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1.5充分条件与必要条件


高一数学导学案第一学期 9

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1.5 充分条件与必要条件
教学目标; 1.理解充分条件、必要条件及充要条件与 与推出的关系。 2.能够在简单的问题情境中判断条件的充分性、必要性与充要性。 3.培养逻辑判断能力,养成全面思考问题的习惯。 教学重点及难点: 充分条件、必要条件及充要条件的 的定义和判断。 教学实践: 一.知

识回顾 复习 1:首先请同学们判断下列命题的真假 (1)若两三角形全等,则两三角形的面积相等。 (2)若三角形有两个内角相等,则这个三角形是等腰三角形。 (3) 若 ab=0,则 a=0。 (4)若 a,b 为实数, a ? b ,则 a ? b 。 复习 2、请同学用推断符号“?” “?”写出上述命题的条件和结论的关系。
2 2

答: (1) (2) (3) (4) 二.新知导学 1.充分条件:用α ,β 分别表示两个命题,如果命题α 成立,可以推出命题β 也成立, 即α _____β ,那么α 叫做β 的_____条件。 2.必要条件:如果α _____β ,那么α 叫做β 的_____条件。 3.充要条件:如果既有α ? β ,又有β ? α ,就记作:α _____β 那么α 是β 的充分而且必要条件,简称_____条件。 回答上述问题(1) 、 (2)中的条件关系。 (1)中:_________________是_________________的充分条件; _________________是_________________的必要条件。 (2)中:_________________是_________________的充分条件; _________________是_________________的必要条件。 把命题中的条件与结论分别记作α 与β ;α 与β 关系可分为四类: (1)充分不必要条件,即α _____β ,而β _____α ; (2) 必要不充分条件,即α _____β ,而β _____α ; (3) 既充分又必要条件,即α _____β ,又有β _____α ; (4) 既不充分也不必要条件,即α _____β ,又有β _____α 。 三.问题探究 例 1: (1)已知四边形 ABCD 是凸四边形,那么“AC=BD”是“四边形 ABCD 是矩形”的什 么条件?为什么?
2 2 (2) " x ? y" 是 " x ? y " 的什么条件。

(3) “a+b>2”是“a>1,b>1”的什么条件。 例 2: 指出下列各组命题中,α 是β 的什么条件(在“充分而不必要条件” 、 “必要而不

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充分条件” 、 “充要条件” 、 “既不充分也不必要条件”中选出一种)? (1)α :(x-2)(x-3)=0; (2)α :同位角相等; (3)α :x=3; β :x-2=0. β :两直线平行。 β :x =9。
2

(4)α :四边形的对角线相等;β :四边形是平形四边形。

2 2 例 3:已知实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 ) , “ b ? 4ac ? 0 ”是“方程

ax2 ? bx ? c ? 0 有两个相等的实数根”的什么条件?为什么?

[说明]充分性证明:条件? 结论;必要性证明:结论? 条件。 四.巩固练习 1.回答下列问题: (1) “四边形对角线相等”是“四边形为矩形”的充分条件吗? (2) “四边形为矩形”是“四边形的两组对边分别相等” 的充分条件吗? (3) “四边形为矩形”是“四边形为正方形”的必要条件吗? (4) “四边形为正方形”是“四边形为矩形”的必要条件吗? 2.设 x, y ? R ,下列各式中哪些是“ x, y 都不为零”的充分条件?必要条件?充要条件?
2 2 (1) x ? 0 且 y ? 0 ; (2) x ? y ? 0 ; (3) xy ? 0 ; (4) 2 2 (5) xy ? 0 ; (6) x ? y ? 0

x2 ? y2 ? 0 ;

五.课堂小结 (1)、主要内容: 推断符号?,? 充分条件、必要条件及充要条件的意义 命题充分性、必要性及充要性的判断。 (2).充分条件、必要条件及充要条件判别步骤:① 认清条件和结论。 ② 考察 p q和q p 的真假。 (3)、充分条件、必要条件及充要条件判别技巧:① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。 六.学习收获与反思:

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课后作业 1.判断下列两个命题间的推出关系: (选择符号 ?, ?, ? ,?等) 题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

?
x ?1

推出关系

?
x2 ? 8x ? 7 ? 0
A? B

A B?A
x ?1
两个角是对顶角 今天是 30 日

x2 ? 8x ? 7 ? 0
两个角相等 明天是1 日

x? y ? 2

x ?1且 y ?1

m?n

n?m

2.填空(填充分非必要条件,必要非充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件) (1)“ x ? 1 ”是“ x ? 0 ”的______________________条件;
2 2 (2) “ a ? b 是“ a ? b ”的_____________________条件;

(3)“两直线平行”是“内错角相等”的_____________________条件; (4)“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的________________条件; (5)“ x ? A 且 x ? B ”是“ x ? A 或 x ? B ”的________________ 条件; (6) “ x ? 0 ”是抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 过原点的__________________ (7) “四边形 的四个角都是直角”是“四边形 为矩形”的 (8) “四边形 的四个角都是直角”是“四边形 为平行四边形”的 (9) “四边形 的四个角都是直角”是“四边形 为正方形”的 (10)“ x ? 1 ”是“ x ? 0 ”的______________________条件; 3.试写出命题“ x ? 3" 的一个充分条件和一个必要条件。 条件; 条件; 条件; 条件;

4.写出使实数 a , b 为一正一负的充要条件。

5.判断命题“ x ? y ? 0 且 xy ? 0 ”是“ x ? 0 且 y ? 0 ”的什么条件,并说明理由

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6.关于 x 的实系数一元二次方程 a x 2 ? b x ? c ? 0 , ( a ? 0 ) ,分别写出满足下列条件的充 要条件: 1) 方程有两个不相等的正实数根; 2) 方程有两个负根; 3) 方程有一个正根,一个负根; 4) 方程有一个正根,另一个根为零;

7.设 ? : x ? 1, ? : x ? 3a ? 2 若 ? 是 ? 的充分条件,求实数 a 的取值范围。


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