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江苏省泰州中学高三数学周练试题(一)


江苏省泰州中学高三数学周练试题(一)(答案)
班级_______________ 姓名________________ 成绩_________________ . 【答案】 ?1, 2? 1.已知集合 A ? x | x2 ? 3x ? 2 ? 0 , B ? ?1, 2,3, 4? ,则 A ? B ? 2. 命题 “ ? x ? R, sin( x ?
<

br />?

?

?
3

的否定是 )?0”

, sinx (? . 【答案】?x ? R
. 【答案】 (

?
3

) ? 0

3.函数 y ? log 1 (3x ? 1) 的定义域为
2

1 2 , ] 3 3
. 【答案】

4. 已知角 (? ? 5. 已知 a ? ln

?
3

) 的终边经过点 P(2, 4 3) , 则 tan ? ?

3 7

1 ? 1 1 则 a, b, c 按照从大到小 排列为 , b ? sin , c ? 2 2 , .... 2 2

. 【答案】 c?b?a

6. 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,若 (b ? c ? a ) tan A ?
2 2 2

1 bc , 2

则 sin A ? 7. 已知 cos ? ?


. 【答案】

1 13 ? , cos(? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? , 则 ? ? __ 7 14 2

1 4

_.【答案】

?
3


8. 若函数 f ( x) ? lg(10x ? 1) ? ax 是偶函数,则实数 a 的值为_______.【答案】 ? 9.

1 2

已 知 函 数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? 2? ) , 若 对 任 意 x ? R 有

f ( x) ? f (

5 ? ) 成立,则方程 f ( x) ? 0 在 ?0, ? ?上的解为 12

. 【答案】

? 2? 或 3 6
8? 3

?kx ? 1, (?3 ? x ? 0) ? 10.函数 y ? ? 的图像 8? 2sin( ? x ? ? ), (0 ? x ? )( ? ? ? ? ? ? ) ? 3 ?

y

? 如图,则 k ? ? ? = ?

-3 O -2

. 【答案】1

5? 3

x

11.在△ ABC 中, ?A ? 30? , AB ? 3 , BC ? 1 ,则△ ABC 的面积等于



【答案】

3 3 或 2 4

?2 x3 ? 3x2 ? m, 0 ≤ x ≤1, 12.已知函数 f ( x) ? ? 若函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有两个不同 x> 1. ?mx ? 5,

的交点,则实数 m 的取值范围为

. 【答案】 (?5,0)

13 . 设 点 P ( x0 , y0 ) 是 函 数 y ? tan x 与 y ? ? x ( x ? 0) 的 图 像 的 一 个 交 点 , 则

2 ( x0 ? 1)(cos 2 x0 ? 1) ?

. 【答案】2

14 . 已 知 f ?x ? 为 奇 函 数 , 当 x ? ?0,2? 时 , f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ; 当 x ? ?2,??? 时 ,

f ( x) ? 2 x ? 4 , 若 关 于 x 的 不 等 式 f ( x ? a ) ? f ( x ) 有 解 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围
为 . 【答案】 ?? 2,0? ? ?0,??? 15.设函数 y ? lg(? x2 ? 4x ? 3) 的定义域为 A ,函数 y ?

(1)当 m ? 2 时,求 A ? B ; (2)若“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 解: (1)由 ? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,解得 1 ? x ? 3 ,所以 A ? (1,3) , 又函数 y ?

2 , x ? (0, m) 的值域为 B . x ?1

2 2 2 , 2) ,即 B ? ( , 2) , 4 分 在区间 (0, m) 上单调递减,所以 y ? ( x ?1 m ?1 m ?1 2 …………6 分 当 m ? 2 时, B ? ( , 2) ,所以 A ? B ? (1, 2) . 3 …………8 分 (2)首先要求 m ? 0 , 2 , 2) ? (1,3) , ……10 分 而“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件,所以 B ? A ,即 ( m ?1 2 ? 1 , 解得 0 ? m ? 1 . ……14 分 从而 m ?1
16.在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的顶点是坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,终边与单 π π π 位圆 O 交于点 A(x1 ,y1 ),α∈( , ).将角 α 终边绕原点按逆时针方向旋转 ,交单位圆于 4 2 4 点 B(x2,y2). 3 (1)若 x1= ,求 x2; 5 (2)过 A,B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 C,D,记△AOC 及△BOD 的 4 面积分别为 S1,S2,且 S1= S2,求 tanα 的值. 3 3 4 2 解: (1)因为 x1= ,y1>0,所以 y1= 1-x1 = . 5 5 4 3 所以 sinα= ,cosα= . 5 5 π π π 2 所以 x2=cos(α+ )=cosαcos -sinαsin =- . 4 4 4 10 1 1 (2)S1= sinαcosα=- sin2α. 2 4 π π π π 3π 因为 α∈( , ),所以 α+ ∈( , ). 4 2 4 2 4
(第 16 题图) D O C x B A y

??????2 分 ???????6 分

π π π 1 1 1 所以 S2=- sin(α+ )cos(α+ )=- sin(2α+ )=- cos2α. 2 4 4 4 2 4 4 4 4 因为 S1= S2,所以 sin2α=- cos2α,即 tan2α=- . 3 3 3 所以

????????8 分 ??????10 分

2tanα π π 4 1 =- ,解得 tanα=2 或 tanα=- .因为 α∈( , ),所以 tanα=2.?14 分 3 2 4 2 1-tan2α

17.在梯形 ABCD 中, (1)求 AC 的长; (2)求梯形 ABCD 的高.

解: (Ⅰ)在

中,因为 .由正弦定理得:

,所以 ,即



(Ⅱ)在 整理得 过点 作 所以

中,由余弦定理得: ,解得 (舍负) . 于 ,则 为梯形 的高.因为 .在直角 中,

, , .即梯形 , 的高为 .

18.已知函数 y ? f ( x) ?

ln x . x

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的图像在 x ? (Ⅱ)求 y ? f ( x) 的最大值;

1 处的切线方程; e

(Ⅲ)设实数 a ? 0, 求函数 F ( x) ? af ( x) 在 [a, 2a] 上的最小值. 解: (Ⅰ)因为 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,所以 f ?( x) ?

1 ? ln x ?1? ,因为 f ? ? ? ?e, 又 2 x ?e?

1 k ? f ?( ) ? 2e 2 , e
所 以 函 数 y ? f ( x )的在 x ?

1 1? 2? 处 的 切 线 方 程 为 : 所 以 y ? e ? 2e ? x ? ? , e e? ?
?????4 分

y ? 2e2 x ? 3e.

(Ⅱ)令 f ?( x) ? 0得x ? e ,?当x ? (0, e)时, f ?( x) ? 0, f ( x)在(0, e) 上为增函数 ; 当 x ? (e,??)时, f ?( x) ? 0, 在(e,??) 上为减函数.

? f max ( x) ? f (e) ?

1 e

?????8 分

(Ⅲ)因为 a ? 0, ,由(2)知 F ( x) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e, ??) 上单调递减. 所以 F ( x) 在 [a, 2a] 上的最小值 f min ( x) ? min{F (a), F (2a)} . ?????10 分

? F ( a ) ? F ( 2a ) ?

1 a ln 2 2

?当0 ? a ? 2时, F (a) ? F (2a) ? 0,

Fmin ( x) ? F (a) ? ln a.

1 ln 2 a 2 ?ln a, 0 ? a ? 2 ? 所以函数 F ( x) 在 [a, 2a] 上的最小值为 g (a) ? ? 1 ? ln 2a, a ? 2 ?2
当 a ? 2 时, F (a) ? F (2a) ? 0, f min ( x) ? F (2 a) ? 足 BC=CD.设 ?COB ? ? .

????16 分

19.如图,有一景区的平面图是一半圆形,其中 AB 长为 2km,C、D 两点在半圆弧上,满

(1)现要在景区内铺设一条观光道路,由线段 AB、BC、CD 和 DA 组成,则当 θ 为何值 时,观光道路的总长 l 最长,并求 l 的最大值. (2)若要在景区内种植鲜花,其中在 ?AOD 和 ?BOC 内种满鲜花,在扇形 COD 内种一 . 半面积 的鲜花,则当 θ 为何值时,鲜花种植面积 S 最大. ...
D C

? ?? 解: (1)由题 ?COD ? ? , ?AOD ? ? ? 2? , ? ? ? 0, ? ? 2?
取 BC 中点 M,连结 OM.则 OM ? BC , ?BOM ? ∴ BC ? 2BM ? 2sin 同理可得 CD ? 2sin ∴ l ? 2 ? 2sin

?
2



B

O
D C

A

?
2

. ?????2 分 , AD ? 2sin

?
2

? ? 2?
2

? 2cos? . ?????2 分

M O A

?
2

? 2sin
2

?

?? ? B ? ? 2cos ? ? 2 ?1 ? 2sin 2 ? ? 4sin ? 2 .?????6 分 2 2? 2 ?

? 1 ? ? ? 1? ? ?? 即 l ? ?4 ? sin ? ? ? 5,? ? ? 0, ? .∴当 sin ? ,即 ? ? 时,有 lmax ? 5 .???8 分 2 2? 2 2 3 ? ? 2? 1 1 1 (2) S?BOC ? sin ? , S?AOD ? sin ?? ? 2? ? ? sin ? cos? , S扇形COD ? ? . 2 2 2 1 1 ∴ S ? sin ? ? sin ? cos? ? ? . ?????12 分 2 4 1 1 1 ∴ S ' ? cos? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? ? ? 4cos? ? 3?? 2cos? ? 1? 2 4 4 ? ? ?? ∵ ? ? ? 0, ? ,∴解 S ' ? 0 得 ? ? ,列表得 3 ? 2?

?
S' S
∴当 ? ?

? ?? ? 0, ? ? 3?
+ 递增

? 3
0 极大值

?? ? ? ? , ? ?3 2?
- 递减 ?????15 分

?
3

时,有 Smax .

答: (1)当 ? ? (2)当 ? ?

?
3

时,观光道路的总长 l 最长,最长为 5km; 时,鲜花种植面积 S 最大. ?????16 分

?
3

20.已知函数 f ( x) ? mx ? (m ? 2)ln x ? (1)当 m ? 0 时, ①求 f ( x) 的单调区间;

2 , g ( x) ? x2 ? mx ? 1, m ? R . x

②若存在 x1 , x2 ? [1, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 1 成立,求 m 的取值范围; (2)设 h( x) ?

ln x ? 1 的导函数 h?( x) ,当 m ? 1 时,求证: [ g ( x) ? 1]h?( x) ? 1 ? e?2 (其中 e 是 ex

自然对数的底数) . 解: (1)函数 f ( x) ? mx ? (m ? 2)ln x ?

2 的定义域为 (0, ??) . x
2分

m ? 2 2 (mx ? 2)( x ? 1) , ? 2 ? x x x2 ①因为 m ? 0 ,则当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; 所以 f ( x) 的单调增区间为 (0,1) ,单调减区间为 [1, ??) . f ?( x) ? m ?

4分

②若存在 x1 , x2 ? [1, 2] , 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 1 , 等价于 x ?[1, 2] 时, f ( x)max ? g ( x)min ? 1 成 立. 由①得,当 m ? 0 时, f ( x) 在 [1, ??) 上单调递减, 所以当 x ?[1, 2] 时, f ( x)max ? f (1) ? m ? 2 . 而 g ( x) ? x2 ? mx ? 1 ? ( x ? (ⅰ)当 0 ? ? (ⅱ) 1 ? ? 6分

m 2 m2 . ) ?1? 2 4

m ? 1 ,即 ?2 ? m ? 0 时, g ( x)min ? g (1) ? 2 ? m ,于是 m ? 2 ? 3 ? m ,矛盾! 2

m2 m2 m ,于是 m ? 2 ? 2 ? ,矛盾! ? 2 ,即 ?4 ? m ? ?2 时, g ( x)min ? 1 ? 2 4 4 m g ( x)min ? g (2) ? 5 ? 2m , (ⅲ) 当? ? 2, 即 m ? ?4 时, 于是 m ? 2 ? 6 ? 2m , 所以 m ? ?8 . 2 综上, m 的取值范围是 m ? ?8 . 10 分
1 ? ln x ? 1 ln x ? 1 x ? (2)因为 h( x) ? ,所以 h ( x) ? , ex ex

1 ( x 2 ? x)( ? ln x ? 1) ( x ? 1)(1 ? x ln x ? x) x ? 所以 [ g ( x) ? 1]h?( x) ? , x e ex

12 分

要 证 [ g ( x) ? 1]h?( x) ? 1 ? e?2 , 由 x ? 0 , 即 证

ex (1 ? e?2 ) ? 1 ? x ln x ? x . 设 x ?1

? ( x) ? 1 ? x ln x ? x , m( x) ?

ex ? ?( x) ? 0 ; , 所以 ? ?( x) ? ? ln x ? 2 , 当 0 ? x ? e?2 时, 当 x ? e?2 x ?1
14 分

时, ? ?( x) ? 0 . 所以当 x ? e?2 时, ? ( x) ? 1 ? x ln x ? x 取得最大值为 1 ? e ?2 . 由 m?( x) ?
xe x ? 0 ,所以 m( x) 在 (0, ??) 单调增,所以 m( x) ? m(0) ? 1 , ( x ? 1)2

所以 [ g ( x) ? 1]h?( x) ? 1 ? e?2 .

16 分

江苏省泰州中学高三数学周练试题(一)
班级_______________ 姓名________________ 成绩_________________ . . . 1.已知集合 A ? x | x2 ? 3x ? 2 ? 0 , B ? ?1, 2,3, 4? ,则 A ? B ? 2.命题“ ? x ? R, sin( x ?

?

?

?
3

) ? 0 ”的否定是

3.函数 y ? log 1 (3x ? 1) 的定义域为
2

4. 已知角 (? ?

) 的终边经过点 P(2, 4 3) , 则 tan ? ? . 3 1 ? 1 1 5. 已知 a ? ln , b ? sin , c ? 2 2 ,则 a, b, c 按照从大到小 排列为 .... 2 2
2 2 2

?



6. 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,若 (b ? c ? a ) tan A ? 则 sin A ? 7. 已知 cos ? ?


1 bc , 2

. . .

1 13 ? , cos(? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? , 则 ? ? 7 14 2 x 8. 若函数 f ( x) ? lg(10 ? 1) ? ax 是偶函数,则实数 a 的值为
9.

已 知 函 数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? 2? ) , 若 对 任 意 x ? R 有

f ( x) ? f (

5 ? ) 成立,则方程 f ( x) ? 0 在 ?0, ? ?上的解为 12



?kx ? 1, (?3 ? x ? 0) ? 10.函数 y ? ? 的图像如图, 8? 2sin(? x ? ? ), (0 ? x ? )(?? ? ? ? ? ) ? 3 ? -3 O -2 ? 则k ?? ? = . ?

y
8? 3
5? 3

x

11.在△ ABC 中, ?A ? 30? , AB ? 3 , BC ? 1 ,则△ ABC 的面积等于



?2 x3 ? 3x2 ? m, 0 ≤ x ≤1, 12.已知函数 f ( x) ? ? 若函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有两个不同 x> 1. ?mx ? 5,

的交点,则实数 m 的取值范围为



13 . 设 点 P ( x0 , y0 ) 是 函 数 y ? tan x 与 y ? ? x ( x ? 0) 的 图 像 的 一 个 交 点 , 则
2 ( x0 ? 1)(cos 2 x0 ? 1) ?


2

14 . 已 知 f ?x ? 为 奇 函 数 , 当 x ? ?0,2? 时 , f ( x) ? ? x ? 2 x ; 当 x ? ?2,??? 时 ,

f ( x) ? 2 x ? 4 , 若 关 于 x 的 不 等 式 f ( x ? a ) ? f ( x ) 有 解 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围
为 .

15.设函数 y ? lg(? x2 ? 4x ? 3) 的定义域为 A ,函数 y ? (1)当 m ? 2 时,求 A ? B ;

2 , x ? (0, m) 的值域为 B . x ?1

(2)若“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

16.在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的顶点是坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,终边与单 π π π 位圆 O 交于点 A(x1 ,y1 ),α∈( , ).将角 α 终边绕原点按逆时针方向旋转 ,交单位圆于 4 2 4 点 B(x2,y2). 3 (1)若 x1= ,求 x2; 5 (2)过 A,B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 C,D,记△AOC 及△BOD 的 4 面积分别为 S1,S2,且 S1= S2,求 tanα 的值. 3
D O C x y B A

(第 16 题图)

17.在梯形 ABCD 中, (1)求 AC 的长; (2)求梯形 ABCD 的高.

18.已知函数 y ? f ( x) ?

ln x . x

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的图像在 x ? (Ⅱ)求 y ? f ( x) 的最大值;

1 处的切线方程; e

(Ⅲ)设实数 a ? 0, 求函数 F ( x) ? af ( x) 在 [a, 2a] 上的最小值.

19.如图,有一景区的平面图是一半圆形,其中 AB 长为 2km,C、D 两点在半圆弧上,满 足 BC=CD.设 ?COB ? ? . (1)现要在景区内铺设一条观光道路,由线段 AB、BC、CD 和 DA 组成,则当 θ 为何值 时,观光道路的总长 l 最长,并求 l 的最大值. (2)若要在景区内种植鲜花,其中在 ?AOD 和 ?BOC 内种满鲜花,在扇形 COD 内种一 . 半面积 的鲜花,则当 θ 为何值时,鲜花种植面积 S 最大. ...
C D

B

O

A

20.已知函数 f ( x) ? mx ? (m ? 2)ln x ? (1)当 m ? 0 时, ①求 f ( x) 的单调区间;

2 , g ( x) ? x2 ? mx ? 1, m ? R . x

②若存在 x1 , x2 ? [1, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 1 成立,求 m 的取值范围; (2)设 h( x) ?

ln x ? 1 的导函数 h?( x) ,当 m ? 1 时,求证: [ g ( x) ? 1]h?( x) ? 1 ? e?2 (其中 e 是 ex

自然对数的底数) .


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