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宁夏银川市普通高中2016届高三数学模拟试卷(理科)(4月份)


2016 年宁夏银川市普通高中高考数学模拟试卷(理科) (4 月份)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设全集 U={x∈N*|x≤5},A={1,4},B={4,5},则?U(A∩B)=( ) A.{1,2,3,5}B.{1,2,4,5}C.{1,3,4,5}D.{2,3,4,5} 2.设 z

= (i 是虚数单位) ,则 z 的模是( )

A.iB.1C. D. 3.设 p:1<x<2,q:lnx<1,则 p 是 q 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 4.已知 m,n 是两条不同直线,α,β 是两个不同平面,则下列命题正确的是( A.若 α,β 垂直于同一平面,则 α 与 β 平行 B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 α,β 不平行,则在 α 内不存在与 β 平行的直线 D.若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 5. B, C 所对的边分别为 a, b, c, 在△ ABC 中, 角 A, 若 A.﹣ B.
2



=

, 则 cosB= (



C.﹣
2

D. )
2 2 2 2 2 2

6.已知圆 C 经过 A(5,1) ,B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则圆 C 的方程为(

A. B. D. (x﹣2) +y = (x+2) +y =10C. (x+2) +y = (x﹣2) +y =10 7.如图是一个四面体的三视图,这个三视图均是腰长为 2 的等腰直角三角形,正视图和俯 视图中的虚线是三角形的中线,则该四面体的体积为( )

A.

B.

C.

D.2 )

8.程序框图如图所示,其输出 S 的结果是(

A.6B.24C.120D.720 9.已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 的对称轴,则 φ=( A. B. C. ) D. 的图象如图所示,则下列结论成立的是( ) 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻

10.函数 f(x)=

A.a>0,b>0,c<0B.a<0,b>0,c>0C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c<0 11.已知抛物线 C:y2=16x,焦点为 F,直线 l:x=﹣1,点 A∈l,线段 AF 与抛物线 C 的交 点为 B,若|FA|=5|FB|,则|FA|=( ) A. B.35C. D.40 12.已知函数 f(x)= 的取值范围是( A. B. ) ,则使得 f(x)>f(2x﹣1)成立的 x

C.

D.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.设点 P 是△ ABC 所在平面内一点,且 14.已知 n= dx,那么

,则

= .



的展开式中的常数项为

15.设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最大值为



16.如图,矩形 ABCD 中 AD 边的长为 1,AB 边的长为 2,矩形 ABCD 位于第一象限,且 D 分别位于 x 轴、 y 轴的正半轴上 顶点 A, (含原点) 滑动, 则 的最大值是 .

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知数列{an}中,a1=1,其前 n 项的和为 Sn,且满足 an= (n≥2)

(Ⅰ)证明:数列 (Ⅱ)证明:

是等差数列; .

18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面 ABCD, PD=AD=1,点 E,F 分别为 AB 和 PD 中点. (Ⅰ)求证:直线 AF∥平面 PEC; (Ⅱ)求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值.

19.已知 A 类产品共两件 A1,A2,B 类产品共三件 B1,B2,B3,混放在一起,现需要通过 检测将其区分开来,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出 2 件 A 类产品或 者检测出 3 件 B 类产品时,检测结束.

(Ⅰ)求第一次检测出 B 类产品,第二次检测出 A 类产品的概率; (Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用 50 元, 设 X 表示直到检测出 2 件 A 类产品或者检测出 3 件 B 类产品时所需要的检测费用(单位:元) ,求 X 的分布列和均值. 20.已知 M(﹣2 ,0) ,N(2 ,0)为椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上异于 M,N 的 动点,且△ PMN 的面积最大值为 4 . (Ⅰ)求椭圆的方程及离心率; BD 过原点, kAC?kBD=﹣ (Ⅱ) 四边形 ABCD 的顶点都在椭圆上, 且对角线 AC, 的取值范围. , 求

21.设函数 f(x)= x2﹣mlnx,g(x)=x2﹣(m+1)x,m>0. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 m≥1 时,讨论函数 f(x)与 g(x)图象的交点个数. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请 在答题卡涂上题号.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,从圆 O 外一点 P 引圆的切线 PC 及割线 PAB,C 为切点,OD⊥BC,垂足为 D. (1)求证:AC?CP=2AP?BD; (2)若 AP,AB,BC 依次成公差为 1 的等差数列,且 ,求 AC 的长.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在平面直角坐标系 xoy 中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取与直角坐标 系相同的长度单位建立极坐标系.曲线 C1 的参数方程为 C2 的极坐标方程为 θ= 且 C1 与 C2 交点的横坐标为 . ,曲线

(Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程; (Ⅱ)设 A,B 为曲线 C1 与 y 轴的两个交点,M 为曲线 C1 上不同于 A,B 的任意一点,若 直线 AM 与 MB 分别与 x 轴交于 P,Q 两点,求证:|OP|?|OQ|为定值. [选修 4-5:不等式选讲]

24.设函数 f(x)=|x﹣a|. (1)当 a=2 时,解不等式 f(x)≥7﹣|x﹣1|; (2)若 f(x)≤1 的解集为[0,2], + =a(m>0,n>0) ,求证:m+4n≥2 +3.

2016 年宁夏银川市普通高中高考数学模拟试卷(理科) (4 月份)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设全集 U={x∈N*|x≤5},A={1,4},B={4,5},则?U(A∩B)=( ) A.{1,2,3,5}B.{1,2,4,5}C.{1,3,4,5}D.{2,3,4,5} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】根据集合的定义与性质,进行计算即可. 【解答】解:∵全集 U={x∈N*|x≤5}={1,2,3,4,5}, A={1,4},B={4,5}, ∴A∩B={4}; ∴?U(A∩B)={1,2,3,5}. 故选:A.

2.设 z=

(i 是虚数单位) ,则 z 的模是( D.



A.iB.1C.

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,然后代入复数模的公式计算. 【解答】解:∵z= ∴ 故选:C. 3.设 p:1<x<2,q:lnx<1,则 p 是 q 成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】q:lnx<1,0<x<e,即可判断出结论. 【解答】解:对于:q:lnx<1,0<x<e, 则 p 是 q 成立的充分不必要条件. 故选:A. 4.已知 m,n 是两条不同直线,α,β 是两个不同平面,则下列命题正确的是( A.若 α,β 垂直于同一平面,则 α 与 β 平行 B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 α,β 不平行,则在 α 内不存在与 β 平行的直线 D.若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 ) ) = . ,

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系;平面与平 面之间的位置关系. 【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答. 【解答】解:对于 A,若 α,β 垂直于同一平面,则 α 与 β 不一定平行,例如墙角的三个平 面;故 A 错误; 对于 B,若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行.相交或者异面;故 B 错误; 对于 C,若 α,β 不平行,则在 α 内存在无数条与 β 平行的直线;故 C 错误; 对于 D,若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面;假设两条直线同时垂直同一个 平面,则这两条在平行;故 D 正确; 故选 D.

5. B, C 所对的边分别为 a, b, c, 在△ ABC 中, 角 A, 若 A.﹣ B. C.﹣ D.

=

, 则 cosB= (



【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】由已知及正弦定理可得 求 B= ,即可得解 cosB= . = , , cosB=sinB, = ,解得 tanB= ,结合范围 0<B<π,可

【解答】解:∵ 又∵由正弦定理可得: ∴ ∴tanB= ∴B= =

,解得:

,0<B<π, ,cosB= .

故选:B. 6.已知圆 C 经过 A(5,1) ,B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则圆 C 的方程为( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A. B. D. (x﹣2) +y = (x+2) +y =10C. (x+2) +y = (x﹣2) +y =10 【考点】圆的标准方程. 【分析】由已知求出 AB 的垂直平分线方程,得到圆心坐标,由两点间的距离公式求出圆的 半径,代入圆的标准方程得答案. 【解答】解:由 A(5,1) ,B(1,3) ,得 AB 的中点坐标为(3,2) , 且 ,

则 AB 的垂直平分线的斜率为 2, ∴AB 的垂直平分线方程为 y﹣2=2(x﹣3) ,即 2x﹣y﹣4=0. 取 y=0,得 x=2, ∴所求圆的圆心坐标为(2,0) , 半径 r= .

则所求圆的方程为(x﹣2)2+y2=10. 故选:D. 7.如图是一个四面体的三视图,这个三视图均是腰长为 2 的等腰直角三角形,正视图和俯 视图中的虚线是三角形的中线,则该四面体的体积为( )

A.

B.

C.

D.2

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由四面体的三视图得该四面体为棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中的三棱锥 C1﹣BDE,其中 E 是 CD 中点,由此能求出该四面体的体积. 【解答】解:由四面体的三视图得该四面体为棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中的三 棱锥 C1﹣BDE, 其中 E 是 CD 中点, △ BDE 面积 ∴该四面体的体积: V= = . ,三棱锥 C1﹣BDE 的高 h=CC1=2,

故选:A.

8.程序框图如图所示,其输出 S 的结果是(



A.6B.24C.120D.720 【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 i,S 的值,当 i=5 时满足条件 i>4,退 出循环,输出 S 的值为 120. 【解答】解:模拟执行程序,可得 S=1,i=1 执行循环体,i=2,S=2 不满足条件 i>4,执行循环体,i=3,S=6 不满足条件 i>4,执行循环体,i=4,S=24 不满足条件 i>4,执行循环体,i=5,S=120 满足条件 i>4,退出循环,输出 S 的值为 120. 故选:C.

9.已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 的对称轴,则 φ=( A. B. C. ) D.

和 x=

是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期,利用对称轴以及 φ 的范围,确定 φ 的值即可. 【解答】解:因为直线 x= 轴, 所以 T= 值与最小值,0<φ<π, 所以 φ= 故选 A. . =2π.所以 ω=1,并且 sin( +φ)与 sin( +φ)分别是最大 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称

10.函数 f(x)=

的图象如图所示,则下列结论成立的是(



A.a>0,b>0,c<0B.a<0,b>0,c>0C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c<0 【考点】函数的图象. 【分析】分别根据函数的定义域,函数零点以及 f(0)的取值进行判断即可. 【解答】解:函数在 P 处无意义,由图象看 P 在 y 轴右边,所以﹣c>0,得 c<0, f(0)= ,∴b>0,

由 f(x)=0 得 ax+b=0,即 x=﹣ , 即函数的零点 x=﹣ >0, ∴a<0, 综上 a<0,b>0,c<0, 故选:C 11.已知抛物线 C:y2=16x,焦点为 F,直线 l:x=﹣1,点 A∈l,线段 AF 与抛物线 C 的交 点为 B,若|FA|=5|FB|,则|FA|=( ) A. B.35C. D.40 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】设 A(﹣1,a) ,B(m,n) ,且 n2=16m,由|FA|=5|FB|,确定 A,B 的坐标,即可 求得|FA|. 【解答】解:由抛物线 C:y2=16x,可得 F(4,0) , 2 设 A(﹣1,a) ,B(m,n) ,且 n =16m, ∵|FA|=5|FB|, ∴﹣1﹣4=5(m﹣4) ,∴m=3, ∴n=±4 , ∵a=5n,∴a=±20 , ∴|FA|= 故选:B. =35.

12.已知函数 f(x)= 的取值范围是( A. C. B. D. )

,则使得 f(x)>f(2x﹣1)成立的 x

【考点】其他不等式的解法. 【分析】根据函数的表达式求出 f(x)的单调性和奇偶性,通过讨论 x 的符号,从而求出 x 的范围即可. 【解答】解:∵函数 f(x)= ,

∴x>0 时,f(x)=







随着 x 的增大而减小,

故 x>0 时,f(x)是减函数,而 f(x)在 R 是偶函数, 故 x<0 时,f(x)是增函数, 若 f(x)>f(2x﹣1)成立, 则|x|<|2x﹣1|, 解得:x>1 或 x< ,

又 1+ 故选:D.

≠0,解得 x≠﹣1,

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.设点 P 是△ ABC 所在平面内一点,且 = ,则 . 【考点】向量的加法及其几何意义. 【分析】由向量加法的平行四边形法则可知 + =2 ,点 P 为线段 AC 的中点. 【解答】解:因为 + =2 ,所以点 P 为线段 AC 的中点,

如图:

即 + = . 故答案为:

14.已知 n=

dx,那么

的展开式中的常数项为 15 .

【考点】二项式定理的应用. 【分析】利用定积分求出 n,再求出展开式通项,令 x 的指数为 0,即可求出展开式中的常 数项. 【解答】解:n= dx=6lnx =6, , 的展开式中的常数项为 =15,

的展开式通项为 Tr+1= 令 6﹣3r=0,则 r=2,∴ 故答案为:15.

15.设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最大值为 8 .

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 z 的最大值. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=2x﹣y 得 y=2x﹣z, 平移直线 y=2x﹣z, 由图象可知当直线 y=2x﹣z 经过点 A 时,直线 y=2x﹣z 的截距最小, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 A(5,2)

将 A 的坐标代入目标函数 z=2x﹣y, 得 z=2×5﹣2=8.即 z=2x﹣y 的最大值为 8. 故答案为:8

16.如图,矩形 ABCD 中 AD 边的长为 1,AB 边的长为 2,矩形 ABCD 位于第一象限,且 顶点 A,D 分别位于 x 轴、y 轴的正半轴上(含原点)滑动,则 的最大值是 6 .

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】设 A(a,0) ,D(0,b) ,∠BAX=θ,利用 AD=1 得出 a,b 之间的关系,用 a,b, θ 表示出 B,C 的坐标,代入数量积公式运算得出关于 θ 的三角函数,利用三角函数的性质 求出最大值. 【解答】解:如图,设 A(a,0) ,D(0,b) ,∠BAX=θ, 则 B(a+2cosθ,2sinθ) ,C(2cosθ,b+2sinθ) . ∵AD=1, ∴a2+b2=1. =2cosθ(a+2cosθ)+2sinθ(b+2sinθ) ∴ =4+2acosθ+2bsinθ=4+ 的最大值是 4+2=6. 故答案为:6. ∴ sin(θ+φ)=4+2sin(θ+φ) .

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知数列{an}中,a1=1,其前 n 项的和为 Sn,且满足 an= (n≥2)

(Ⅰ)证明:数列 (Ⅱ)证明:

是等差数列; .

【考点】数列与不等式的综合;等差关系的确定. 【分析】 (Ⅰ)通过作差可知当 n≥2 时 Sn﹣1﹣Sn=2Sn?Sn﹣1,进而变形可知 整理即得结论; (Ⅱ)通过(I)计算可知 ,进而裂项、并项相加放缩即得结论. ,

【解答】证明: (Ⅰ)依题意,当 n≥2 时, ∴Sn﹣1﹣Sn=2Sn?Sn﹣1, ∴ 又∵a1=1, ∴数列 构成以 1 为首项、2 为公差的等差数列; ,即 ,



(Ⅱ)由(I)可知, 所以 =





18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面 ABCD, PD=AD=1,点 E,F 分别为 AB 和 PD 中点. (Ⅰ)求证:直线 AF∥平面 PEC; (Ⅱ)求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值.

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 【分析】 (Ⅰ)首先利用中点引出中位线,进一步得到线线平行,再利用线面平行的判定定 理得到结论. (Ⅱ)根据直线间的两两垂直,尽力空间直角坐标系,再求出平面 PAB 的法向量,最后利 用向量的数量积求出线面的夹角的正弦值. 【解答】解: (Ⅰ)证明:作 FM∥CD 交 PC 于 M. ∵点 F 为 PD 中点, ∴ .

∵点 E 为 AB 的中点. ∴ ,

又 AE∥FM, ∴四边形 AEMF 为平行四边形, ∴AF∥EM, ∵AF?平面 PEC,EM?平面 PEC,

∴直线 AF∥平面 PEC.

(Ⅱ)已知∠DAB=60°, 进一步求得:DE⊥DC, 则:建立空间直角坐标系, 则 P(0,0,1) ,C(0,1,0) ,E( A( 所以: ,﹣ ,0) ,B( , ,0) . , . , . ,0,0) ,

设平面 PAB 的一个法向量为:





则:



解得:



所以平面 PAB 的法向量为: ∵ ∴设向量 和 ∴cosθ= , 的夹角为 θ, ,

∴PC 平面 PAB 所成角的正弦值为



19.已知 A 类产品共两件 A1,A2,B 类产品共三件 B1,B2,B3,混放在一起,现需要通过 检测将其区分开来,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出 2 件 A 类产品或 者检测出 3 件 B 类产品时,检测结束. (Ⅰ)求第一次检测出 B 类产品,第二次检测出 A 类产品的概率; (Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用 50 元, 设 X 表示直到检测出 2 件 A 类产品或者检测出 3 件 B 类产品时所需要的检测费用(单位:元) ,求 X 的分布列和均值. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (Ⅰ)记“第一次检测出 B 类产品,第二次检测出 A 类产品”的事件为 C 事件,由此 利用等可能事件概率计算公式能求出第一次检测出 B 类产品,第二次检测出 A 类产品的概 率. (Ⅱ)X 的可能取值为 100、150、200,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列的数 学期望. 【解答】解: (Ⅰ)记“第一次检测出 B 类产品,第二次检测出 A 类产品”的事件为 C 事件, 依题意有 .…

(Ⅱ)X 的可能取值为 100、150、200, ,



,… 故 X 的分布列为 X P … .…

100

150

200

20.已知 M(﹣2 ,0) ,N(2 ,0)为椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上异于 M,N 的 动点,且△ PMN 的面积最大值为 4 . (Ⅰ)求椭圆的方程及离心率; BD 过原点, kAC?kBD=﹣ (Ⅱ) 四边形 ABCD 的顶点都在椭圆上, 且对角线 AC, 的取值范围. , 求

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)由 M(﹣2 ,0) ,N(2 N 的动点,且△ PMN 的面积最大值为 4

,0)为椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上异于 M, ,求出 a,b,由此能求出椭圆方程及离心率. x2+4kmx+2m2 , 得 (1+2k2)

y=kx+m, A y1) B y2) (Ⅱ) 设 lAB: (x1, , (x2, 联立

﹣8=0,由此利用韦达定理、向量的数量积、椭圆性质,结合已知条件能求出 的取值 范围. 【解答】解: (Ⅰ)∵M(﹣2 ,0) ,N(2 ,0)为椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上异 于 M,N 的动点,且△ PMN 的面积最大值为 4 . ∴由题意知, ,又因为△ PMN 的面积最大值为 . ∴ 解得 b=2, ∴椭圆方程为 ,离心率 … ,

(Ⅱ)设 lAB:y=kx+m,A(x1,y1) ,B(x2,y2) 联立 ,消去 y 并整理,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0



,…







,∴





,解得 m2=4k2+2,









.当 k=0 时, 取最小值﹣2, 当 k 不存在,即 AB⊥x 轴时, 取最大值 2, ∴ .…

21.设函数 f(x)= x2﹣mlnx,g(x)=x2﹣(m+1)x,m>0. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 m≥1 时,讨论函数 f(x)与 g(x)图象的交点个数. 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理. 【分析】 (1)先求出函数的导数,解关于导函数的不等式,从而求出函数的单调区间; (2)问题转化为求函数 h(x)=f(x)﹣g(x)=﹣ x2﹣mlnx+(m+1)x 的零点个数问题, 通过求导,得到函数 h(x)的单调区间,求出 h(x)的极小值,从而求出函数 h(x)的零 点个数即 f(x)和 g(x)的交点个数. 【解答】解: (1)f(x)的定义域是(0,+∞) ,m>0, f′(x)= , ,

令 f′(x)>0,解得:x> ,令 f′(x)<0,解得:x< ∴f(x)在(0, )递减,在( ,+∞)递增; (2)f(x)与 g(x)图象的交点个数,

即函数 h(x)=f(x)﹣g(x)=﹣ x2﹣mlnx+(m+1)x 的零点个数问题, h′(x)=﹣ ,

令 h′(x)>0,解得:1<x<m,令 h′(x)<0,解得:x>m 或 x<1, ∴h(x)在(0,1)递减,在(1,m)递增,在(m,+∞)递减, ∴h(x)极小值=h(1)=m+ >0, ∴h(x)和 x 轴有 1 个交点, 即函数 f(x)与 g(x)图象的交点个数是 1 个. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请 在答题卡涂上题号.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,从圆 O 外一点 P 引圆的切线 PC 及割线 PAB,C 为切点,OD⊥BC,垂足为 D.

(1)求证:AC?CP=2AP?BD; (2)若 AP,AB,BC 依次成公差为 1 的等差数列,且

,求 AC 的长.

【考点】相似三角形的判定. 【分析】 (1)证明△ CAP~△ BCP,然后推出 AC?CP=2AP?BD; 2 ( )设 AP=x(x>0) ,则 AB=x+1,BC=x+2,由切割定理可得 PA?PB=PC2,求出 x,利用 (1)即可求解 AC 的长. 【解答】 (1)证明:∵PC 为圆 O 的切线,∴∠PCA=∠CBP, 又∠CPA=∠CPB,故△ CAP~△ BCP, ∴ ,即 AP?BC=AC?CP.

又 BC=2BD,∴AC?CP=2AP?BD… (2)解:设 AP=x(x>0) ,则 AB=x+1,BC=x+2, 由切割定理可得 PA?PB=PC2,∴x(2x+1)=21,∵x>0,∴x=3,∴BC=5, 由(1)知,AP?BC=AC?CP,∴ ,∴ …

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在平面直角坐标系 xoy 中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取与直角坐标 系相同的长度单位建立极坐标系.曲线 C1 的参数方程为 C2 的极坐标方程为 θ= 且 C1 与 C2 交点的横坐标为 . ,曲线

(Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程; (Ⅱ)设 A,B 为曲线 C1 与 y 轴的两个交点,M 为曲线 C1 上不同于 A,B 的任意一点,若 直线 AM 与 MB 分别与 x 轴交于 P,Q 两点,求证:|OP|?|OQ|为定值. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (Ⅰ)求出曲线 C1 的普通方程;曲线 C2 的直角坐标方程,求出交点坐标,代入曲 线 C1 的普通方程求出 a,即可得到结果. (Ⅱ)求出 A 的坐标为(0,1)设 M(2cosφ,sinφ) ,P(xP,0) ,Q(xQ,0) ,利用 kAM=kAP, kBM=kBQ,可得|OP|?|OQ|为定值 4. 【解答】解: (Ⅰ)曲线 C1 的普通方程为 可知它们的交点为 所以曲线的普通方程为 ,曲线 C2 的直角坐标方程为 y=x(x≥0)

,代入曲线 C1 的普通方程可求得 a2=4 …

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知曲线 C1 为椭圆,不妨设 A 为椭圆 C1 的上顶点,则 A 的坐标为(0,1) 设 M(2cosφ,sinφ) ,P(xP,0) ,Q(xQ,0)

因为直线 AM 与 MB 分别与 x 轴交于 P,Q 两点,所以 kAM=kAP,kBM=kBQ, 由斜率计算公式得到 所以|OP|?|OQ|=|xP|?|xQ|=4,可得|OP|?|OQ|为定值 4… [选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|x﹣a|. (1)当 a=2 时,解不等式 f(x)≥7﹣|x﹣1|; (2)若 f(x)≤1 的解集为[0,2], + =a(m>0,n>0) ,求证:m+4n≥2 +3.

【考点】分段函数的应用;基本不等式. 【分析】 (1)利用绝对值的应用表示成分段函数形式,解不等式即可. (2)根据不等式的解集求出 a=1,利用 1 的代换结合基本不等式进行证明即可. 【解答】解: (1)当 a=2 时,f(x)=|x﹣2|, 则不等式 f(x)≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|, 即|x﹣2|+|x﹣1|≥7, 当 x≥2 时,不等式等价为 x﹣2+x﹣1≥7,即 2x≥10,即 x≥5,此时 x≥5; 当 1<x<2 时,不等式等价为 2﹣x+x﹣1≥7,即 1≥7,此时不等式不成立,此时无解, 当 x≤1 时,不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7,则 2x≤﹣4,得 x≤﹣2,此时 x≤﹣2, 综上不等式的解为 x≥5 或 x≤﹣2,即不等式的解集为(﹣∞,﹣2]∪[5,+∞) . (2)若 f(x)≤1 的解集为[0,2], 由|x﹣a|≤1 得﹣1+a≤x≤1+a. 即 即 + 得 a=1, =a=1, (m>0,n>0) , )=1+2+ + ≥3+2 =2 +3.

则 m+4n=(m+4n) ( + 当且仅当 故 m+4n≥2 =

,即 m2=8n2 时取等号,

+3 成立.


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