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2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第05讲 子集


第 5 讲 子集
本讲内容有子集、子集的个数、集合的划分及子集的应用。 设 a 表示任意元素, A ,

B 表示两个集合。若 a ? A ? a ? B

,则 A ?

B

,即

集合 A 是集合 B 的子集。规定空集是任何集合的子集。 子集是由原集合中的部分元素

构成。对于由 n 个元素组成的集合,它的每一个子集中元 素的构成,都是对这 n 个元素进行选择的结果。由于对每一个元素的选择都有两种可能(选 上或不选) ,因此,对这 n 个元素共有 2 种不同选择结果,即由 n 个元素组成的集合共有 2 个不同子集。其中,不同的非空子集有 2

n

n

n

? 1个,不同的真子集有 2 n 个。

A 类例题
例1 分析 解 当a 当a 求集合 M

? {x ? R | x 2 ? ax ? a ? 3 ? 0} 的子集的个数。

欲求集合 M 的子集的个数,可先求出集合 M 的元素的个数。 由x

2

? ax ? a ? 3 ? 0 ,得 ? ? a 2 ? 4a ? 12 ? ( x ? 2)( x ? 6) 。
原方程的解集为空集; 原方程的解集为单元素集;

? ?2 或 a ? 6 时, ? ? 0 ? ? ?2 或 a ? 6 时, ? ? 0 ?
a ? 6 时, ? ? 0 ?

当? 2 ?

原方程有两个不等的实数解。

所以,当 a 当a

? ?2 或 a ? 6 时,集合 M ? ? ,有 1 个子集;

? ?2 或 a ? 6 时,集合 M ? {x0} ,有 2 个子集;
a ? 6 时,集合 M ? {x1 , x2},有 4 个子集‘

当? 2 ? 例2

求满足{a, b} ?

P ? {a, b, c, d , e}的集合 P 的个数。

分析 本题要求的是集合{a, b, c, d , e}中, 必定含有元素 a, b 的子集的个数, 只要求 出集合{c, d , e} 的子集数。 解 由集合{c, d , e} 的子集数为 2 例 3

3

? 8 ,得所求集合 P 的个数为 8。
? A ,定义 S ( X ) 为 X 中所有元素之

已知集合 A ? {2,3,4,5,6,7},对 X

和。求全体 S ( X ) 的总和 S 。 分析 要求出全体 S ( X ) 的总和 S ,只要求出每个元素出现的次数。 解 由集合元素的互异性, 得集合 A 中某个元素在总合 S 中出现的次数, 就是集合 A 中

含有该元素的子集数。所以, 全体 S ( X ) 的总和 S

? (2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7) ? 25 ? 8640 。

情景再现
1.设集合 A ? {( x,

y ) | y ? x 2 ? 4 x ? 1} , B ? {( x, y) | y ? 2x ? 1} 。

求集合 A ? B 的子集的个数。 2.若数集{

a , 1} ? {1, 2 , a} ? {1, 2 , 4 , a 2 } ,则 a 的值是_____。 (1998 年第
九届“希望杯”高一)

3.设非空集合 A ? { 1,2,3,4,5,6,7},且当 a ? 的 A 共有多少个?

A 时,必有 8 ? a ? A ,问:这样

B 类例题
例 4 在某次竞选中,各个政党共作出

p 种不同的诺言 ( p ? 0 ) ,任何两个政党都
p ?1
个。

至少有一种公共诺言, 但没有两党作出完全相同的诺言。 试证明, 政党的数目不多于 2

(1972 年加拿大数学竞赛) 分析 这是一道有实际背景的问题。 首先应选择适当的数学模型刻画这一问题。 由题意, 将“诺言”作为元素,运用集合进行分析和研究。 证明 将

p 种不同的诺言构成集合 A ,则每一个政党所作的诺言构成的集合是集合 A

的子集。因而政党数应不大于集合 A 的子集数。 又任何两个政党都至少有一种公共诺言,所以任何两个政党所对应的子集不可能是一对

2p ? 2 p ?1 。 互补的子集。故政党数 ? 2
例 5 证明:任意一个有限集的全部子集可以这样排列顺序,使得任何两个相邻的子集

仅相差一个元素。 (1972 年波兰数学奥林匹克) 分析 本题可采用构造方法进行证明,即对任意一个有限集的全部子集给出一个排列方 法,满足题设的要求。为此,可从特殊情况入手进行探索。 若有限集元素的个数 n 当n 当n

?1

时,子集数为 2,可排列为 ? , {a1} ;

? 2 时,子集数为 22,可排列为 ? ,{a1},{a1, a2},{a2};
? 3 时,子集数为 23,可排列为

? , {a1}, {a1, a2 }, {a2 }, {a2 , a3}, {a1, a2 , a3}, {a1, a3}, {a3};
??
每增加 1 个元素,子集数增加 1 倍。将原来已排列好的所有子集分别增加一个新元素, 得到又一列排列好的子集。再将排列好的子集倒序后,接排在原来已排好的子集列后面,得 到符合条件的新的子集列。 证明 设有限集的元素个数为 n 。 当n 当n 当n

? 1 时,子集数为 2,全部子集可排列为:? ,{a1} ; ? 2 时,子集数为 22,全部子集可排列为:? ,{a1},{a1, a2},{a2};
? 3 时,子集数为 23,全部子集可排列为:

? , {a1}, {a1, a2 }, {a2 }, {a2 , a3}, {a1, a2 , a3}, {a1, a3}, {a3};
??
若n

? k 时,子集数为 2k,全部子集可排列为: A1 , A2 , ? , A2 k ,且任何两个相邻的子集仅
当n

相差一个元素。

? k ?1

即增加一个元素 ak ?1 时,按下面的方法可得由 k

? 1 个元素组成的有

限集的全部子集的一个排列,

A1 , A2 , ? , A2 k , ak ?1 ? A2 k , ak ?1 ? A2 k ?1 , ?, ak ?1 ? A1 。
因为 A 1,

A2 , ? , A2 k 共 2k

个子集中任何两个相邻的子集仅相差一个元素,所以,

ak ?1 ? A2 k , ak ?1 ? A2 k ?1 , ?, ak ?1 ? A1 共 2k 个子集中任何两个相邻的子集也仅
相差一个元素。又 A k 与 ak ?1 2

? A2 k

也相差一个元素,因此,上述由 k

? 1 个元素组成的

有限集的全部子集的一个排列是符合条件的排列。 由此,我们得到对任意一个有限集的全部子集的符合条件的排列方法,即原命题得证。 例6设 M

15 x ? A 。 且当 x ? A 时, ? {n | 1 ? n ? 1995 , n ? N} , A ? M ,

求|

A | 的最大值。

(1995 年全国高中数学联赛)

分析 由题意, x 与15 x 不能同属于集合 A 。按照集合 A 的这一本质特征,构造具有 最多元素的集合 A 。 解 由

1995 [ ] ? 133 15

, 又

x



15 x

不 能 同 属 于 集 合

A

, 得

A1 ? {n | 1 3 4 ? n ? 1 9 9, 5 n ? N} ? A 。
由[

133 ] ? 8 , 得集合 A2 ? {n | 9 ? n ? 133 , n ? N} 已不可能与集合 A1 同为 15

集合 A 的子集。故 | 设

A | ? 1995 ? 125 ? 1870 。
, 经 检 验,

A3 ? {n | 1 ? n ? 8 , n ? N}

A1 ? A3 是 满 足 条件 的 集 合 ,且

| A1 ? A3 | ? 1870。所以, | A | 的最大值为 1870。

情景再现
4.在一次 IMO 竞赛中,k 个领队共使用 n 种不同语言。如果任何两个领队至少使用一 种共同语言,但没有任何两个领队使用的语言完全相同。求证: k

? 2n ?1



5.已知 A ? B

? {a1, a2 , a3} ,当 A ? B 时, ( A , B) 与 ( B , A) 视为不同的对,

则这样的 ( A , B) 对的个数有____________个。 (1993 年全国高中数学联赛) 6. 设集合 A 是整数集 Z 的子集, 其中的元素有正整数, 也有负整数, 且若 a , b ? A (允 许

a?b

) ,



a ? b? A











a,b? A





a ? b? A。

C 类例题
例7 对{ :对每一 1,2,?, n} 及其每一个非空子集,定义一个唯一确定的“交替和”

个子集按照递减的次序重新排列,然后从最大的数开始交替的减或加后继的数(例如, “交替和” 是 9 ? 6 ? 4 ? 2 ? 1 ? 6 ; {5} 的 “交替和” 是 5) 。 对n ? 7, {1, 2, 4, 6, 9} 的 求所有这些“交替和”的总和。 (第 1 届美国数学邀请赛) 分析 求所有这些“交替和”的总和的关键,在于每一个数字在“交替和”中出现的次 数及符号。 解 对集合{ 1,2,?, n} 的全部子集分为两类:含元素 n 的子集共有 2

n ?1

个,不含元

素 n 的子集也有 2

n ?1

个。

将含元素 n 的子集 {n, a1, a2 , ?, ak } 与不含元素 n 的子集 {a1, a2 ,?, ak } 相对 应,得这两个子集的“交替和”恒为 n 。 所以,所有这些“交替和”的总和为 2

n ?1

“交替和”的总和为 ? n 。当 n ? 7 时,

7 ? 26 ? 448 。
例 8 已知集合 S 中有 10 个元素,每个元素都是两位数。求证:一定可以从 S 中取出两 个无公共元素的子集,使两个子集的元素和相等。 (1972 年 14 届 IMO) 分析 本题要求的是从集合 S 的子集中,找到两个元素和相等的子集。这两个子集即使

有公共元素,只要同时除去公共元素就可以满足题意。 证明 由集合 S 中每个元素都是两位数,故它们的总和不超过 1000。而集合 S 共有

210 ? 1024个子集。由抽屉原理,得集合 S 的子集中至少有两个子集的和相等。若这两个
子集有公共元素,只要同时从这两个子集中同时除去公共元素,得到两个无公共元素的子集, 且使两个子集的元素和相等。即命题得证。

情景再现
7. 设集合 M 现对 M ? {n | 1 ? n ? 10 , n ? N}。 的任意一个非空子集 X , 令 aX

表示 X 中最大数与最小数之和,那么,所有这样的 a X 的算术平均值为___________。 8.由前 2 n 个正整数组成的集合 M

? {m ? N | 1 ? m ? 2n , n ? N ?} ,从中任取

n ? 1个元素组成 M
或者 a j

的子集 A , 求证: 集合 A 中必有两个数 ai

, a j , 使得 ai ? a j ? A ,

? 2ai 。

习题 5
1. 若{2, | a ? 1 |} ? {2,3, a

2

? 2a ? 1} ,试确定 a 的值。

2. 已知集合 A ? {n | 1 ? n ? 10 , 且 B ?C

n ? N},B ? {1,2,3,4,5},若 C 是 A 的子集,

? ? ,则子集 C 有多少个?
A ? {n ? N | 1 ? n ? 2m ? 1 , m ? N}
, 且

3 . 若

a? A

时 , 必 有

2m ? a ? A ,求证:这样的子集共有 2m ? 1个。
4.已知集合 X 的和记为

? {n | 1 ? n ? k ,

k , n ? N} ,对 A ? X ,

将 A 中所有元素 ,若

S ( A) , 将 X