2 2 2

所以,椭圆的离心率 e =

2 . 2

a2 + b2 = 3c ,所以 2a2 - c2 = 3c2 ,解得 a =

2c , e =

2 . 2

(Ⅱ )解:由(Ⅰ )知 a = 2c , b = c .故椭圆方程为

2

2

2

2

x2 y2 + = 1. 2c 2 c 2

设 P(x0 , y0 ) .由 F 1 (- c,0) , B (0, c),有 F 1 P = ( x0 + c, y0 ) , F 1B = (c, c) . 由已知,有 F 1P ?F 1B

0 ,即 (x0 + c)c + y0c = 0 .又 c ? 0 ,故有


x0 + y0 + c = 0 .
又因为点 P 在椭圆上,故

x0 2 y0 2 + = 1. 2c 2 c2



由①和②可得 3x02 + 4cx0 = 0 .而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0 = 即点 P 的坐标为 ? ??

4c c ,代入①得 y0 = , 3 3

骣 4c c ÷ , ÷. 桫 3 3÷

设圆的圆心为 T ( x1, y1 ) ,则 x1 =

-

4 c c+ 0 +c 2 2 3 3 , = - c y1 = = c ,进而圆的半径 2 3 2 3

r=

( x1 - 0) + ( y1 - c) =

2

2

5 c. 3

设直线 l 的斜率为 k ,依题意,直线 l 的方程为 y = kx .

由 l 与圆相切,可得

kx1 - y1 k2 + 1

= r ,即

骣 2c ÷ 2c k? ÷? ? 桫 3÷ 3 k2 + 1
15 . 15 .

=

5 c, 3

整理得 k - 8k + 1 = 0 ,解得 k = 4 所以,直线 l 的斜率为 4 +

2

15 或 4 -

x2 y 2 9. (2014 湖南)如图 7, O 为坐标原点,椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 a b

F1 , F2 ,离心率为 e1 ;双曲线 C2 :
3 ,且 F2 F4 ? 3 ? 1 . 2

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F3 , F4 ,离心率为 e2 ,已知 a 2 b2

e1e2 ?

(1)求 C1 , C2 的方程;

AB , M 为 AB 的中点,当直线 OM 与 C2 交于 P, Q 两 (2)过 F 1 点作 C1 的不垂直于 y 轴的弦
点时,求四边形 APBQ 面积的最小值.

10、(2014 四川) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的焦距为 4 ,其短轴的两个端点与长轴的一个 a 2 b2

端点构成正三角形。 (Ⅰ )求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ ) 设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x ? ?3 上任意一点, 过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 与 点 P ,Q 。 (ⅰ)证明: OT 平分线段 PQ (其中 O 为坐标原点) ; (ⅱ)当

| TF | 最小时,求点 T 的坐标。 | PQ |

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

x2 y2 + =1 2 (Ⅰ) 6 (Ⅱ ) T (-3,1),或T (-3,-1)

? 2c = 4, a = 3b, a 2 = b 2 + c 2 ∴ 解得c 2 = 4, a 2 = 6, b 2 = 2 x2 y 2 所以,椭圆方程为 + = 1 6 2

(Ⅱ -1)
设T (-3, m), F (-2,0).当m = 0时,OT平分线段PQ.下面证明m ≠ 0时. ? kTF = -m ∴ 设过F且垂直FT的直线方程为y = 与椭圆方程 1 ( x + 2), P ( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) m

x2 y2 + = 1联立得完成时间 20140614 qq373780592 6 2 x2 x2 + 4x + 4 - 12 + = 1,即(m 2 + 3) x 2 + 12x + 12 - 6m 2 = 0.∴ x1 + x2 = 2 2 6 2m m +3 m 1 m 1 联立OT直线方程y = - x与PQ方程y = ( x + 2),解得 - x = ( x + 2) 3 m 3 m 6 x + x ?0 = m 2 x + 3( x + 2) ?即交点横坐标x = 2 = 1 2 = PQ线段中点横坐标 m +3 2 所以, OT平分线段PQ.

(Ⅱ -2)

c c 2 6 - 12 x1 ) + (a + x2 ) = 2 6 + ( x1 + x2 ) = 2 6 + ( ) a a 3 m2 + 3 6 -2 m2 + 1 = 2 6 (1+ 2 ) = 2 6 ? 2 m +3 m +3 m2 + 1 2 6 ? 2 PQ m 2 + 3 = 2 6 ? 1+ m ,令t = 1+ m 2 > 1, 则 ? TF = 1+ m 2 ∴ = TF m2 + 3 1+ m 2 由上得,PQ = PF + QF = (a + PQ 2 6t 2 6 2 6 PQ TF = = ≤ = 3. ∴当t = 2时, 取最大值,即 为最小值,这时 m = ±1 2 2 2 TF t 2 + 2 TF PQ t+ t TF 所以, 当 取最小值时,点 T (-3,1), 或T (-3,-1) PQ

11(2014 山东)(本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , A 为 C 上异于原点的任意一点,过点 A 的直 线 l 交 C 于另一点 B ,交 x 轴的正半轴于点 D ,且有 | FA |?| FD | .当点 A 的横坐标为 3 时,

?ADF 为正三角形.
(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l1 // l ,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E , (ⅰ)证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; (ⅱ) ?ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.

12. (2014 湖北)(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F ?1,0 ? 的距离比它到 y 轴的距离多 1. 记点 M 的 轨迹为 C.

(Ⅰ)求轨迹为 C 的方程; (Ⅱ)设斜率为 k 的直线 l 过定点 p ? ?2,1? .求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个 公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围. 21.(Ⅰ)设点 M ( x, y) ,依题意得 | MF | ? | x | ?1 ,即 ( x ? 1)2 ? y2 ? | x | ?1, 化简整理得 y 2 ? 2(| x | ? x) .
?4 x, x ? 0, 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y 2 ? ? ?0, x ? 0.

(Ⅱ)在点 M 的轨迹 C 中,记 C1 : y 2 ? 4 x , C2 : y ? 0 ( x ? 0) . 依题意,可设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2).
? y ? 1 ? k ( x ? 2), 由方程组 ? 2 ? y ? 4 x,

可得 ky 2 ? 4 y ? 4(2k ? 1) ? 0.



(1)当 k ? 0 时,此时 y ? 1. 把 y ? 1 代入轨迹 C 的方程,得 x ?

1 . 4

1 故此时直线 l : y ? 1 与轨迹 C 恰好有一个公共点 ( , 1) . 4
(2)当 k ? 0 时,方程①的判别式为 ? ? ?16(2k 2 ? k ? 1) . 设直线 l 与 x 轴的交点为 ( x0 , 0) ,则 由 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,令 y ? 0 ,得 x0 ? ? ②

2k ? 1 . k



? ? ? 0, 1 (ⅰ)若 ? 由②③解得 k ? ?1 ,或 k ? . 2 ? x0 ? 0,

即当 k ? (??, ? 1)

1 ( , ? ?) 时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C2 有一个公共点, 2

故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点.
? ? ? 0, ? ? ? 0, 1 1 (ⅱ)若 ? 或? 由②③解得 k ?{?1, } ,或 ? ? k ? 0 . x ? 0, x ? 0, 2 2 ? 0 ? 0

1 即当 k ?{?1, } 时,直线 l 与 C1 只有一个公共点,与 C2 有一个公共点. 2 1 当 k ? [? , 0) 时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 没有公共点. 2 1 1 故当 k ?[? , 0) {?1, } 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点. 2 2
? ? ? 0, 1 1 (ⅲ)若 ? 由②③解得 ?1 ? k ? ? ,或 0 ? k ? . x ? 0, 2 2 ? 0

1 即当 k ? (?1, ? ) 2

(0,

1 ) 时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 有一个公共点, 2

故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. 综合(1) (2)可知,当 k ? (??, ? 1)

1 ( , ? ?) {0} 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有一 2

1 1 个 公 共 点 ; 当 k ?[? , 0) {?1, } 时 , 直 线 l 与 轨 迹 C 恰 好 有 两 个 公 共 点 ; 当 2 2 1 k ? (?1, ? ) 2 (0, 1 ) 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. 2

13. (2014 辽宁) (本小题满分 12 分) 圆 x2 ? y 2 ? 4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,

x2 y 2 切点为 P(如图) ,双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1 过点 P 且离心率为 3 . a b
(1)求 C1 的方程; (2)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点,直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A,B 两点, 若以线段 AB 为直径的圆心过点 P,求 l 的方程

3 6 -2 2- 6 y2 x= y + 3 , 或x = y+ 3 x - =1 2 2 2 【答案】 (1) (2)
2

【解析】 (1)

设圆半径r , P点上下两段线段长分别 为m, n, r 2 = 4,由射影定理得 r 2 = m n, 三角形面积 1 1 4 1 1 4 m2 + 4 n2 + 4 = r + 4(m 2 + n 2 ) + 16 ≥ r 4 + 8 m 2 n 2 + 16 = r + 8r 2 + 16, 2 2 2 2 仅当m = n = 2时,s取最大值,这时 P( 2 , 2 ). s= c x2 y2 ? = 3 , c 2 = b 2 + a 2 , 把点P( 2 , 2 )代入双曲线方程 2 - 2 = 1中 ∴c 2 = 3,b 2 = 2,a 2 = 1 a a b 2 y 所以,双曲线方程为 x2 - = 1 2
(2) .

? 椭圆过P ( 2 , 2 ),焦点为(- 3 ,0), ( 3 ,0) ∴ 设椭圆方程 把点P ( 2 , 2 )代入椭圆方程

x2 y2 + 2 = 1,a 2 = b 2 + c 2,c 2 = 3 2 a b

x2 y2 + = 1中,解得b 2 = 3,a 2 = 6. a2 b2

x2 y2 所以,椭圆方程为 + =1 6 3 由题知,直线l过右焦点为( 3 ,0),且PA⊥ PB∴ PA? PB = 0. 设直线方程x = m y+ 3 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ). ? 0 = PA? PB = ( x1 - 2 , y1 - 2 )(x2 - 2 , y2 - 2 ) = ( x1 - 2 )(x2 - 2 ) + ( y1 - 2 )( y2 - 2 ) = (m y1 + 3 - 2 )(m y2 + 3 - 2 ) + ( y1 - 2 )( y2 - 2 ) = m 2 y1 y2 + ( 3 - 2 )m( y1 + y2 ) + ( 3 - 2 ) 2 + y1 y2 - 2 ( y1 + y2 ) + 2 = (1+ m 2 ) y1 y2 + [( 3 - 2 )m - 2 ]( y1 + y2 ) + 7 - 2 6 = 0 x2 y2 + = 1联立得: 6 3

与椭圆方程

- 2 3m -3 , y1 y2 = 2 2+ m 2+ m2 ? (1+ m 2 ) y1 y2 + [( 3 - 2 )m - 2 ]( y1 + y2 ) + 7 - 2 6 = 0 (2 + m 2 ) y 2 + 2 3m y - 3 = 0,由韦达定理得y1 + y2 = ∴ -3(1+ m 2 ) - 2 3m[( 3 - 2 )m - 2 ]+ (7 - 2 6 )(2 + m 2 ) = 0 ?-3 - 3m 2 + 2 3 ( 2 - 3 )m2 + 2 6m + (7 - 2 6 )2 + (7 - 2 6 )m 2 = 0 ?(-3+ 2 6 - 6 + 7 - 2 6 )m2 + 2 6m - 3 + 14 - 4 6 = 0 ?-2m2 + 2 6m + 11- 4 6 = 0 ?2m2 - 2 6m + 4 6 - 11= 0 2 6 ± 24 - 8(4 6 - 11) 6 ± 6 - 2(4 6 - 11) 6 ±2 7 - 2 6 = = = 4 2 2 3 6 -2 2- 6 ∴ m1 = , m2 = 2 2 3 6 -2 2- 6 所以,所求直线方程为 x= y + 3 , 或x = y+ 3 2 2 ∴m = 6 ± 2( 6 - 1) 2

14(2014 北京)(本小题 14 分) 已知椭圆 C : x
2

? 2 y2 ? 4 ,
? 2 上,且 OA ? OB ,求直线 AB

(1)求椭圆 C 的离心率. (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y 与圆 x
2

? y 2 ? 2 的位置关系,并证明你的结论.

x2 y 2 ? ? 1。 解: (I)由题意,椭圆 C 的标准方程为 4 2
所以 a2 ? 4, b2 ? 2 ,从而 c ? a ? b ? 2 。因此 a ? 2, c ? 2 。
2 2 2

故椭圆 C 的离心率 e ?

c 2 ? 。 a 2
2 2

(Ⅱ) 直线 AB 与圆 x ? y ? 2 相切。证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为 ( x0 , y0 ) , (t , 2) ,其中 x0 ? 0 。 因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 tx0 ? 2 y0 ? 0 ,解得 t ? ?

2 y0 。 x0

当 x0 ? t 时, y0 ?

t2 ,代入椭圆 C 的方程,得 t ? ? 2 , 2

故直线 AB 的方程为 x ? ? 2 。圆心 O 到直线 AB 的距离 d ? 2 。 此时直线 AB 与圆 x ? y ? 2 相切。
2 2

当 x0 ? t 时,直线 AB 的方程为 y ? 2 ?

y0 ? 2 (x ? t) , x0 ? t

即 ( y0 ? 2) x ? ( x0 ? t ) y ? 2x0 ? ty0 ? 0 ,

圆心 0 到直线 AB 的距离

d?

2 x0 ? ty0 ( y0 ? 2) 2 ? ( x0 ? t ) 2

又 x02 ? 2 y02 ? 4 , t ? ?

2 y0 故 x0
4 ? x0 x0 x0 4 ? 8 x0 2 ? 16 2 x0 2

2 x0 ? d?

2 y0 2 x0

4y 2 x0 2 ? y0 2 ? 0 ?4 x0 2

?

? 2

此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切。 15. (2014 福建) (本小题满分 13 分) 已知双曲线 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线分别为 l1 : y ? 2 x, l2 : y ? ?2 x . a 2 b2

(1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图, O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1 , l2 于 A, B 两点( A, B 分别在第一, 四象限) ,且 ?OAB 的面积恒为 8,试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公 共点的双曲线 E ?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由。

19.解:方法一: (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y=2x,y=-2x, b 所以 =2, a 所以 c2-a2 =2, a

故 c= 5a, 从而双曲线 E 的离心率 c e= = 5. a

x2 y2 (2)由(1)知,双曲线 E 的方程为 2- 2=1. a 4a 设直线 l 与 x 轴相交于点 C. 当 l⊥x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a.又因为 △OAB 的面积为 8,

1 所以 |OC|·|AB|=8, 2 1 因此 a·4a=8,解得 a=2, 2 x2 y2 此时双曲线 E 的方程为 - =1. 4 16 x2 y2 若存在满足条件的双曲线 E,则 E 的方程只能为 - =1. 4 16 x2 y2 以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E: - =1 也满足条件. 4 16 m - ,0?.记 A(x1,y1), 设直线 l 的方程为 y=kx+m,依题意,得 k>2 或 k<-2,则 C? ? k ? B(x2,y2).
? ?y=kx+m, 2m 2m 由? 得 y1= ,同理得 y2= . 2 - k 2 +k ?y=2x ?

1 由 S△OAB= |OC|·|y1-y2|,得 2 2m ? 1? m? ? 2m - - · =8, 2? k ? ?2-k 2+k? 即 m2=4|4-k |=4(k2-4). y=kx+m, ? ?2 2 由?x y 得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0. - = 1 ? ? 4 16
2

因为 4-k2<0, 所以 Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16). 又因为 m2=4(k2-4), 所以 Δ=0,即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点. x2 y2 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 - =1. 4 16 方法二:(1)同方法一.

x2 y2 (2)由(1)知,双曲线 E 的方程为 2- 2=1. a 4a 设直线 l 的方程为 x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2). 1 1 依题意得- <m< . 2 2
? ?x=my+t, -2t 2t 由? 得 y1= , 同理得 y2= . 1-2m 1+2m ?y=2x ?

设直线 l 与 x 轴相交于点 C,则 C(t,0). 2t 2t 1 1 由 S△OAB= |OC|·|y1-y2|=8,得 |t|·?1-2m+1+2m?=8. 2 2 ? ? 所以 t2=4|1-4m2|=4(1-4m2). x=my+t, ? ? 2 由?x 得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0. y2 - = 1 2 2 ? ?a 4a 因为 4m2-1<0,直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ=64m2t2-16(4m2- 1)(t2-a2)=0,即 4m2a2+t2-a2=0, 即 4m2a2+4(1-4m2)-a2=0,即(1-4m2)(a2-4)=0, 所以 a2=4, x2 y2 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 - =1. 4 16 方法三:(1)同方法一. (2)当直线 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).依题 意得 k>2 或 k<-2.
?y=kx+m, ? 由? 2 2 得(4-k2)x2-2kmx-m2=0, ?4x -y =0 ?

因为 4-k2<0,Δ>0,所以 x1x2= 又因为△OAB 的面积为 8,

-m 2 , 4-k2

1 4 所以 |OA|·|OB|· sin∠AOB=8,又易知 sin∠AOB= , 2 5 2 2 所以 x2 +y2· x2 2+y2=8,化简得 x1x2=4. 5 1 1 -m2 所以 =4,即 m2=4(k2-4). 4-k2 x2 y2 由(1)得双曲线 E 的方程为 2- 2=1, a 4a

?y=kx+m, ? 由?x2 y2 得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0. - = 1 2 2 ?a 4a ?
因为 4-k2<0,直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2 +4a2)=0, 即(k2-4)(a2-4)=0,所以 a2=4,

x2 y2 所以双曲线 E 的方程为 - =1. 4 16 x2 y2 当 l⊥x 轴时,由△OAB 的面积等于 8 可得 l:x=2,又易知 l:x=2 与双曲线 E: - 4 16 =1 有且只有一个公共点. x2 y2 综上所述,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 - =1. 4 16 16. (2014 重庆)

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 1 , F2 ,点 D 在椭圆上, 如题(21)图,设椭圆 a 的左右焦点分别为 F
| F1F2 | 2 ?2 2 ? DF F DF1 ? F1F2 , | DF1 | 1 2 的面积为 2 . ,
(1)求该椭圆的标准方程; (2)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点 处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径..

4 x2 2 + y2 = 1 【答案】 (I) 2 (II) 3
【解析】 (I)

?S ΔDF1F2 = DF1 ? OF1 =

b2 2 F1 F2 2c ? a ?c= , = 2 = 2 2c 2 = 2 2 , 且a 2 = c 2 + b 2 . a 2 DF1 b x2 + y2 = 1 2

∴ c 2 = 1, a 2 = 2, b 2 = 1, 所以, 椭圆方程为
(II)

假设存在符合条件的圆 ,根据题意和对称性可 知, 左右两条切线的斜率分 别为1和 - 1 不符合题意;左右两条 切线的斜率分别为- 1和1符合题意,如图所示 .F1 (-1,0), F2 (1,0). 设半径为r , 则圆心坐标(0, 2r - 1), 第一象限切点 P( r r , - 1), 2 2 x2 4 5 代入椭圆方程中 + y 2 = 1,解得r = 2 ,圆心坐标(0, ),P点在第一象限 . 4 3 3 4 所以,存在符合条件的 圆, 半径为 2 3

17(2014浙江)(本题满分15分)如图,设椭圆 C : 只有一个公共点 P ,且点 P 在第一象限.

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0?, 动直线 l 与椭圆 C a 2 b2

(1)已知直线 l 的斜率为 k ,用 a, b, k 表示点 P 的坐标; (2)若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a ? b .

? y ? kx ? m ? 21. (I)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ? k ? 0? ,由 ? x 2 y 2 ,消去 y 得, ? 2 ? 2 ?1 ?a b

?b

2

? a 2 k 2 ? x 2 ? 2a 2 kmx ? a 2 m 2 ? a 2b 2 ? 0 ,由于直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P ,故

? ? 0 ,即 b2 ? m2 ? a 2 k 2 ? 0 ,解得点 P 的坐标为 ? ?
第一象限,故点 P 的坐标为 ? ?

?

a 2 km b2m ? ,由点 P 在 , 2 2 2 2 2 2 ? b ? a k b ? a k ? ?

? ?

a2k b2 ? a 2 k 2

,

? ?; b2 ? a 2 k 2 ? b2

(II)由于直线 l1 过原点 O ,且与 l 垂直,故直线 l1 的方程为 x ? ky ? 0 ,所以点 P 到直线 l1

?
的距离 d ?

a2k b2 ? a 2 k 2

?

b2 b2 ? a 2 k 2
,整理得 d ?

a 2 ? b2 b2 b ?a ?a k ? 2 k
2 2 2 2

1? k 2
a 2 ? b2

,因为

a2k 2 ?

b2 ? 2ab , 所以 k2

b2 ? a 2 ? a 2 k 2 ?

b2 k2

?

a 2 ? b2 b2 ? a 2 ? 2ab

2 当且仅当 k ? ? a ?b,

b a

时等号成立,所以点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a ? b . 18. (2014 大纲) (本小题满分 12 分)
2 已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,直线 y ? 4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交

点为 Q,且 | QF |? (I)求 C 的方程;

5 | PQ | . 4

(II)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l ? 与 C 相较于 M,N 两点,

且 A,M,B,N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 解: (I)设 Q (x0 , 4) ,代入 y 2 = 2 px ,得 x0 = 设得
p 8 5 + = 2 p 4 8 8 p p 8 , \ PQ = , QF = + x0 = + . .由题 p p 2 2 p

8 ,解得 p = - 2 (舍去)或 p = 2 ,∴C 的方程为 y 2 = 4 x ; (II)由题设知 l p

与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x = my + 1(m
A( x1 , y1 ) , B (x2 , y2 ) , 则 y1 + y2 = 4m ,
y1 y2 = - 4 .故 AB 的中点为 D (2m2 + 1 , 2m) , AB =

0) ,代入 y 2 = 4 x 得 y 2 - 4my - 4 = 0 .设

m2 + 1 y1 - y2 = 4 (m2 + 1) .又 l ? 的斜率

为 - m , \ l? 的 方 程 为 x = y2 +

1 y + 2m2 + 3 . 将 上 式 代 入 y 2 = 4 x , 并 整 理 得 m
4

4 设M( x 3y, 3 Bx , y y - 4(2m2 + 3) = 0 . ) (, 4 m
桫 m m m

故 MN , ) 则 y3 + y4 = - 4 , y3 y4 = - 4(2m2 + 3) .
m
2 2

4 (m + 1) 2m + 1 2 2 1 ? 的中点为 E 骣 . + 2m2 + 3 , - ÷ ÷ ? 2 ÷, MN = 1 + 2 y3 - y4 = ? 2 m

由于 MN 垂直平分线 AB ,故 A , M , B , N 四点在同一圆上等价于 AE = BE = 1 MN ,从而
2
2 2 4(m2 + 1) (2m2 + 1) 骣 骣 2 2 即 4(m + 1) + 珑 , 化 简 得 2m + 鼢 + + 2 = 鼢 珑 珑 桫 m鼢 桫 m2 m4 2 2 2

1 1 2 2 2 AB + DE = MN , 4 4

m 2 - 1 = 0 ,解得 m = 1或 m = - 1 .所求直线 l 的方程为 x - y - 1 = 0 或 x + y - 1 = 0 .

19(2014 上海)(本题满分 16 分)本题共 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分, 第 3 小题满分 8 分. 在平面直角坐标系 xo y中,对于直线 l : ax ? by ? c ? 0 和点 P i ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ), 记

?? (ax1 ? by1 ? c)(ax2 ? by2 ? c). 若? <0,则称点 P1 , P2 被直线 l 分隔。若曲线 C 与直线
l 没有公共点,且曲线 C 上存在点 P 1,P 2 被直线 l 分隔,则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线.

1,2),B(? 1, 0) ⑴求证:点 A( 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分隔;
⑵ 若直线 y ? kx 是曲线 x ? 4 y ? 1 的分隔线,求实数 k 的取值范围;
2 2

⑶ 动点 M 到点 Q(0,2) 的距离与到 y 轴的距离之积为 1,设点 M 的轨迹为 E,求证:通过原 点的直线中,有且仅有一条直线是 E 的分割线.

【答案】 (1) 省略 (2) 【解析】 (1)

1 1 (-∞ ,- ]∪[ ,+∞) 2 2

x= 0 (3) 只有直线

证明点A(1,2), B(-1,0)被直线x + y - 1 = 0平分,过程如下 . 把点A, B分别代入直线方程左式 中,得η = (1+ 2 - 1)(-1+ 0 - 1) = -4 < 0 所以,点A(1,2), B(-1,0)被直线x + y - 1 = 0平分
(2)

若直线y = kx是曲线x 2 - 4y2 = 1的分割线,则 ? P( x1 , y1 ),? P( x2 , y2 )在曲线上,且 ( y1 - kx1 )( y2 - kx2 ) < 0

1 1 1 ?曲线x 2 - 4y2 = 1是双曲线,渐近线方程 为y = ± x ∴当k ∈ (-∞ ,- ]∪[ ,+ ∞ ]时,直线y = kx与双曲线 2 2 2 且直线y = kx上下方存在点均在双曲 线上。 1 1 所以,当k ∈ (-∞ ,- ]∪[ ,+ ∞) 时,直线y = kx是曲线x 2 - 4y2 = 1的分割线 2 2
(3)

设动点M ( x, y ), Q (0, 2), 据题有MQ? | x |= 1,即MQ 2 ? | x |2 = 12 , 即x 2 + ( y - 2) 2 = 变形为:x 2 -

1 x2

1 + ( y - 2) 2 = 0,x ≠ 0. x2 1 ∴曲线x 2 + ( y - 2) 2 = 2 的图像关于x = 0, y = 2对称,也关于(0,2)中心对称,且y ∈ R x 当x > 0, y ≥2时,曲线的图像单调递 减.利用数形结合法 , 画出图像, 可知, 只有直线x = 0 与图像不相交,且图像 在直线左右两侧 . 所以,只有直线 x = 0是E的分割线


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