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高一数学椭圆的标准方程


天体的运行

一.课题引入:

生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢? 椭圆的画法

二.讲授新课:

1 .椭圆定义:
平面内与两个定点 F1 , F2 的距离和等于常数(大于 | F1F2 | )的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦 点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 . P
注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方:
F1 F2 (1) 必须在平面内; (2)两个定点---两点间距离确定;(常记作2c) (3)绳长---轨迹上任意点到两定点距离和确定. (常记作2a, 且2a>2c)

思考:在同样的绳长下,两定点间距离较长,则所画出的 轨迹是一条线段 若2a=F 轨迹是什么呢? 1F2 ? 椭圆较扁( 线段) ;两定点间距离较短,则所画出的 椭圆较圆( 圆).由此可知,椭圆的形状与两定点间 轨迹不存在 若 2 a <F F 轨迹是什么呢? 1 2 距离、绳长有关.

?

? 求动点轨迹方程的一般步骤: 坐标法 (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y) 表示曲线上任意一点M的坐标; (2)写出适合条件 P(M) ; (3)用坐标表示条件P(M),列出方程 ; (4)化方程为最简形式; (5)证明以化简后的方程为所求方程(可以省略 不写,如有特殊情况,可以适当予以说明)

2.求椭圆的方程:
? 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O

y M M
O F2

y F2 xx x
O

x F1

x

方案一

方案二

原则:尽可能使方程的形式简单、运算简单; (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的 直线作为坐标轴.) (对称、“简

解:取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂 直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图). y 设M(x, y)是椭圆上任意一 M 点,椭圆的焦距2c(c>0),M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ,则F1、F2的 F2 F1 0 坐标分别是(?c,0)、(c,0) .

x

由椭圆的定义得,限制条件:| MF 1 | ? | MF 2 |? 2a 代入坐标 | MF1 |? ( x ? c) 2 ? y 2 , | MF2 |? ( x ? c) 2 ? y 2
得方程 ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a

(问题:下面怎样化简?)

移项,再平方 ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2

a 2 ? cx ? a ( x ? c ) 2 ? y 2 两边再平方,得

a 4 ? 2a 2cx ? c 2 x 2 ? a 2 x2 ? 2a 2cx ? a 2c 2 ? a 2 y 2
整理得 (a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 )
由椭圆定义可知 2a ? 2c, 即a ? c, 所以

a 2 ? c 2 ? 0, 设 a 2 ? c 2 ? b 2 (b ? 0),

b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b2
两边除以 a 2 b 2 得

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b

y
M ( x, y )

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

?a ? b ? 0 ?

F1

O

F2

x

叫做椭圆的标准方程。

它所表示的椭圆的焦点在x轴上, 焦点是 F1 (?c,0) F2 (c,0) ,中心在坐标原点 的椭圆方程 ,其中 a 2 ? b 2 ? c 2

如果椭圆的焦点在y轴上,那 么椭圆的标准方程又是怎样的呢?

如果椭圆的焦点在y轴上(选取方式不同, F1 (0, ?c), F2 (0, c) 调换x,y轴)如图所示 , 焦点则变成 x2 y2 只要将方程中 2 ? 2 ? 1 的 x, y调换,即可得
a b

x ?y ? 1 2 2 b a

2

2

?a ? b ? 0 ?
p

y

也是椭圆的标准方程。

.

F2 (0,a)
0 x

F1 (0,-a)

3.椭圆的标准方程:
F1

y

M F2 x

o

x2 y 2 焦点在x轴: 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? a b

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a

y
F2
2 2 y x 焦点在y轴: ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

M

o
F1

x

( y ? c ) 2 ? x 2 ? ( y ? c ) 2 ? x 2 ? 2a

总体印象:对称、简洁,“像”直线方程的截距 式

定 义

|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y y
M F 2 F 1
M

图 形

F 1

o

F2 x

o

x

方 程 焦 点 a,b,c之间的关系

x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b

y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b

F(±c,0)

F(0,±c)

c2=a2-b2

注: 共同点:椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上, 中心在坐标原点的椭圆;方程的左边是平方和,右边是1.
2 x 不同点:焦点在x轴的椭圆 项分母较大. 2 焦点在y轴的椭圆 y 项分母较大.

例1:已知一个运油车上的贮油罐横 截面的外轮廓线是一个椭圆,它的 焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两 个焦点距离的和为3m,求这个椭圆 的标准方程。 y 待定系数法 解:以两焦点F 1, F 2 所 在直线为X轴,线段 F 1F 2 的垂直平分线为y轴,建立 F1 0 平面直角坐标系xOy。 则这个椭圆的标准方程为:
x 2 ? y ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
2

M F2 x

根据题意:2a=3,2c=2.4,

所以:b2=1.52-1.22=0.81 因此,这个椭圆的方程为: 2 2 y x ? ?1 2.25 0.81

练习1.下列方程哪些表示椭圆? 若是,则判定其焦点在何轴? 并指明 a 2 , b 2 ,写出焦点坐标.

x2 y2 (1) ? ? 1 (4)9 x 2 ? 25y 2 ? 225 ? 0 16 16 x2 y2 2 2 ( 5 ) ? 3 x ? 2 y ? ?1 ( 2) ? ?1 25 16 x2 y2 x2 y2 ? ?1 (3) 2 ? 2 ? 1 (6) 24 ? k 16 ? k m m ?1

?

练习2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)a=

6

,b=1,焦点在x轴上;

x2 6

? y ?1
2

(2)焦点为F1(0,-3),F2(0,3),且a=5; 25 ? 16 (3)两个焦点分别是F1(-2,0)、F2(2,0),且过 P(2,3)点; x ? y ? 1
2 2

y2

x2

?1

16

12

(4)经过点P(-2,0)和Q(0,-3).

x 2 y2 + =1 4 9

小结:求椭圆标准方程的步骤: ①定位:确定焦点所在的坐标轴; ②定量:求a, b的值.

x2 y2 ? 1 ,请填空: 练习3. 已知椭圆的方程为: ? 25 16 (1) a=__ ___________ 、(3,0) ,焦距等于__. 6 4 ,c=__ 5 ,b=__ 3 ,焦点坐标为(-3,0)
(2)若C为椭圆上一点,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点, 并且CF1=2,则CF2=___. 8
2 2 变式: 若椭圆的方程为 16x ? 9 y ? 144 ,试口答完成(1).

x2 y2 ? ?1 9 16

a ? 4, b ? 3, c ? 7

x y 练习4.已知方程 + =1 表示焦点在x轴 4 m

2

2

上的椭圆,则m的取值范围是
x y + = 1 变1:已知方程 m -1 3 - m
2 2

(0,4)

.

表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值 (1,2) 范围是 .

变2:方程 下列条件的m的取值范围: ①表示一个圆;

x2 y2 + = 1 ,分别求方程满足 25-m 16+m

②表示一个椭圆;
③表示焦点在x轴上的椭圆。

例2、过椭圆 4 x 2 ? y 2 ? 1 的一个焦点 交于A、B两点,求 ?ABF2 的周长。

F1 的直线与椭圆
y

F2
o

B

x

A

F1

三、回顾小结: 一种方法: 求椭圆标准方程的方法 二类方程:

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0 ? 2 a b a b

三个意识: 求美意识, 求简意识,前瞻意识

已知椭圆有这样的光学性质:从椭 圆的一个焦点出发的光线,经椭圆 反射后,反射光线经过椭圆的另一 个焦点。今有一个水平放置的台球 盘,点A、B是它的两个焦点,焦距 是2c,椭圆上的点到A、B的距离的 和为2a,当静放在A的小球(半径不 计)沿直线出发,经椭圆壁反弹后 再回到点A时,求小球经过的路程。

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