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2013四川高中数学竞赛试题及答案


2013 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、 函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足: f ? x ? 3? ? ? 【 】

1 , 若 f( 则 f (2 0 ) ? 2 , 0 1 3 ) f ? x?

?

1 1 B、

C、2 D、2013 2 2 2、设等差数列 ?an ? 与等比数列 ?bn ? 满足: 0 ? a1 ? b1 ? a5 ? b5 ,则下述四个结论:
A、 ? ① a3 ? b3 ; ② a3 ? b3 ; ③ a6 ? b6 ; ④ a6 ? b6 中正确的个数是 【 】 A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个 3、已知二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? , PA ? ? , PB ? ? , A 、 B 为垂足, PA = 5 , PB = 4 ,设 A 、 B 到二面角的棱 l 的距离分别为 x 、 y ,当 ? 变化时,点 ( x, y ) 的轨迹为下 列图形中的 【 】

A、 B、 C、 D、 4、从 [0,10] 上任取一个数 x ,从 [0, 6] 上任取一个数 y ,则使得 | x ? 5 | ? | y ? 3 |? 4 的概 率是 【 】 1 1 3 1 A、 B、 C、 D、 5 3 2 4 5、当平面上的点 ( x, y ) 的坐标 x 、 y 都为有理数时,该点称为有理点,设 r 是给定的正 实数,则圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? r 2 上的有理点 【 】 A、最多有一个 B、最多有两个 C、最多有四个 D、可以有无穷多个 6、△ABC 中, ?C ? 90 , ?B ? 30 , AC = 2 ,M 是 AB 的中点,将△ACM 沿 CM 翻折, 使 A、B 两点间的距离为 2 2 ,则三棱锥 A ? BCM 的体积等于 A、 【 】

2 3

B、

2 3

C、

6 3

D、

2 2 3

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)

3? x ) ? m, ,记 f (1) ? f (2) ? f (4) ? ? ? f (1024 1? x 1 1 1 1 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ??? f ( ) ? n ,则 m ? n ? . 2 4 8 1024 2 3 4 2013 8、已知 i 是虚数单位, z ? 1 ? i ? i ? i ? i ? ? i ,把复数 z 的共轭复数记为 z ,则 z?z= . y2 2 ? 1 ,则 x 2 ? y 2 的最大值是 9、实数 x , y 满足 x ? . 16 4 2 10、关于曲线 C: x ? y ? 1的下列命题:
7、已知函数 f ( x) ? ① 曲线 C 关于原点对称; ② 曲线 C 关于直线 y = x 对称; ③ 曲线 C 所围成的面积小于 ? ; ④ 曲线 C 所围成的面积大于 ? , 其中的真命题是 . (写出所有真命题的编号) 1 1 11、设 n 是小于 100 的正整数,且满足 (n2 ? 1) ? n 为整数,则符合条件的所有正整数 n 的 3 5
1

和为 12、已知函数 f ( x) ?



a ? x ,对任意 x ? (0,1) ,有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 恒成立,则实数 a 的取 x π 2

值范围是 . 三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分)
2 13 、设实数 ? ? 0 ,已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 sin ? x ? sin(? x ? ) 的最小正周期是

π π π .求 f ( x ) 在 [ , ] 上的最大值与最小值. 2 8 4
14 、 已 知 函 数 f ( x) ?

xn ?1 ? 1 bn ? l o g ) (n ? N * ) . 3 ( xn ?1 ? 1 ( I ) 求证:数列 {bn } 成等比数列,并求数列 {bn } 的通项公式;

x3 ? 3x , 数 列 {xn } 满 足 : x1 ? 2 , xn?1 ? f ( xn ) (n ? N * ) , 记 2 3x ? 1

(II)记 cn ? ?nbn (n ? N * ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和公式 Tn .

15、已知点 B(0,1) ,P、Q 为椭圆

x2 + y 2 = 1 上异于点 B 的任意两点,且 BP ? BQ . 4 (I)若点 B 在线段 PQ 上的射影为点 M,求 M 的轨迹方程; (II)求线段 PQ 的中垂线 l 在 x 轴上的截距的取值范围.

16 、 若 实 数 x0 满 足 f ( x0 ) ? x0 , 则 称 x ? x0 为 f ( x ) 的 不 动 点 . 已 知 函 数

f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 3 ,其中 a , b 为常数. (I)若 a ? 0 ,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (II)若 a ? 0 时,存在一个实数 x0 ,使得 x ? x0 既是 f ( x ) 的不动点,又是 f ( x ) 的极值 点.求实数 b 的值; (III)求证:不存在实数组 ( a, b) ,使得 f ( x ) 互异的两个极值点皆为不动点.

2

2013 年全国高中数学联赛(四川)初赛试题 参考答案及评分标准
说明: 1、评阅试卷时,请依据评分标准.选择题和填空题只设 5 分和 0 分两档;其它各题的 评阅,请严格按照评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次. 2、如果考生的解答题方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评阅时可参 考本评分标准适当划分档次评分,5 分一个档次,不要再增加其它中间档次. 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、A 2、B 3、C 4、C 5、B 6、D 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)

9 1 10、①④ 11、635 12、 {a | a ? 1或a ? ? } 4 4 三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分)
7、42 8、2 9、 13、已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 sin ? x ? sin(? x ? )
2

π 2

(? ? 0) 的最小正周期是

π . 2

求 f ( x ) 在 [ , ] 上的最大值与最小值. 解: f ( x) ?

π π 8 4

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2 2 2
(5 分)

? 1 ? sin(2? x ? ) ? , 6 2 2? ? ? ,则 ? ? 2 . 由条件知 T ? 2? 2 ? 1 于是 f ( x) ? sin(4 x ? ) ? , 6 2


(10 分)

?

8 4 3 6 1 ? ? 1 3 故 ? sin(4 x ? ) ? 1 ,即 1 ? sin(4 x ? ) ? ? . 2 6 6 2 2 ? 3 ? 所以, f ( x ) 在 x ? 时取最大值 ,在 x ? 时取最小值是 1 . 6 2 4
14、已知函数 f ( x) ?

?x?

?

时,

?

? 4x ?

?

?

5? , 6

(15 分) (20 分)

x3 ? 3x ,数列 {xn } 满足: x1 ? 2 , xn?1 ? f ( xn ) (n ? N * ) ., 3x 2 ? 1

记 bn ? log 3 (

xn ?1 ? 1 ) (n ? N * ) . xn ?1 ? 1

( I ) 求证:数列 {bn } 成等比数列,并求数列 {bn } 的通项公式; (II)记 cn ? ?nbn (n ? N ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和公式 Tn .
*

3

3 xn ? 3xn ?1 3 2 3 2 xn ?1 ? 1 f ( xn ) ? 1 3xn ?1 xn ? 3xn ? 3xn ? 1 ? xn ? 1 ? 解: (1) ? ? 3 ? 3 ?? ? 2 ? 3xn xn ?1 ? 1 f ( xn ) ? 1 xn xn ? 3xn ? 3xn ? 1 ? xn ? 1 ? ? 1 2 3xn ?1

(5 分)

于是 log3 (

xn?1 ? 1 x ?1 ) ? 3log3 ( n ) ,即 bn?1 ? 3bn ,所以数列 ?bn ? 成等比数列. xn?1 ? 1 xn ? 1
2 ?1 ) ? ?1 ,于是 bn ? ?3n?1 , 2 ?1
(10 分)

又 b1 ? log 3 (

所以.数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? ?3n?1 . (II)由(I)知, bn ? ?3n?1 ,故 cn ? n ? 3n?1 ,

Tn ? 1? 30 ? 2 ? 31 ? 3? 32 ? 3Tn ?

? n ? 3n?1 , ? n ? 3n ,
n

1? 31 ? 2 ? 32 ? 3? 33 ?
2

于是 ?2Tn ? 1 ? 3 ? 3 ?

?3

n ?1

3n ? 1 ? n?3 ? ? n ? 3n , 2

(15 分)

即 Tn ?

n ? 3n 3n ? 1 (2n ? 1) ? 3n ? 1 ? ? , 2 4 4 (2n ? 1) ? 3n ? 1 (n ? N * ) . 4
(20 分)

所以,数列 {cn } 的前 n 项和公式 Tn ? 15、已知点 B(0,1) ,P、Q 为椭圆

x2 + y 2 = 1 上异于点 B 的任意两点,且 BP ? BQ , 4 (I)若点 B 在线段 PQ 上的射影为 M,求 M 的轨迹方程; (II)求线段 PQ 的中垂线 l 在 x 轴上的截距的取值范围.
解: (I)设 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ,PQ 的方程为 y = kx + m , 与椭圆方程联立消去 y 得: (1 + 4k 2 ) x2 + 8kmx + 4m2 - 4 = 0 ,
4m 2 - 4 - 8km x x = , , 1 2 4k 2 + 1 4k 2 + 1 y - 1 y2 - 1 ? - 1 ,即 x1 x2 + y1 y2 - ( y1 + y2 ) + 1 = 0 , 由 BP ? BQ 得 1 x1 x2

所以 x1 + x2 =

(5 分)

从而可得

(k 2 + 1)(4m 2 - 4) - 8km + k (m - 1) ? 2 4k 2 + 1 4k + 1

(m - 1) 2 = 0

化简得 5m2 - 2m - 3 = 0 ,解得 m = 1 (舍去)或 m = -

3 . 5

4

设 M ( x, y ) ,因为 BM ^ PQ ,所以 k = 代入 PQ 方程得 y = 2

x , y- 1

x2 3 - , y- 1 5

整理得 x ? ( y ? ) ? ( ) ,由题意知轨迹不经过点 B(0,1) .
2 2

1 5

4 5

所以,动点 M 的轨迹方程为: x ? ( y ? ) ? ( ) ( y ? 1) .
2 2 2

1 5

4 5

(10 分)

(II)PQ 方程为 y = kx -

x + x2 y + y2 12k - 3 3 = = ,所以 1 , 1 2 2 5(4k + 1) 2 5(4k 2 + 1) 5 3 1 12k = - (x ), 所以 PQ 中垂线方程为 y + (15 分) 2 5(4k + 1) k 5(4k 2 + 1)

其在 x 轴上的截距为 b =

9 9 9k ?b? ,所以, ? . 2 5(4k + 1) 20 20

(20 分)

16、若实数 x0 满足 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x ? x0 为 f ( x ) 的不动点. 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 3 ,其中 a , b 为常数. (I)若 a ? 0 ,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (II)若 a ? 0 时,存在一个实数 x0 ,使得 x ? x0 既是 f ( x ) 的不动点,又是 f ( x ) 的极值 点.求实数 b 的值; (III)求证:不存在实数组 ( a, b) ,使得 f ( x ) 互异的两个极值点皆为不动点.
3 2 解: (I)若 a ? 0 , f ( x) ? x ? bx ? 3 ,故 f ?( x) ? 3x ? b .

当 b ? 0 时,显然 f ( x ) 在 R 上单增; 当 b ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 知 x ?

?

b b 或x?? ? . 3 3

所以,当 b ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ??) ; 当 b ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ? ? ) , ( ? , ??) . (5 分)
2 ?3x0 ?b ? 0 3 ? x0 ? bx0 ? 3 ? x0

b 3

b 3

(II)由条件知 ?
3



于是 2x0 ? x0 ? 3 ? 0 ,即 ( x0 ?1)(2x0 ? 2x0 ? 3) ? 0 ,解得 x0 ? 1
2

从而 b ? ?3 .
5

(10 分)

(III)假设存在一组实数 ( a, b) 满足条件.由条件知 f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? b , 因为 f ( x ) 的两个不同极值点,则 ? ? 4a ? 12b ? 0 ,即 a ? 3b .
2 2


2

设 f ( x ) 的两个不同极值点为 x1 , x2 ,其中 x1 ? x2 ,则 x1 , x2 是方程 3x ? 2ax ? b ? 0 的 两实根,所以 x1 ? x2 ? ?

2a b , x1 x2 ? . 3 3

又由 x1 , x2 是 f ( x ) 的不动点,则 x1 , x2 是方程 x3 ? ax2 ? (b ?1) x ? 3 ? 0 的两根,设其 另一个根为 x3 .故 x3 ? ax2 ? (b ?1) x ? 3 ? ( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 ) 即 x3 ? ax2 ? (b ?1) x ? 3 ? x3 ? ( x1 ? x2 ? x3 ) x2 ? ( x1x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ) x ? x1x2 x3

? x1 ? x2 ? x3 ? ? a ? 故有 ? x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ? b ? 1 ? x x x ? ?3 ? 1 2 3
于是 x3 ? ?

a 9 ? ? ,从而 ab ? 27 . 3 b



又 b ? 1 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) x3 ?

b 2a a 2a 2 2b ? (? )(? ) ,即 ? ?1 ? 0 , 3 3 3 9 3
(15 分)



2a 2 18 ? ? 1 ? 0 ,即 2a3 ? 9a ?162 ? 0 9 a
3 2

令 g ( x) ? 2 x ? 9 x ? 162 ,则 g ?( x) ? 6 x ? 9 ? 0 故 g ( x) 在 R 上单增,从而 g ( x) ? 0 至多有一个实根; 又因为 g (0) ? ?162 ? 0 , g (4) ? 2 ? 0 ,从而 g ( x) ? 0 至少有一个实根; 所以, g ( x) ? 0 恰有一个实数根 x ? a ? (0, 4) . 由①、②知 a ? 3b ?
2

81 3 ,即 a ? 81,这与 a ? (0, 4) ,矛盾! a

(20 分)

所以,不存在实数组 ( a, b) ,使得 f ( x ) 互异的两个极值点皆为不动点.

6


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